估价

泛化第页-adic范数1913年，KürscháK首次提出。A估价在上领域 是一个功能从到实数 使以下属性适用于所有以下为：

1,

2 若（iff） ,

三。,

4 暗示 对于一些常量（独立于).

如果（4）满足,然后满足三角形不平等,

4a、。为所有人.

如果（4）满足然后满足强者超测量的不平等

4b、。.

最简单的估值是绝对值对于实数满足（4b）的估值称为非-阿基米德估值; 否则，它被称为阿基米德的.

如果是对的估价和,然后我们可以定义一个新的估值通过

这确实给出了估值，但可能使用不同的常数在里面公理4.如果两个估值以这种方式联系起来，它们被称为等价的，这就给出了等价性收集所有估价的关系任何估值都等于满足三角形的估值不等式（4a）。有鉴于此，我们只需要研究满足（4a）的估值，我们经常认为公理（4）和（4a）是可互换的（尽管这不是严格意义上的true）。

如果两个估值相等，那么它们都不是-阿基米德的或两者兼而有之阿基米德的.,,和通常的欧几里德范数是阿基米德范数估价字段。对于任何首要的 ，的第页-adic数 使用-adic估价是一个非阿基米德领域.

如果是任何领域,我们可以定义琐碎的估值通过为所有人和，这是一个非阿基米德估价.如果是一个有限域，那么唯一可能的估价结束是微不足道的。可以显示出来任何估价等价于以下值之一：平凡估值，欧几里德绝对值规范，或-adic估价.

任何非平凡估价的等价性与往常一样绝对的价值或发送到第页-adic范数被证明是奥斯特罗斯基（1935）。等价的估值产生了相同的拓扑结构。相反，如果两个估值具有相同的拓扑结构，那么它们是等价的。更强的结果如下：让,, ...,估值过高它们是两两不相等的,,...,是的元素.那么存在一个无限序列(,,…）的元素这样的话

这表明，在某种意义上，不公平的估价是完全独立的。例如，考虑理性具有3-adic和5-adic估值和，并考虑下式给出的数字序列

然后作为关于，但是作为关于说明一系列数字在两种不同估价下达到两种不同的限额。

离散估值是指估价小组是实数 等价地，估价（基于领域 )如果存在真实的数 这样的话

这个-adic估值是离散的，但普通的绝对估值不是。

如果是对的估价，然后它会产生一个度量

在，从而导致拓扑在.如果满足（4b），则度量为超测量的.我们这么说是一个完整的赋值字段，如果度量空间已完成。