序列A002061的图形结构（中心多边形数）

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让图形结构的中心部分位于坐标系（x，y）-（0,0）的开头每一步等于1。

即第一次迭代的坐标

{0,0}

第二次迭代（添加了2项）

{-1, 0}

{1, 0}

第三次迭代（增加4项）

{-1, -1}

{-1, 1}

{1 -1}

{1, 1}

等。

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如果我们考虑每个${\显示样式4i+1}$迭代并计算中心位置（x=0和y=0）的元素数，我们得到一个序列A115257号

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如果我们考虑每个${\显示样式2i+1}$迭代并计算${\显示样式y=x}$位置我们得到一个序列A006134号

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如果我们考虑每个${\显示样式2i+1}$迭代并计算$｛\displaystyle y=3-x｝$我们获得序列的位置

{0, 0, 1, 6, 27, 111, 441, 1728, 6733, 26181, 101763, ...}

与序列有一些共同之处A005284号

{1, 6, 27, 111, 440, 1717, 6655, 25728, 99412, ...}

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如果我们考虑每个${\显示样式4i+3}$迭代并计算${\显示样式y*x=3}$我们获得序列的位置

{0, 12, 212, 3152, 45488, 655328,...}

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关于最新项目选择的详细信息，可以观察到，考虑点（1,3）处的元素总和就足够了，因为图形结构是对称的。

在这种情况下，关键点是坐标值之间的差值等于2。

如果我们考虑每个${\显示样式4i+3}$迭代并计算位置中的元素数${\显示样式y=p}$;${\显示样式x=p+2}$，其中p-奇数，我们得到一个序列

对	x个	年	序列	因式分解
1	三	1	{0, 3, 53, 788, 11372, 163832, 2372324, 34579499, 507360379, 7489474375...}	{0, 3, 53, 2*2*197, 2*2*2843, 2*2*2*20479, 2*2*593081, 34579499, 4973*102023, 5*5*5*5*11983159...}
三	5	三	{0, 0, 5, 152, 3176, 57626, 977831, 16007846...}	{0, 0, 5, 2*2*2*19, 2*2*2*397, 2*28813, 977831, 2*17*470819...}
5	7	5	{0, 0, 0, 7, 331, 9406, 213896, 4312991...}	{0, 0, 0, 7, 331, 2*4703, 2*2*2*26737, 67*64373...}
7	9	7	{0, 0, 0, 0, 9, 614, 22922, 643997...}	{0, 0, 0, 0, 3*3, 2*307, 2*73*157, 83*7759...}

序列的第一个元素大于零的形式为

$显示样式f{1}（x）={frac{1}{1}x}$

{3,5,7,9...}

序列中大于零的第二个元素具有以下形式

$显示样式f{2}（x）=$

{53,152,331,614...}

序列的第三个元素大于零的形式为

$显示样式f{3}（x）=$

{788,3176,9406...}

序列的第四个元素大于零的形式为

${\显示样式f_{4}（x）={\压裂{1}{144}}x^{7}+{\压裂}{11}{48}}x^{6}+{\压裂{475}{144{}x^}5}+{压裂{419}{16}}x ^{4}+{\sfrac{4435}{36}}x^{3}+{\\压裂{4093}{12}x^2}+515x+326}$

{11372,57626,213896...}

等。

我们可以最大限度地构造以下多项式。

有趣的是，在参数x的负值处考虑这些多项式的值。

正如我们所看到的，有相邻的地区。

它们形成了序列A110236号.

${\显示样式A110236（n）=-f_{n}（-n）}$

长度为n的所有无峰Motzkin路径中的（1,0）步数（可以很容易地翻译成RNA二级结构术语）.

根据观察到的特性，我们可以假设

序列的第五元素大于零的形式为

$｛\displaystylef_｛5｝（x）=｛\frac｛1｝｛2880｝x ^｛9｝+｛\frac｛7｝｛360｝x ^｛8｝+｛\frac｛703｝｛1440｝x ^｛7｝+｛\frac｛571｝｛80｝x ^｛6｝+｛\frac｛192029｝｛2880｝x ^｛5｝+｛\frac 32919｝｛80｝x ^｛4｝+｛\frac 1206121｝｛720｝x ^｛3｝+｛\frac 19504｝6｝｛45｝｝x ^｛2｝+｛\frac｛19409｝｛3｝｝x+4246｝$

{163832, 977831...}

序列的第六个元素大于零的形式为

${显示样式f_{6}（x）={压裂{1}{86400}}x^{11}+{压裂}17}{17280}}x^{10}+{\frac{11}{288}}x ^{9}+{\压裂{2561}{2880}}x ^{8}+{\sfrac{396151}{28800}}x^{7}+{\frac{853363}{5760}}×^{6}+{\frac{1956751}{1728}}x^{5}+{\ frac{828548}{135}}x^{4}+{\sfrac{27729793}{1200}}x ^{3}+{压裂{20721803}{360}}x^{2}+{\frac{256163}{3}x+57166}$

{2372324, ...}

序列的第七个元素大于零的形式为

$显示样式f_{7}（x）={frac{1}{3628800}}（x^{13}+120x^{12}+6665x^{11}+226164x^{10}+5221203x^{9}+86483160x^{8}+1056429275x^}7}+9629827332x^{6}+65477591416x^{5}+32725639320x^{4}+117525031760x^{3}+28578217504x^{2}+4221765031680x）+788974}$

{34579499, ...}

因此，我们现在

我确定了参数x=3的序列，因为前七个元素的形式${\显示样式2^{k}*a}$，其中a-prime。

请帮我纠正序列的定义

{$显示样式f{1}（3）}$,$显示样式f{2}（3）}$,$显示样式f{3}（3）}$,$显示样式f{4}（3）}$,$显示样式f{5}（3）}$,$显示样式f{6}（3）}$,$显示样式f{7}（3）}$...}

{3,53,788,11372,163832,2372324,34579499 ...}

{3, 53, 2*2*197, 2*2*2843, 2*2*2*20479, 2*2*593081, 34579499...}

将其添加到百科全书中

不幸的是，我无法理解如何将这个系列构建到无穷大。

应该注意多项式得到的另一个性质。表单的顺序

{$显示样式4f{1}（1）+1；4f{2}（1）+1；4f{3}（1）+1；4f{4}（1）+1；4f_{5}（1）+1，…}4f{2}（1）+1；4f{3}（1）+1；4f{4}（1）+1；4f_{5}（1）+1，…}$}

{5,41,441,5341,68845,...}

是一个序列A115257号（二项式（2n，n）^2的部分和）。

换句话说，多项式系数之和为$｛\displaystylef_｛n｝（1）＝｛\frac｛A115257（n）-1｝｛4｝｝｝$.

多项式的第二个性质

$显示样式f{i}（2）=f{i+1}（0）}$

所考虑多项式的广义类型的最初想法是：

$显示样式f{n}（x）={frac{1}{（n-1）！n！}}（x^{2n-1}+（3n^{2} -4个月+1） x^{2n-2}+（{\frac{9}{2}}n^{4}-{\压裂{43}{3}}n^{3}+17n^{2}-{压裂{49}{6}}n+1）x^{2n-3}+（{压裂}68}{15}}n^{6}-{\frac{388}{15}}n^{5}+{\frac{202}{3}}n^{4}-{\frac{733}{6}}n^{3}+{\frac{2777}{15}}n^{2}-｛\frac｛5819｝｛30｝n+85）x ^｛2n-4｝+…）｝{2} -4个月+1） x^{2n-2}+（{\frac{9}{2}}n^{4}-{\压裂{43}{3}}n^{3}+17n^{2}-{压裂{49}{6}}n+1）x^{2n-3}+（{压裂}68}{15}}n^{6}-{\frac{388}{15}}n^{5}+{\frac{202}{3}}n^{4}-{\frac{733}{6}}n^{3}+{\frac{2777}{15}}n^{2}-｛\frac｛5819｝｛30｝n+85）x ^｛2n-4｝+…）｝$

或

$显示样式f{n}（x）={frac{1}{（n-1）！n！}}（x^{2n-1}+{frac}3！n！-2！（n-1$

问题：多项式的所有系数形成了什么规则？仍未解决。

也许（我希望我没有弄错）一般公式是

$显示样式f{1}（x）=x}$

$显示样式f{n}（x）={frac{1}{（n-1）！n！}}（x+n-1）$

哪里${\显示样式n=2,3,4,5….}$

多项式的第二个系数${\显示样式（3n^{2} -4个+1)}{2} -4个+1)}$或${\显示样式{\ frac{3！n！-2！（n-1）！}{2！（n-2）！}}}$是顺序A045944号（菱形火柴棒编号：${\显示样式n（3n+2）}$)

OEIS中多项式的其余系数缺失。

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试图解释图形结构。

第一张图片中的图形结构显示在二项式定理的两侧。