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对称多项式

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上的对称多项式n个变量x_1, ...,x个n（也称为完全对称多项式）是一个函数没有任何变化置换其变量。换句话说，对称多项式满足

f（y_1，y_2，…，y_n）=f（x_1，x_2，……，x_n），
（1）

哪里y_i=x（pi（i））和圆周率武断置换指数1，2, ...,n个。

对于固定n个，中所有对称多项式的集合n个变量构成维度代数n个一元多项式的系数f（x）学位n个是代数独立的对称多项式的根如果，从而形成所有此类对称多项式集合的基础。

对称多项式有四个常见的齐次基，每个基都由一个划分索引λ（杜米特里乌等。2004). 出租我长度为λ，基本函数eλ，完全齐次函数hλ、和幂和函数p_λ为定义l=1通过

e（λ_1）=sum_（j_1<j_2<…<j_（λ_1））x（j_1）。。。x（j（λ_1））
(2)
h（λ_1）=总和_（m_1+…+m_n=lambda_1）乘积_（j=1）^（n）x^（m_j）
(3)
p_（λ_1）=总和_（j=1）^（n）x^（λ_1），
(4)

和用于l> 1个通过

s_lambda=产品（i=1）^ls（lambda_i）
(5)

哪里秒是其中之一e（电子），小时或第页。此外单项式的功能m_λ定义为

m_lambda=总和_（S_lambda中的sigma）x_（sigma（1））^（lambda_1）x_。。。x（σ（m））^（λ_m），
(6)

哪里λ（_L）是在和中给出不同项的一组排列，并且λ被认为是无限的。

由于常用几种不同的缩写和约定，因此在确定使用哪种对称多项式时必须小心。

初等对称多项式像素（x_1，…，x_n）（_k）（有时表示西格玛_k或eλ)上的n个变量{x_1，…，x_n}由定义

Pi_1（x_1，…，x_n）=总和_（1<=i<=n）x i
(7)
Pi_2（x_1，…，x_n）=总和（1<=i<j<=n）x_ix_j
(8)
Pi_3（x_1，…，x_n）=总和（1<=i<j<k<=n）x_ix_jx_k
(9)
Pi_4（x_1，…，x_n）=总和（1<=i<j<k<l<=n）x_ix_jx_kx_l
(10)
|
(11)
Pi_n（x_1，…，x_n）=产品_（1<=i<=n）x i。
(12)

这个k个第个基本对称多项式在沃尔夫拉姆语言作为对称多项式[k个，{x1个，...,x个}].对称还原[如果，{x1个，...,x个}]给出了一对多项式{p，q}在里面x_1, ...,x个n哪里第页是对称部分q个是余数。

或者，Pi_j（x_1，…，x_n）可以定义为x^（n-j）在中生成功能

产品_（1<=i<=n）（x+x i）。
(13)

例如，在四个变量上x_1, ...,x4个，基本对称多项式为

Pi_1（x_1，x_2，x_3，x_4）=x_1+x_2+x_3+x_4
(14)
Pi_2（x_1，x_2，x_3，x_4）=x_1x_2+x_1x_3+x_1x_4+x_2x_3+x2x_4+X3x_4
(15)
Pi_3（x_1，x_2，x_3，x_4）=x_1x_2x_3+x1x_2x_4+x1x_3x_4+x_2x3x_4
(16)
Pi_4（x_1，x_2，x_3，x_4）=x_1x_2x_3x_4。
(17)

这个功率总和 SP（x_1，…，x_n）由定义

S_p（x_1，…，x_n）=总和_（k=1）^nx_k^p。
(18)

之间的关系SP（_p）和图片_1, ...,像素（_p）由所谓的纽顿-吉拉德公式.相关功能s_p（像素_1，…，像素_n）用初等对称给出的参数多项式(不 x个n)由定义

s_p（像素_1，…，像素_n）=（-1）^（p-1）S_p（x_1，…，x_n）
(19)
=（-1）^（p-1）和（k=1）^。
（20）

事实证明s_p（像素_1，…，像素_n）由生成功能

ln（1+Pi_1t+Pi_2t^2+Pi_3t^3+…）=sum_（k=1）^infty（s_k）/kt^k=Pi_1t+1/2（-Pi_1^2+2Pi_2）t^2+1/3（Pi_1^3-3Pi_1Pi_2+3Pi_3）t^3+。。。，
(21)

所以前几个值是

s_1=Pi_1型
(22)
第2秒=-Pi_1^2+2Pi_2
（23）
第3节=Pi_1^3-3Pi_1Pi_2+3Pi_3
(24)
第4节=-Pi_1^4+4Pi_1^2Pi_2-2Pi_2^2-4Pi_1Pi_3+4Pi_4。
(25)

一般来说，s_p（英文）可以从行列式

s_p=（-1）^（p-1）|Pi_1 1 0。。。0; 2Pi_2 Pi_1 10。。。0; 3Pi_3 Pi_2 Pi_1 1。。。0; 4Pi_4Pi_3Pi_2 Pi_1。。。0; | | | | ... 1; pPi_pPi_（p-1）Pi_（p-2）Pi_。。。图片_1|
（26）

（利特伍德1958年，卡多根1971年）。特别地，

S_1（x_1，…，x_n）=sum_（k=1）^（n）x_k=Pi_1
(27)
S_2（x_1，…，x_n）=图1 ^2-2图2
（28）
S_3（x_1，…，x_n）=Pi_1^3-3Pi_1Pi_2+3Pi_3
(29)
S_4（x_1，…，x_n）=Pi_1^4-4Pi_1^2Pi_2+2Pi_2^2+4Pi_1Pi_3-4Pi_4
（30）

（Schroeppel 1972），可以通过插入和乘法进行验证。

另请参见

对称函数基本定理，杰克多项式，分区多项式，多变量厄米特多项式，多变量雅可比多项式，多变量拉盖尔多项式，多变量正交多项式，牛顿-吉拉德公式，正交多项式，电源总和，对称函数，维埃塔的公式

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Borwein，P.和Erdélyi，T。多项式和多项式不等式。纽约：Springer-Verlag，第5页，1995年。卡多根，C.C.公司。“Möbius函数和连通图。”J.组合。第二类 11, 193-200, 1971.杜米特里乌，I。；Edelman，A。；和舒曼，G.“MOPS：多元正交多项式（符号）”，印前。2004年3月26日。利特伍德，J.E。A类大学代数，第二版。伦敦：海涅曼，1958年。施罗佩尔，R.Beeler，M.中的第6项。；Gosper，R.W。；和Schroeppel，R。哈克姆。剑桥，麻省理工学院人工智能实验室，备忘录AIM-239，第4页，1972年2月。http://www.inwap.com/pdp10/hbaker/hakmem/geometry.html#item6。塞鲁，R.“牛顿-吉拉德公式”§10.12 in编程对于数学家来说。柏林：Springer-Verlag，第278-279页，2000年。

引用的关于Wolfram | Alpha

对称多项式

引用如下：

大卫·特雷和埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“对称多项式”。摘自数学世界--A类Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/SymmetricPolynomial.html

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