居中规则多色数

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2018年10月46日居中的四维正交数。

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公式

这个n个^第个4维N个_三-以细胞为中心的规则多面体（具有N个₀顶点）数量由以下公式给出：

${\显示样式\_{c} P（P）_{N_{0}}^{（4）}（N）=？，\，}{c} P（P）_{N_{0}}^{（4）}（N）=？，\，}$

哪里$｛\displaystyle\，｝$...

递归方程

${\显示样式\_{c} P（P）_{N_{0}}^{（4）}（N）=？，\，}{c} P（P）_{N_{0}}^{（4）}（N）=？，\，}$

具有初始条件

${\显示样式\_{c} P（P）_{N_{0}}^{（4）}（N）=？\，}{c} P（P）_{N_{0}}^{（4）}（N）=？\，}$

正在生成函数

${\显示样式G_{\{\_{c} P（P）_{N_{0}}^{（4）}（N）\}}（x）=？，\，}{c} P（P）_{N_{0}}^{（4）}（N）\}}（x）=？，\，}$

依据的顺序

1638年，费马提出，每个正整数最多是三个三角数、四个平方数、五个五边形数和k个 k个-多边形数。费马声称有这个结果的证据，尽管费马的证据从未被发现。 拉格朗日1770年证明了平方情形（称为四平方定理），1796年高斯证明了三角形情形。1813年，柯西最终证明了水平推广，即每个非负整数都可以写成k个 k个-gon数（称为多边形数定理），同时也进行了垂直（高维）推广（称为Hilbert-Waring问题）

非空子集${\显示样式\脚本样式A\，}$非负整数的基称为序基${\显示样式\脚本样式g\，}$如果${\显示样式\脚本样式g\，}$是每一个非负整数都可以写成其和的最小值${\显示样式\脚本样式g\，}$中的元素${\显示样式\脚本样式A\，}$拉格朗日的四个平方和可以重述为集合${\显示样式\脚本样式\{n^{2}|n=0,1,2，\ldots\}\，}$非负平方构成了4阶的基。

定理（柯西）$｛\displaystyle\scriptstyle k\geq 3｝$，集合${\显示样式\脚本样式\{P（k，n）|n=0,1,2，\ldots\}\，}$属于k个-gon数是顺序的基础${\显示样式\脚本样式k\，}$，即每个非负整数都可以写成${\显示样式\脚本样式k\，}$ k个-gon编号。

我们注意到，多边形数是平方的二维类似物。显然，立方体，四次方，五次方。。。是更高维的方形类似物。1770年，沃林在没有证明的情况下指出，每个非负整数都可以写成4个平方、9个立方体、19个四次幂等的和。1909年，希尔伯特证明了存在一个有限数${\显示样式\脚本样式g（d）\，}$这样每个非负整数都是${\显示样式\脚本样式g（d）\，}$ ${\显示样式\脚本样式d\，}$^第个功率，即集合${\显示样式\脚本样式\{n^{d}|n=0,1,2，\ldots\}\，}$属于${\显示样式\脚本样式d\，}$^第个权力是秩序的基础${\显示样式\脚本样式g（d）\，}$Hilbert-Waring问题涉及对${\显示样式\脚本样式g（d）\，}$对于${\显示样式\脚本样式d\geq 2\，}$这个问题是近90年来加法数理论中最重要的研究课题之一，也是一个非常活跃的研究领域。

差异

${\显示样式\_{c} 对_{N_{0}}^{（4）}（N）-\_{c} P（P）_{N_{0}}^{（4）}（N-1）=？，\，}{c} 对_{N_{0}}^{（4）}（N）-\_{c} P（P）_{N_{0}}^{（4）}（N-1）=？，\，}$

部分金额

${\显示样式\sum_{n=0}^{m}\_{c} P（P）_{N_{0}}^{（4）}（N）=？，\，}{c} P（P）_{N_{0}}^{（4）}（N）=？，\，}$

部分倒数和

${\displaystyle\sum_{n=0}^{m}{\frac{1}{\_{c} P（P）_{N_{0}}^{（4）}（N）}}=？，\，}{c} P（P）_{N_{0}}^{（4）}（N）}}=？，\，}$

倒数总和

${\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{\_{c} P（P）_{N_{0}}^{（4）}（N）}}=？，\，}{c} P（P）_{N_{0}}^{（4）}（N）}}=？，\，}$

公式和数值表

N个₀,N个₁,N个₂和N个_三分别是顶点（0维）、边（1维）、面（2维）和单元（3维）的数量，其中单元是实际的面。居中的规则多克隆按数量递增列出N个₀个顶点。

居中正则多克隆数公式和值

排名 第页	N个0	姓名 (N个0,N个1,N个2,N个三) Schläfli符号	公式 ${\显示样式\_{c} P（P）_{N_{0}}^{（4）}（N）\，}{c} P（P）_{N_{0}}^{（4）}（N）\，}$	生成 功能 ${\显示样式G_{\{\_{c} P（P）_{N_{0}}^{（4）}（N）\}}（x）\，}{c} P（P）_{N_{0}}^{（4）}（N）\}}（x）\，}$	n个= 0	1	2	三	4	5	6	7	8	9	10	11	12	组织环境信息系统 数
0	5	正五胞体 5个单元格 (5, 10, 10, 5) {3, 3, 3}	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$	1	6
1	8	16个单元格 (8, 24, 32, 16) {3, 3, 4}	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$	1	9
2	16	Tesseract公司 8个单元格 (16, 32, 24, 8) {4, 3, 3}	$｛\displaystyle\，｝$	${\显示样式\，}$	1	17
三	24	24单元 (24, 96, 96, 24) {3, 4, 3}	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$	1	25
4	120	600电池 (120, 720, 1200, 600) {3, 3, 5}	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$	1	121
5	600	120电池 (600, 1200, 720, 120) {5, 3, 3}	$｛\displaystyle\，｝$	${\显示样式\，}$	1	601

相关公式和数值表

N个₀,N个₁,N个₂和N个_三分别是顶点（0维）、边（1维）、面（2维）和单元（3维）的数量，其中单元是实际的面。居中的规则多克隆按数量递增列出N个₀个顶点。

居中正则多克隆数相关公式和值

排名 第页	N个0	姓名 (N个0,N个1,N个2,N个三) Schläfli符号	订单 的基础 ${\显示样式g_{\{\_{c} P（P）_{N_{0}}^{（4）}\}}=\，}{c} P（P）_{N_{0}}^{（4）}\}}=\，}$	差异 $｛\displaystyle\_{c} P（P）_{N_{0}}^{（4）}（N）-\，}{c} P（P）_{N_{0}}^{（4）}（N）-\，}$ ${\显示样式\_{c} P（P）_{N_{0}}^{（4）}（N-1）=\，}{c} P（P）_{N_{0}}^{（4）}（N-1）=\，}$	部分金额 ${\显示样式\sum_{n=0}^{m}{\_{c} P（P）_{N_{0}}^{（4）}（N）}=}{c} P（P）_{N_{0}}^{（4）}（N）}=}$	部分倒数和 ${\displaystyle\sum_{n=0}^{m}{1\over{\_{c} P（P）_{N_{0}}^{（4）}（N）}}=}{c} P（P）_{N_{0}}^{（4）}（N）}}=}$	倒数总和 ${\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}{1\over{\_{c} P（P）_{N_{0}}^{（4）}}}=}{c} P（P）_{N_{0}}^{（4）}}}=}$
0	5	正五胞体 5个单元格 (5, 10, 10, 5) {3, 3, 3}	${\显示样式\，}$	$｛\displaystyle\，｝$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$
1	8	16个单元格 (8, 24, 32, 16) {3, 3, 4}	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$
2	16	Tesseract公司 8个单元格 (16, 32, 24, 8) {4, 3, 3}	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$
三	24	24单元 (24, 96, 96, 24) {3, 4, 3}	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$
4	120	600电池 (120, 720, 1200, 600) {3, 3, 5}	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$	$｛\displaystyle\，｝$
5	600	120电池 (600, 1200, 720, 120) {5, 3, 3}	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$

序列表

中心正则多克隆数序列

N个0	${\显示样式\_{c} P（P）_{N_{0}}^{（4）}（N），\N\geq0\，}{c} P（P）_{N_{0}}^{（4）}（N），\N\geq0\，}$序列
5	{1, 6, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...}
8	{1, 9, ...}
16	{1, 17, ...}
24	{1, 25, ...}
120	{1, 121, ...}
600	{1, 601, ...}

另请参见

• 规则多色数

外部链接

• S.Plouffe，Séries Génératrices et Quelques猜想的近似《魁北克大学博士论文》，1992年。
• S.Plouffe，1031生成函数和猜想1992年，魁北克大学蒙特利尔分校。
• 赫伯特·S·威尔夫，生成功能学, 2^第二次1994年编辑。