Mertens猜想

鉴于Mertens函数由定义

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哪里是莫比乌斯函数Stieltjes声称在1885年写给赫米特的信中保持在两个固定范围内，他建议可能被认为是（哈维尔2003年，第208页）。同年，Stieltjes（1885）声称他有一般结果的证据。然而，这似乎是可能的Stieltjes在这一主张中是错误的（Derbyshire 2004，第160-161页）。默滕斯（1897）随后发表了一篇基于Stieltjes的说法

(2)

对于“很可能”

梅滕斯猜想具有重要的含义，因为任何等式的真理表单的

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对于任何固定（Mertens猜想的形式)意味着黎曼假设事实上

(4)

对于任何相当于黎曼假设（德比郡2004年，第251页）。

Mertens（1897）验证了以下猜想，这后来扩展到冯·斯特内克（1912；德莱格利什和里瓦特1996). Odlyzko和te Riele（1985）证明了Mertens猜想是错误的。他们的证明是间接的，不会产生具体的反例，但它确实表明那个

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（哈维尔2003年，第209页）。Odlyzko和te Riele（1985）认为，Mertens猜想没有反例，甚至称Stieltjes的假设证据非常有力问题（德比郡，2004年，第161页）。

Pintz（1987）随后指出，至少有一个与猜想相反的例子发生在（Havil 2003，第209页），使用加权积分平均值和包含非平凡零点的离散和黎曼-泽塔函数。的第一个值对于其中仍然未知，但已知会超过（te Riele 2006），改进了之前的最佳结果属于（Lioen和van de Lune 1994）和（1993年礼服；1996年Deléglise和Rivat）。

目前尚不清楚

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尽管这看起来很有可能（Odlyzko和te Riele 1985）。