最大公约数

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这个最大公约数（GCD在OEIS中是缩写，但在数学公式中不是；在文献中通常是GCD；有时被称为两个或多个的最高公因数，HCF或HCF）整数是最大的正整数这是很常见的除数所有这些数字中划分（给出一个整数商具有0作为余数)所有这些数字。例如，gcd公司 (144, 2988, 37116) = 36，自36平均划分144,2988和37116这些数字没有更大的公约数。

何时

gcd公司 (米,n个) = 1

，据说数字是互质或相对质数，例如gcd公司 (128, 11025) = 1。请注意gcd公司 (1, 1) = 1，这意味着1与自身互质，即不共享基本因子因为1是空产品.

gcd公司 (0,n个) = | n个 | =gcd (n个, 0)

特别是gcd公司 (0, 0) = 0; 基本上0充当顶层元素(⊤或∞)在这种和其他情况下。

主因子分解方面的GCD和LCM

来自素因子分解属于

米我 , 1≤我≤n个,

米我 =    π （最大值 (米1, ...,米n个 )) ∏   j个  = 1    第页j个 α j个 (米我 ), 1≤我≤n个,

哪里

π (米)

是素数高达

米

、和

第页j个

是

j个

第个 质数，我们有

gcd公司 (米1, ...,米n个 )  =    π （最大值 (米1, ...,米n个 )) ∏   j个  = 1    第页j个 最小值 (α j个 (米1), ...,α j个 (米n个 ))

和

生命周期管理 (米1, ...,米n个 )  =    π （最大值 (米1, ...,米n个 )) ∏   j个  = 1    第页j个 最大值 (α j个 (米1), ...,α j个 (米n个 ))

公式

将LCM与GCD关联的公式

自

米+n个 =  最大值 (米,n个)+最小值 (米,n个), 米≤n个,

然后最小公倍数（LCM），共两个非零整数

米

和

n个

与最大公约数（GCD）相关

| 米 n个 |  =  生命周期管理 (米,n个)  ⋅  gcd公司 (米,n个), 米 n个≠ 0,

其中GCD可以通过欧几里德算法.

上述公式的结果是：

gcd公司 (米 n个)

对应于素因子（具有多重性），同时

生命周期管理 (米 n个)

对应于行李（多集）并集（相当于行李加法，此处乘法运算为

米 n个

，减去行李交叉，这里通过除法进行乘法运算

gcd公司 (米 n个)

)两袋素因子（具有多重性）。

自（使用包容性原则)

米1+米2+米三 =  最大值 (米1,米2,米三 ) +{[最小值 (米1,米2 ) + 最小值 (米1,米三 ) + 最小值 (米2,米三 )]−最小值 (米1,米2,米三 )}, 米1≤米2≤米三,

然后我们有

| 米1 米2 米三 |  =  生命周期管理 (米1,米2,米三 )   ⋅  { gcd公司 (米1,米2 ) gcd公司 (米1,米三 ) gcd公司(米2,米三 ) gcd公司 (米1,米2,米三 ) }, 米1 米2 米三≠ 0.

最后，因为（使用包含-排除原则）

n个 ∑   我  = 1    米我 =  最大值 (米1, ...,米n个 )  +{[    1≤我  <  j个≤n个 ∑   1≤我  <  j个≤n个    最小值 (米我,米j个 )]−[    1≤我  <  j个  <  k个≤n个 ∑   1≤我  <  j个  <  k个≤n个    最小值 (米我,米j个,米k个 )]+  ⋯  + (−1) n个最小值 (米1, ...,米n个 )}, 米1≤⋯≤米n个 ,

然后我们有

n个 ∏   我  = 1    米我  =

生命周期管理 (米1, ...,米n个 )  ⋅  {[    1≤我  <  j个≤n个 ∏   1≤我  <  j个≤n个    gcd公司 (米我,米j个 )]·[    1≤我  <  j个  <  k个≤n个 ∏   1≤我  <  j个  <  k个≤n个    gcd公司 (米我,米j个,米k个 )]   − 1·⋯·[gcd公司 (米1, ...,米n个 )] ( − 1) n个},    n个 ∏   我  = 1    米我≠ 0.

系列表示法

gcd公司 (米,n个)  = 米+n个−米 n个+   米 − 1 ∑   k个  = 1    k个  n个 米 +   n个 − 1 ∑   k个  = 1    k个  米 n个  =

米+n个−米 n个+2个   米 − 1 ∑   k个  = 1    k个  n个 米  = 米+n个−米 n个+2个   n个 − 1 ∑   k个  = 1    k个  米 n个 ,

gcd公司 (米,n个)  =  1 − 2 米 2 n个 2 −[ 米 2 = 米 2 ]  ⋅  [ n个 2 = n个 2 ]+

2   ⌊  米 / 2⌋ ∑   k个  = 1    k个  n个 米 +2个   ⌊  n个 / 2⌋ ∑   k个  = 1    k个  米 n个 ,

哪里[·]是艾弗森支架和

⌊ ·⌋

是地板功能。

算法

欧几里德算法

这个GCD公司共两个正整数使用欧几里得算法.

近似GCD问题

在近似GCD问题你得到了

n个

“近”倍数

{米1,米2, ...,米n个}

某个未知正整数

第页

，即。

     

米1  = 第页·问1+第页1, 0≤ 第页1<第页, 米2  = 第页·问2+第页2 , 0 ≤  第页2<第页, ... , 米n个  = 第页·问n个+第页n个 , 0 ≤  第页n个<第页,

你需要知道

第页

，不知道

问我

和

第页我

.