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谈话：Tau签名

来自OeisWiki
跳转到：航行，搜索

用于生成签名列表的PARI脚本

代码

注意：由于搜索空间有限，这可能会产生错误的结果。仅用于检查，数据不足以推断OEIS序列。

find_dupe（s，n=0，r=n+1，LIM=10000/*搜索限制*/）={对于（j=r，LIM，对于（k=1，#s，numdiv（j+k-1）==s[k]||next（2））；/*找到签名*/if（！n，n=j；next）；如果（j-n>RD，RD=j-n；printf（“新记录距离：s=%d，n=%d和%d，dist.=%d\n”，s，n，j，RD）；返回（j）)/*return empty=找不到*/}sig=地图（）；S=[]；N=100；RD=1/*记录距离*/find_sig（n）={对于（L=1,99，我的（s=适用（numdiv，[n..n+L-1]）；/*寻找这个“签名”*/setsearch（S，S）||find_dupe（S，n）||return（S））}对于（n=1，n，my（s=find_sig（n））；{如果是，打印（n“：”s）；S=集合并（S，[S]）；地图输入（sig，n，s）；，print（“找不到n=“n”的签名！”）) )}

结果

1: [1]2: [2, 2]新记录距离：n=3和5时s=[2]，距离=23:[2，3]新记录距离：n=4和9时s=[3]，距离=54: [3, 2]5: [2, 4, 2]6: [4, 2, 4]新记录距离：n=7和13时s=[2,4]，距离=67: [2, 4, 3]8: [4, 3]新记录距离：n=9和25时s=[3]，距离=169: [3, 4, 2]10: [4, 2, 6]11:[2,6,2,4]*注：2,6,2也在1712: [6, 2, 4]新记录距离：n=13和37时s=[2,4]，距离=2413: [2, 4, 4, 5]14: [4, 4, 5]15: [4, 5]新记录距离：n=16和81时s=[5]，距离=6516: [5, 2]17:[2,6,2,6]*注：2,6,2也在1118: [6, 2, 6] ************19: [2, 6, 4, 4, 2]新记录距离：n=20和716时s=[6,4,4,2]，距离=69620: [6, 4, 4, 2, 8]21:[4，4，2，8]22: [4, 2, 8]23: [2, 8, 3]24: [8, 3]25: [3, 4, 4, 6, 2]新记录距离：n=26和1226时s=[4,4,6,2]，dist.=120026: [4, 4, 6, 2, 8]27: [4, 6, 2, 8, 2]新记录距离：n=28和6196时，s=[6,2,8,2]，dist.=616828:[6，2，8，2，6]29: [2, 8, 2, 6, 4]30: [8, 2, 6, 4, 4]31: [2, 6, 4, 4, 4, 9]32: [6, 4, 4, 4, 9]33:[4，4，4，9]34: [4, 4, 9]35: [4, 9]36: [9, 2, 4]新记录距离：s=[2,4,4,8]，n=37和1381，dist.=1344/*，距离小于LIMIT*/37: [2, 4, 4, 8, 2]38: [4, 4, 8, 2, 8]39: [4, 8, 2, 8, 2]40: [8, 2, 8, 2, 6]41: [2, 8, 2, 6, 6]42: [8, 2, 6, 6, 4]43: [2, 6, 6, 4, 2]新记录距离：当n=44和9836时，s=[6,6,4,2]，dist.=979244: [6, 6, 4, 2, 10]45: [6, 4, 2, 10]46: [4, 2, 10]47: [2, 10, 3]48: [10, 3]新记录距离：s=[3,6]，n=49和1681，dist.=1632/*，距离小于LIMIT*/49: [3, 6, 4]50: [6, 4, 6, 2]51:[4，6，2，8]**********OEIS说6:搜索空间不足？...

更好的PARI代码

代码

回忆：t（n，k）：=（τ（n+j），0<=j<=k）。如果t（n，k）＝s＝（s1，…，sN），则k＝n+1。

signatures=Map（）/*存储结果：*整数n=>[签名（n），搜索限制]；*list sig=>[n，{n'}，{n“}搜索限制]，其中n，n'是最早的两个n”是已知最新出现的sig。前两个允许给出m（n）=任何情况下最小*不同*出现次数；n”允许知道从哪里开始搜索更多事件。/*如果s=0，找到整数n的签名，在搜索限制limit内唯一。*如果s≠0，如果在n以外的其他地方没有找到签名s，则返回0，直到LIMIT*否则返回n’=s与n不同的最新已知出现次数*/签名（n，s=0，LIMIT=10^5）={\\debug:printf（“调用sig（%d，%d）\n”，n，s）；如果（20<cnt+=1，error（））；如果（！s \\搜索n的签名，s=ifer（映射（签名，n），E，[]）；\\检查是否已知#s||\\从未搜索：存储和追加元素，直到唯一while（签名（n，s=concat（s，numdiv（n+#s）），LIMIT），）\\当在其他地方找到这个s时，将更多元素附加到s\\否则是n的（推测…）签名：||[mapput（signatures，n，[s，LIMIT]），return（s）]；\\签名已为n所知：检查是否正常s[2]>=LIMIT&&返回（s[1]）；\\我们必须进一步推进搜索。（找出我们必须从哪里开始搜索…？）\\稍后检查是否在某处找到s。s=s[1]；而（s=签名（n，s=concat（s，numdiv（n+#s）），LIMIT），）；\\（注意：这[第一次]调用signature（）可确保我们搜索到LIMIT，\\之前存储在Map（）中的结果并非如此。）mapput（签名，n，[s，LIMIT]）；返回);\\搜索（伪）签名，假设它确实出现在n处。\\如果在其他地方直到LIMIT都没有出现，则返回0，否则返回已知的最少*distinct*n'\\注意：我们不能确定这是用增加n来调用的（对于给定的s）！my（r=ifer（地图（签名，s），E，[n，n]）；\\如果还没有初始化为[n]r[#r]<n&&mapput（签名，s，r=if（#r>2，[r[1]，r[2]，n，n]，[r[1]，n，n]））；\\完成或更新已知的最大值。r[1]<n&&返回（r[1]）；\\这就是我们所需要的r[2]>n&&（#r>2||r[2]>=LIMIT）&&return（如果（#r>2，r[2]，0））；\\同上（如果r[2]=LIMIT，r[1]=n是唯一的实例）#s>n\/3&[mapput（signatures，s，[n，oo]），返回（0）]；\\n=1=>[1]，{2,3,4}=>[x，y]，{5,6,7}=>[x，y，z]#r>2&&错误（[n，r，LIMIT]）；\\不应该发生：如果#r>2，我们知道n'≠n具有相同的s。对于（j=1，LIMIT，\\从j=1开始：如果函数是用大n调用的，我们不确定r[1]是最小的。对于（k=1，#s，numdiv（j+k-1）！=s[k]&&下一（2））；j==n&&下一步；mapput（签名，s，[r[1]，j，j]）；return（j）\\仅搜索到j)/*j*/结束；mapput（signatures，s，[r[1]，n，LIMIT]）\\在LIMIT之前没有其他出现}
对于（n=1100，打印（“t（”n“）=”，s=签名（n），“\t m（”n”）=“，如果（n>1，签名（n，s[^-1]），”-“））

结果

t（1）=[1]米（1）=-t（2）=[2,2]m（2）=3t（3）=[2,3]m（3）=2t（4）=[3，2]m（4）=9t（5）=[2,4,2]m（5）=7t（6）=[4，2，4]米（6）=10t（7）=[2,4,3]米（7）=5t（8）=[4,3]米（8）=6t（9）=[3,4,2]m（9）=25t（10）=[4，2，6]米（10）=6t（11）=[2,6,2,4]米（11）=17t（12）=[6,2,4]米（12）=18t（13）=[2,4,4,5]米（13）=37t（14）=[4,4,5]米（14）=21t（15）=[4,5]米（15）=6t（16）=[5,2]m（16）=81t（17）=[2,6,2,6]米（17）=11t（18）=[6,2,6]米（18）=12t（19）=[2,6,4,4,2]m（19）=31t（20）=[6，4，4，2，8]m（20）=716t（21）=[4，4，2，8]米（21）=57t（22）=[4，2，8]米（22）=6t（23）=[2,8,3]米（23）=29t（24）=[8,3]米（24）=30t（25）=[3，4，4，6，2]米（25）=121t（26）=[4，4，6，2，8]米（26）=1226t（27）=[4，6，2，8，2]m（27）=51t（28）=[6，2，8，2，6]米（28）=6196t（29）=[2，8，2，6，4]m（29）=41t（30）=[8，2，6，4，4]米（30）=66t（31）=[2,6,4,4,9]米（31）=211t（32）=[6,4,4,4]米（32）=92t（33）=[4、4、4和9]米（33）=85t（34）=[4，4，9]m（34）=14t（35）=[4,9]米（35）=6t（36）=[9，2，4]米（36）=100t（37）=[2,4,4,8,2]米（37）=1381t（38）=[4，4，8，2，8]米（38）=86t（39）=[4，8，2，8，2]米（39）=1191t（40）=[8,2,8,2,6]米（40）=136t（41）=[2,8,2,6,6]米（41）=29t（42）=[8，2，6，6，4]米（42）=906t（43）=[2,6,6,4,2]米（43）=331t（44）=[6，6，4，2，10]米（44）=9836t（45）=[6,4,2,10]米（45）=261t（46）=[4，2，10]米（46）=6t（47）=[2,10,3]米（47）=79t（48）=[10,3]米（48）=80t（49）=[3,6,4]米（49）=1681t（50）=[6,4,6,2]m（50）=722t（51）=[4，6，2，8，4，8]米（51）=22611...

A361088型：tau签名表

我暂时提议这样的顺序，我希望它能被接受。

米（n）

我能够修改一些现有代码来计算米(n个)定义见a309981.txt格式相当有效；然而，我的结果与用户：Jon E.Schoenfield，所以我给他发了一封电子邮件，请求他帮助解决这个矛盾。

在我看来，确立A309981型(n个)=k个包含两个证明t吨(n个，k个)是独一无二的，反例证明t吨(n个，k个-1） 不是唯一的。因此，我打算提议米(n个)一旦解决了与乔恩·肖恩菲尔德结果的差异，作为此类反例的参考集的新序列。雨果·范德桑登(谈话)2023年4月8日08:24（美国东部时间）

我同意，我已经在两天前提交了一条评论，我发现，例如，m（40）=136，而不是其中给出的非常大的数字。NJAS拒绝发表该评论，并希望等待Jon S的回复。我之前曾写信给Jon S，但直到今天才得知他因私人问题而忙碌，因此最近几天没有处理他的邮件。我还计划在序列的示例部分添加列m（n）；我认为我们还应该有签名表t（n），我提交的是https://oeis.org/draft/A361088.—MFH公司2023年4月8日21:07（美国东部夏令时）
PS：特别是，如果您键入以下内容，则使用上述（“更好”）PARI程序
gp>签名（40）
 %3 = [8, 2, 8, 2, 6]
gp>签名（40，%[^-1]）\\或使用：mapget（签名，%[*-1]）
 %4 = 136

A309981型(49)

这似乎是第一个依赖佩尔方程的案例。有人能澄清一下我们是如何证明这一点的吗A309981型(49) = 2? 尝试佩尔方程的前几个质数解x个^2 + 1 = 2年^2表示可能可以保证x个^在这些情况下，2+2总是可以被51整除（这对于证明来说已经足够了），但我不知道这是否是真的和可证明的。雨果·范德桑登(谈话)2023年4月9日14:12（美国东部夏令时）

我注意到主页显示了以下内容：
a（49）=2：（τ（n），τ（n+1））=（3,6），其中n=49，1681，并且只有两个其他已知值（即，对于大于3英寸的平方项A086397号)，但（tau（n），tau（n+1），taw（n+2））=（3，6，4）仅适用于n=49（这是素数p的唯一平方，因此sqrt（（p^2+1）/2）和（p^2+）/3也是素数）。
..但这似乎缺乏证明-它讨论了“已知值”（即素数p，q的p^2+1=2q^2的解），但不排除存在其他值的可能性。根据记录，接下来的两个解决方案看起来是（63018038201，44560482149）和（1917500294268832928599，13558774610046711780701），至少对于p<10^27没有其他解决方案，这两种情况下的p^2+2因式分解为3^2 11 17 19 59 601 2281 1535466241和3 17 233 241 1153 5521 127497803 89120964299 17749983441。雨果·范德桑登(谈话)2023年4月10日12:18（美国东部夏令时）
我研究了Pell方程解的模结构产生证明的可能性，但看起来不太可能。设（x_0，y_0）=（1，1），设（x_{I+1}，y_{I+1}）=（3x_I+4y_I，2x_I+3y_I）是Pell方程x^2+1=2y^2的解。然后看来，模任意给定素数p>3，如果（x_i，y_i）是奇数周期2t+1的周期，那么当i==t（mod 2t+1）时，x_i或y_i可以被p精确整除，而x_i^2+2永远不会被整除；相反，如果它有一个偶数周期2t，那么当i==t-1或i==t（mod 2t）时，xi^2+2可以被p精确整除，而xi、yi从来都不是。如果此模式适用于所有p，则不可能排除进一步的解决方案，即（x_i，y_i，（x_i^2+2）/3）仅通过模覆盖全部素数。雨果·范德桑登(谈话)2023年4月13日20:33（美国东部夏令时）
是的，我也尝试了模块化的方法，到目前为止还没有得出结论，但我仍然认为这可能是一种方法，对于一般情况和“自动”证明也是如此。（我承认到目前为止我并没有努力/长时间——尽快……）—MFH公司2023年4月18日09:53（美国东部夏令时）

自动化

我已经扩展了最初为其编写的代码A165500个/1，到目前为止，它看起来很稳定，并且取得了很好的结果：到目前为止它已经为自己确定了以下值A309981型并在随后的100批中（1<=n<=100）和（83，73，24）的89个n值中找到每个较短签名的最小反例；尚未确定的11个n=100以下的值是（33、34、35、49、50、64、95、96、97、98、99），我有想法进一步扩展它，至少再扩展5个。（对于任何有兴趣查看Perl代码的人A309981型-具体部件在类型：：轨道模块，但它们是更广泛生态系统的一部分。主要的顶级项目有gtauseq（暂停）和马具).

该方法基于应用（可选有界）模块化约束，以及一个半智能运行线束，该线束基于一系列手动减弱的启发式方法来决定下一步要处理的条目。它搜索每个模块的约束，直到设置的限制（再次由运行线束的启发式决定），对于给定的模块m，对任何目标值v应用以下约束（由“apply_m”函数实现）：

  • 如果τ（v）<τ（m），则v不能==0（mod m）；
  • 如果τ（v）=τ（m），则对于v>m，v不能==0（mod m）；
  • 当存在k:m=krad（k）时，如果tau（k）不除tau（v），则v不能==hk（mod m）对于任何h:gcd（h，k）=1；
  • 如果tau（v）是奇数，那么对于任何二次非残差q（mod m），v不能是==q（mod m）。

此外，如果任何值被强制为形式为v=xy^{2z}的乘积，并且x，z已知，那么它将以y而不是v重写当前的约束集，并对其进行迭代。（这在代码中称为“固定电源”。）

计划的进一步扩展如下。

  • 利用固定功率代码检测xy^{2z}-xi^2是一些i正在考虑的目标，并基于x（y^z-i）（y^z+i）因式分解应用进一步的约束。这至少应该允许它建立33-35。
  • 类似的逻辑基于y^{2z}+1的因式分解，这应该允许它建立64。
  • 根据待确定的标准，对一些模量进行测试。例如，对于t（50，4），它已经知道任何反例都必须有v==26（mod 30）。如果我要求它只考虑v==0（mod 4），它会在v+2处修正正方形，并确定这种情况是不可能的；如果我要求它只考虑v==2（mod 4），它会修正v处的正方形，并确定这种情况是不可能的。但对于a）决定并实现标准，b）自动应用切分，c）检测并利用结果，这将是相当多的新代码。

欢迎任何进一步改进的建议（或要求更好的解释）。我特别想根据这段代码的发现生成一个可读的证明，但我现在不知道该怎么做。雨果·范德桑登(谈话)2023年4月10日14:46（美国东部夏令时）

我已经实现了这些扩展中的第一个，至少是以一种粗略的形式实现的，并且做了进一步的改进：我现在已经为1<=n<=1000建立了593个值，包括除了19个值以外的所有值。事实证明，在Perl实现中很难找到k>11的反例，所以我计划接下来看看是否可以调整我的C实现（主要针对A292580型)，稍后返回到其他Perl扩展。
下表中缺少n<=300的值。雨果·范德桑登(谈话)2023年4月12日10:57（美国东部夏令时）
我实现了第二个扩展，并将64作为异常处理，而不是实现第三个。我已经更新了表格，以显示剩余的缺失值，最多350个；现在，除了59个值外，它已经找到了所有值，直到n=600，除了293个值之外，直到n=1000。雨果·范德桑登(谈话)2023年4月16日12:12（美国东部夏令时）
我不确定我是否理解。max是tau签名的最大长度吗？例如，在n=242时，有一个反例t（n，min-1）=t（m，min-1，=tau（m，0<=j<min），min=8，m=65…322，对吗？（对于n=49，我们有t（49，2-1）=（τ（49），τ（50））=（3，6）=t（1681，2-1t（1681，2）=（3，6，12）：这里我们知道真τ符号的长度必须大于2，但<=max=4，对吗？）因此，我们知道n=242的τ符号长度必须大于8，至少为9。现在我可能误解了，但如果“max”是签名长度的上限，那么8<长度<=9，那么长度=9，即t（242）=t（242,9-1）？那么这将不再是一个未定案件。。。那么，也许“max”不是上限？—MFH公司2023年4月18日23:07（美国东部夏令时）
“min”和“max”是A309981型（n） ：反例排除了“min”以下的所有内容；上述模块化约束类型排除了“max”以上的所有内容。重新阅读定义，我发现“t（n，k）”应该是一个（k+1）-元素向量（而不是我认为的k元素），因此第6列应该称为“t（n，max-1）”。这样可以解决困惑吗？
对我来说，如果将t（n，k）重新定义为k元素向量，会使生活更简单（即不太容易出错）；由于认知上的不和谐，我发现自己很难解析你对49和242的评论，但我还是要再来一杯咖啡。雨果·范德桑登(谈话)2023年4月19日07:30（美国东部夏令时）

作者

鉴于此，不需要“作者”部分编辑历史记录列出所有作者，甚至可以跟踪谁添加了文本的任何特定部分--安德烈·扎博洛茨基(谈话)2023年4月11日08:23（美国东部夏令时）

我明白你的意思；然而，我也可以想象，当使用这些数据创建或增加OEIS序列时，从历史中恢复信息需要付出相当大的努力，所以我认为保留该部分仍然有一些价值。雨果·范德桑登(谈话)2023年4月11日10:17（美国东部夏令时）
我也同意不需要它，原因与主要OEIS中不需要签名相同，因为人们可以（而且应该）考虑编辑历史来（准确地）知道谁写了什么（通常会带来惊喜）。然而，用于_OEIS_Wiki的样式表要求将此部分放在页面末尾。这是我放置它的唯一原因，不是因为我想看到我的名字，所以如果这个策略已经过时，我根本不反对删除它。—MFH公司2023年4月11日13:05（美国东部夏令时）

页面名称

我认为目前的标题不是最好的选择。我认为“τ签名”（不幸的是，它将被大写，但“τ签字”不是wikimedia页面的传统样式）或“τ-签名”（带有“τ签署”重定向）或“A361088型“（仍仅建议）或”A361088型：tau签名”会更好。—MFH公司2023年4月11日13:10（美国东部夏令时）

+1表示“τ签名”或“τ-签名”。雨果·范德桑登(谈话)2023年4月11日14:03（美国东部夏令时）
通过将标题移动到“tau signature”并在wiki源中插入{{DISPLAYTITLE:tau signment}}，可以将标题显示为“tau签名”（第一个字母小写）/蓬图斯·冯·布罗姆森(谈话)2023年4月12日11:11（美国东部夏令时）
好的，谢谢你的提示！我一定会试试看。您个人对显示标题的偏好是什么：“ 
τ
-签名”还是“tau签名”？—MFH公司2023年4月13日20:22（美国东部夏令时）
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