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矩阵乘法

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产品C类共两个矩阵 A类和B类定义为

c（ik）=a（ij）b（jk），
(1)

哪里j个求和所有可能的值我和k个上面的符号使用爱因斯坦总和惯例。在没有显式和符号的存在称为爱因斯坦总和，常用于矩阵和张量分析。因此，为了定义矩阵乘法矩阵必须满足

（n×m）（m×p）=（n×p），
(2)

哪里（a×b）表示矩阵具有一行和b条柱。明确写出产品，

[c_（11）c_（12）…c_（1p）；c_（21）c_（2p）；||…|；b_（m1）b_（m2）…b_（mp）]，
(3)

哪里

c（11）=a（11）b（11）+a（12）b（21）++a（1m）b（m1）
(4)
c（12）=a（11）b_（12）+a（12）b（22）++a（1米）b（平方米）
(5)
c（1p）=a_（11）b_（1p）+a_（12）b（2p）++a（1m）b（mp）
(6)
c（21）=a_（21）b_（11）+a_（22）b（21）++a（2米）b（1米）
(7)
c（22）=a_（21）b_（12）+a_（22）b（22）++a（2米）b（平方米）
(8)
c（2p）=a_（21）b_（1p）+a_（22）b_（2p）++a（2米）b（mp）
(9)
c（n1）=a_（n1）b_（11）+a_（n 2）b（21）++a（nm）b（m1）
(10)
c（n2）=a_（n1）b_（12）+a_（n 2）b（22）++a（纳米）b（平方米）
(11)
c（np）=a（n1）b（1p）+a（n2）b（2p）++a（nm）b（mp）。
(12)

矩阵乘法是相联的可以看出通过采取

[（ab）c]（ij）=（ab）（ik）c（kj）=，
(13)

哪里爱因斯坦求和再次使用。现在，因为a_（il）,b（lk）,和c（kj）是标量，使用结合性属于标量乘法写

（a（il）b（lk））c（kj）=a（il。
(14)

因为这对所有人来说都是真的我和j个，这一定是真的

（ab）c=a（bc）。
(15)

也就是说，矩阵乘法是相联的.方程式(13)因此可以写入

[abc]（ij）=a（il）b（lk）c（kj），
(16)

没有歧义。由于关联性，矩阵形成半群在乘法运算下。

矩阵乘法也是分配的.如果A类和B类是m×n矩阵和C类和D类是n×p矩阵，然后

A（C+D）=交流+广告
(17)
（A+B）C=AC+BC。
(18)

自n×n矩阵构成阿贝尔群在添加中，n×n矩阵构成a戒指.

然而，矩阵乘法是不一般来说，可交换的（尽管它是可交换的如果A类和B类是对角线的和的相同尺寸）。

二的乘积块矩阵乘以每个区块

[o o；o o；o o o；o o o；o o o；o o o][x x；x x；x x x；xx x=【o o；o o】【x x；x x】；[o] [x]；[o o o；o o o o；o o o][x x x；x x x，x x x]]。
(19)

另请参见

线性变换,矩阵,矩阵加法,矩阵逆矩阵,斯特拉森公式 探索数学世界课堂上的这个主题

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工具书类

阿夫肯，G。物理学家数学方法，第三版。佛罗里达州奥兰多：学术出版社，第178-179页，1985A.Fawzi。等。“发现更快的矩阵乘法强化学习算法。"自然 610, 47-53, 2022.海厄姆，N.“在3级BLAS中利用快速矩阵乘法。”ACM公司事务处理。数学。柔软。 16, 352-368, 1990.

参考Wolfram | Alpha

矩阵乘法

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“矩阵乘法。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/MatrixMultiplication.html

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