Erdős–Straus猜想

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这个Erdős–Straus猜想关注a丢番图方程，称为Erdős–Straus丢番图方程，涉及单位分数.

猜想。 (埃尔德斯·帕尔,恩斯特·斯特劳斯)方程式

${\显示样式{\frac{4}{n}}={\frac{1}{a}}+{\frac:1}{b}}+}，\quad 1\leqa\leqb\leqc，}$

总是有任何整数的解${\显示样式n\geq 2}$.

看到这一点是微不足道的${\显示样式n=1}$没有任何解决方案！

你只需要检查素数 ${\显示样式p}$，因为任何正整数（除了单元1） 是倍数${\显示样式m}$一些素数${\显示样式p}$、和

$｛\displaystyle｛\frac｛4｝｛mp｝｝＝｛\frac｛1｝｛ma｝｝+｛\frac｛1｝｛mb｝｝+｛\frac｛1｝｛mc｝｝，\ quad 1\leq a \ leq b \ leq c，\ quad m \ geq 1。｝$

因此${\显示样式f（mp）\geq f（p）}$，其中${\显示样式f（n）}$是解决方案的数量。

截至2014年，这一推测已被核实达10项 17.

这个Erdős–Straus猜想意味着我们总能找到一些正整数${\显示样式k}$至少存在一个隔板 $显示样式（a{1}，a{2}，a{3}）}$属于${\显示样式4k}$这三个部分都分为${\显示样式nk}$，即。

${\显示样式{\frac{4}{n}}={\frac{4k}{nk}}=}a{3}}\右）^{-1}={\frac{1}{a}}+{\frac{1}}{b}}+}\frac}1}{c}}，\quad a{1}+a{2}+a}3}=4k，\quade a{1{，|\，nk，\，a{2{\，|\$

因此${\显示样式nk={\rm{lcm}}（a，b，c）}$、和

$a{1}={\frac{{\rm{lcm}}（a，b，c）}{a}}，\，a{2}={\frac{{\rm{lcm{}（a，b，c）}{b}$

同样，我们只需要考虑素数。例如：

${\显示样式{\frac{4}{5}}={\frac{4\cdot 2}{5\cdot 2]}={\压裂{8}{5\ cdot 2{}={压裂{5+2+1}{5\tdot2}}=}压裂{1}{2}}+{\压裂}1}{5{5}{10}}}$

$｛\displaystyle｛\frac｛4｝｛7｝｝＝｛\frac｛4\cdot 4｝｛7\cdot 4｝｝＝｛\frac｛16｝｛7\cdot 2^｛2｝｝＝｛\frac｛7+7+2｝｛7\cdot 2^｛2｝｝＝｛\frac｛1｝｛4｝｝+｛\frac｛1｝｛14｝｝｝$

${\显示样式{\frac{4}{11}}={\frac{4\cdot 4}{11 \cdot 4]}={\ frac{16}{11\cdot 2^{2}}=}$

${\显示样式{\frac{4}{13}}={\frac{4\cdot 4}{13 \cdot 4]}={\ frac{16}{13\cdot 2^{2}}=}$

素数猜想的真理

2猜想的真理

对于唯一的偶数素数，即2，我们有解

${\显示样式{\frac{4}{2}}={\frac{2+1}{2{}={\ frac{1}{1}}+{\ frac{1}{2}{+{\压裂{1}[2]。}$

因此，这个猜想对于任何正偶数都是正确的。

素数与3（mod 4）同余猜想的真值

如果$｛\displaystyle p\equiv 3｛\pmod｛4｝｝｝$，我们一直有解决方案

${\显示样式{\frac{4}{p}}={\frac{4\左（{\tfrac{p+1}{2}}\右）}{p\左{\tfrac{p+1}{2}}\右）}\左（2+{\frac{2}{p}}\左）={\frac{1}{\左（{\tfrac{p+1}{2{}\右{\左（{\tfrac{p+1}{4}}\右）}}+{\frac{1}{\左{t{p}}+{\压裂{1}{t{p}}，}{\左（{\tfrac{p+1}{4}}\右）}}+{\frac{1}{\左{t{p}}+{\压裂{1}{t{p}}，}$

哪里${\显示样式t{p}}$是${\显示样式p}$第个 三角形数.

因此，这个猜想对于任何可被素数整除的正整数都成立${\显示样式p}$与3一致（mod 4）。

素数与1（mod 4）同余猜想的真值

如果这个猜想对${\显示样式p\equiv 1{\pmod{4}}}$则对于任何可被素数同余整除为1（mod 4）的正整数，该猜想都成立。

开放单位区间单位分数的Erdõs–Straus猜想

等效地，开放单位间隔的任何单位分数，即。${\显示样式0<{\tfrac{1}{n}}<1}$，是三个（不同或不相同）正单位分数之和的四分之一

${\显示样式{\frac{1}{n}}={\frac{1}}{4}}\左（{\frac:1}{a}}+{\frac-1}{b}}+}），\quad 1\leq a\leq b\leq c.}$

Erdős–开单位区间素数单位分数的Straus猜想

如果已知解决方案${\显示样式n}$，则已知所有倍数的解${\显示样式mn，\，m\geq 1，}$自从

${\显示样式{\frac{1}{mn}}={\frac{1}}{4}}\左（{\frac:1}{ma}}+{\frac-1}{mb}}+}），\quad 1\leq a\leq b\leq c.}$

例如，由于

${\显示样式{\frac{4}{7}}={\ frac{2\cdot3\cdot4}{2\CDot3\CDot7}}={\frac{3\cdot 7+2+1}{2\\cdot3\ cdot7}}={\frac{2\cdot7+7+3}{2_cdot3\cdoot7}}}，}$

我们有

${\显示样式{\frac{4}{7}}={\frac{1}{2}}+{\fracd{1}}{21}}+}\frac}1}{42}}=}\frac}1}{3}}++{\frac{1}}{6}+{\ frac{1{14}}。}$

然后我们可以获得以下问题的解决方案${\显示样式n=42}$只需将两边乘以${\显示样式{\tfrac{1}{6}}}$:

${\显示样式{\frac{4}{42}}={\frac{2}{21}}=}\frac}1}{12}}+{\frac:1}{126}}+}\frac}1}{252}}={\frac{1}{18}}++{\frac{1}}{36}}+\\frac{1{84}}。}$

因此，对于素数单位分数来说，证明这个猜想是正确的就足够了。

开放单位区间的任何素数单位分数，即。${\显示样式0<{\tfrac{1}{p}<1}$，是三个（不同或不相同）正单位分数之和的四分之一

${\显示样式{\frac{1}{p}}={\frac{1}}{4}}\左（{\frac:1}{a}}+{\frac-1}{b}}+}），\quad 1\leq a\leq b\leq c，}$

对于任何素数${\显示样式p}$.

4/n=1/a+1/b+1/c的溶液（a，b，c）

不同的解决方案（a、b、c）词典编纂顺序对于n>1，4/n=1/a+1/b+1/c

${\显示样式4/n\，}$		#
4/2	(1, 2, 2)	1
4/3	(1, 4, 12), (1, 6, 6), (2, 2, 3)	三
4/4	(2, 3, 6), (2, 4, 4), (3, 3, 3)	三
4/5	(2, 4, 20), (2, 5, 10)	2
4/6	（2，7，42），（2，8，24），（2，9，18），（2，10，15），（2，12，12），（3，4，12），（3，6，6），（4，4，6）	8
4/7	(2, 15, 210), (2, 16, 112), (2, 18, 63), (2, 21, 42), (2, 28, 28), (3, 6, 14), (4, 4, 14)	7
4/8	(3, 7, 42), (3, 8, 24), (3, 9, 18), (3, 10, 15), (3, 12, 12), (4, 5, 20), (4, 6, 12), (4, 8, 8), (5, 5, 10), (6, 6, 6)	10

4/n的溶液数（a，b，c）=1/a+1/b+1/c

A192786号正整数中4/n=1/a+1/b+1/c的解的个数，n>=1。（单位分数可以重复。）

{0, 3, 12, 16, 12, 45, 36, 58, 36, 75, 48, 136, 24, 105, 240, 190, 24, 159, 66, 250, 186, 153, 132, 364, 78, 129, 180, 292, 42, 531, 114, 490, 198, 159, 426, 526, 60, 201, 450, ...}

A192787号满足1<=a<=b<=c，n>=1的正整数中4/n=1/a+1/b+1/c的不同解的个数。（单位分数可以重复。）

{0, 1, 3, 3, 2, 8, 7, 10, 6, 12, 9, 21, 4, 17, 39, 28, 4, 26, 11, 36, 29, 25, 21, 57, 10, 20, 29, 42, 7, 81, 19, 70, 31, 25, 65, 79, 9, 32, 73, 96, 7, 86, 14, 62, 93, 42, 34, ...}

A073101号满足0<x<y<z，n>=2的4/n=1/x+1/y+1/z的解（x，y，z）的个数。（单位分数必须不同。）

{0, 1, 1, 2, 5, 5, 6, 4, 9, 7, 15, 4, 14, 33, 22, 4, 21, 9, 30, 25, 22, 19, 45, 10, 17, 25, 36, 7, 72, 17, 62, 27, 22, 59, 69, 9, 29, 67, 84, 7, 77, 12, 56, 87, 39, 32, 142, ...}

A？？？？？？满足0<x<y<z，n>=2的4/n=1/x+1/y+1/z的不同解（x，y，z）的个数。（单位分数必须不同。）

{0, 1, ...}

4/p=1/a+1/b+1/c的溶液（a，b，c）

中的不同解决方案（a、b、c）词典编纂顺序对于p素数，4/p=1/a+1/b+1/c的

${\显示样式4/p\，}$		#
4/2	(1, 2, 2)	1
4/3	(1, 4, 12), (1, 6, 6), (2, 2, 3)	三
4/5	(2, 4, 20), (2, 5, 10)	2
4/7	(2, 15, 210), (2, 16, 112), (2, 18, 63), (2, 21, 42), (2, 28, 28), (3, 6, 14), (4, 4, 14)	7
4/11	(3, 34, 1122), (3, 36, 396), (3, 42, 154), (3, 44, 132), (3, 66, 66), (4, 9, 396), (4, 11, 44), (4, 12, 33), (6, 6, 33)	9
4/13	(4, 18, 468), (4, 20, 130), (4, 26, 52), (5, 10, 130)	4
4/17	(5, 30, 510), (5, 34, 170), (6, 15, 510), (6, 17, 102)	4
4/19	(5, 96, 9120), (5, 100, 1900), (5, 114, 570), (5, 120, 456), (5, 190, 190), (6, 23, 2622), (6, 24, 456), (6, 30, 95), (6, 38, 57), (8, 12, 456), (10, 10, 95)	11
4/23	(6, 139, 19182), (6, 140, 9600), (6, 141, 6486), (6, 142, 4899), (6, 144, 3312), (6, 147, 2254), (6, 150, 1725), (6, 156, 1196), (6, 161, 966), (6, 174, 667), (6, 184, 552), (6, 207, 414), (6, 230, 345), (6, 276, 276), (7, 42, 138), (8, 23, 184), (8, 24, 138), (9, 16, 3312), (9, 18, 138), (10, 15, 138), (12, 12, 138)	21
4/29	(8, 78, 9048), (8, 80, 2320), (8, 87, 696), (8, 88, 638), (8, 116, 232), (10, 29, 290), (11, 22, 638)	7

4/p的溶液（a，b，c）数量=1/a+1/b+1/c

2012年，Christian Elsholtz和Terence Tao确立了

${\显示样式N\log^{2} N个\ll\sum_{p\leq N}f（p）\ll N\log^{2} N个\log\log N，}{2} N个\ll\sum_{p\leq N}f（p）\ll N\log^{2} N个\log\log N，}$

哪里${\显示样式p}$是一个首要的和$｛\displaystyle f（p）｝$是Erdős–Straus Diophantine方程的解数。

192788英镑正整数中4/p=1/a+1/b+1/c的解的个数，其中p是第n个素数。（单位分数可以重复。）

{3, 12, 12, 36, 48, 24, 24, 66, 132, 42, 114, 60, 48, 84, 216, 90, 168, 72, 108, 246, 42, 228, 162, 66, 48, 102, 156, 150, 96, 84, 198, 192, 108, 222, 114, 192, 144, 144, ...}

A192789号正整数中4/p=1/a+1/b+1/c的不同解的个数，其中p是第n个素数。（单位分数可以重复。）

{1, 3, 2, 7, 9, 4, 4, 12, 23, 7, 20, 10, 8, 15, 37, 15, 29, 12, 19, 42, 7, 39, 28, 11, 8, 17, 27, 26, 16, 14, 34, 33, 18, 38, 19, 33, 24, 25, 68, 27, 52, 18, 69, 6, 25, 43, 32, ...}

A？？？？？？满足0<x<y<z的4/p的解（x，y，z）的个数=1/x+1/y+1/z，其中p是第n素数。（单位分数必须不同。）

{0, 1, 2, 5, 7, 4, 4, 9, 19, 7, 17, 9, 12, 32, ...}

A？？？？？？4/p=1/x+1/y+1/z满足0<x<y<z的不同解（x，y，z）的数目，其中p是第n个素数。（单位分数必须不同。）

{0, 1, ...}

外部链接

• Christian Elsholtz和Terence Tao，“计算单位分数上Erdos-Straus方程的解数”arXiv公司:1107.1010.

• 埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。,调和平均值，摘自MathWorld-A Wolfram Web资源。