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拉普拉斯变换

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拉普拉斯变换是积分变换也许仅次于傅里叶变换在解决物理问题方面的效用。拉普拉斯变换尤其用于求解线性普通差速器方程例如电子电路分析中出现的问题。

（单边）拉普拉斯变换L（左）（不要与谎言导数，也通常表示L（左）)由定义

L_t[f（t）]（s）=int_0^inftyf（t）e^（-st）dt，
(1)

哪里f（t）为定义t> =0（Abramowitz和Stegun，1972年）。单边拉普拉斯变换几乎总是是指“拉普拉斯变换”，尽管双边的拉普拉斯变换有时也被定义为

L_t^（（2））[f（t）]（s）=int_（-infty）^inftyf（t）e^（-st）dt
(2)

（奥本海姆等。1997). 单边拉普拉斯变换L_t[f（t）]（s）在中实现沃尔夫拉姆语言作为Laplace变换[f【t】,t吨,秒]拉普拉斯逆变换为反向天线变换.

拉普拉斯逆变换称为Bromwich积分，有时称为Fourier-Mellin积分（另请参见相关的杜哈默尔卷积原理).

下面给出了几个重要的单边拉普拉斯变换的表。

（f）L_t[f（t）]（s）条件
1每秒1次
t吨1/（s^2）
第^n页（n！）/（s^（n+1））Z中的n>=0
塔卡（伽马（a+1））/（s^（a+1R[a]>-1
e ^（时间）1/（s-a）
cos（欧米伽特）s/（s^2+omega^2）Ωin R
罪恶（欧米伽特）ω/（s^2+ω^2）s> |我[欧米茄]|
cosh（欧米伽特）s/（s^2-omega^2）s> | R[欧米茄]|
辛格（欧米伽特）ω/（s^2-omega^2）s> |I[ω]|
e^（at）sin（bt）b/（（s-a）^2+b^2）s> a+|I[b]|
e ^（at）cos（bt）（s-a）/（s-a）^2+b^2）R中的b
三角洲（t-c）e ^（-cs）
H_c（吨）｛对于c<=0为1/s；对于c>0为（e^（-cs））/s
J_0（吨）1/（平方米（s^2+1））
J_n（时间）（平方英尺（s^2+a^2）-s）^n）/（a^nsqrt（s^2+a^2））Z中的n>=0

在上表中，J_0（吨）是零阶贝塞尔函数第一类,δ（t）是delta函数,和H_c（吨）是Heaviside阶跃函数.

拉普拉斯变换有许多重要的性质。拉普拉斯变换存在定理指出，如果f（t）是分段连续关于中的每个有限区间[0，infty）令人满意的

|f（t）|<=我（在）
(3)

对所有人来说[0，infty中的t）,然后L_t[f（t）]（s）对所有人都存在s> 一个.拉普拉斯变换也是独特的从这个意义上说，给定两个函数F_1（t）和F_2（吨）使用相同的变换，以便

L_t[F_1（t）]（s）=L_t[F_2（t）]（s）=F（s），
(4)

然后勒奇定理保证积分

int_0^aN（t）dt=0
(5)

全部消失a> 0个对于null函数由定义

N（t）=F_1（t）-F_2（t）。
(6)

拉普拉斯变换是线性的自从

L_t【af（t）+bg（t）】=int_0^infty[af（t）+bg（t）]e^（-st）dt
(7)
=aint_0^inftyfe^（-st）dt+bint_0^ inftyge^（-st）dt
(8)
=aL_t[f（t）]+bL_t[g（t）]。
(9)

拉普拉斯变换卷积由提供

L_t[f（t）*g（t）]=L_t[f（t）]L_t[g（t）]L_t^（-1）[FG]=L_t ^（-1）[F]*L_t（-一）[G]。
(10)

现在考虑一下区别.让f（t）连续可微n-1个中的次[0，infty）.如果|f（t）|<=我（在），那么

L_t[f^（（n））（t）]（s）=s^nL_t[f（t）]-s^（n-1）f（0）-s^-f^（n-1））（0）。
(11)

这可以通过以下方式得到证明按部件集成,

L_t[f^'（t）]（s）=lim_（a->infty）int_0^ae^（-st）f^'（t）dt
(12)
=lim（a->infty）{[e^（-st）f（t）]0^a+sint_0^ae^（-st）f（t）dt}
(13)
=lim_（a->infty）[e^（-sa）f（a）-f（0）+sint_0^ae^（-st）f（t）dt]
(14)
=sL_t[f（t）]-f（0）。
(15)

继续求高阶导数，然后给出

L_t[f^（“”）（t）]（s）=s^2L_t[f（t）】（s）-sf（0）-f^'（0）。
(16)

此属性可用于将微分方程转换为代数方程，此过程称为Heaviside演算,然后对其进行逆变换以获得解。例如，应用方程的拉普拉斯变换

f^（''）（t）+a_1f^'（t）+a_0f（t）=0
(17)

给予

｛s^2L_t[f（t）]（s）-sf（0）-f^'（0）｝+a_1｛sL_t[f（t）]（s）-f（0）｝+a_0L_t[f（t）]（s）=0
(18)
L_t[f（t）]（s）（s^2+a_1s+a_0）-sf（0）-f^'（0）-a_1f（0，
(19)

可以重新排列为

L_t[f（t）]（s）=（sf（0）+f^'（0）+a_1f（0））/（s^2+a_1s+a_0）。
(20)

如果该方程可以进行拉普拉斯逆变换，则求解原微分方程。

拉普拉斯变换满足了许多有用的特性。考虑指数运算.如果L_t[f（t）]（s）=f（s）对于s> 阿尔法（即。，F（s）个是的拉普拉斯变换（f）)，然后L_t[e^（at）f]（s）=f（s-a）对于s> a+α。以下为

F（s-a）=int_0^inftyfe^（-（s-a）t）dt
(21)
=int_0^infty[f（t）e^（at）]e^
(22)
=L_t[e^（at）f（t）]（s）。
(23)

拉普拉斯变换在应用于积分的函数。如果f（t）是分段连续和|f（t）|<=我（在），那么

L_t[int_0^tf（t^'）dt^']=1/sL_t[f（t）]（s）。
(24)

另请参见

双边拉普拉斯变换,Bromwich积分,梅林变换完整的,傅里叶变换,完整的转换,Laplace-Stieltjes变换,运算数学,单边拉普拉斯变换 探索数学世界课堂上的这个主题

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M.Abramowitz和I.A.Stegun。（编辑）。《拉普拉斯变换》第29章手册《数学函数与公式、图形和数学表》，第9次印刷。纽约：多佛，第1019-1030页，1972年。阿夫肯，G。数学《物理学家方法》，第3版。佛罗里达州奥兰多：学术出版社，第824-863页，1985R.V.丘吉尔。操作数学。纽约：McGraw-Hill，1958年。G.多伊奇。介绍拉普拉斯变换的理论和应用。柏林：Springer-Verlag，1974P·富兰克林。安傅立叶方法和拉普拉斯变换简介。纽约：多佛，1958年。美国格拉芙。应用拉普拉斯变换和z（z）-科学家和工程师的转变：计算方法使用一Mathematica包。瑞士巴塞尔：Birkhäuser，2004Jaeger，J.C。和Newstead，G.H。安工程应用拉普拉斯变换简介。伦敦：Methuen，1949年。Henrici，P。应用和计算复杂性分析，第2卷：特殊函数，积分变换，渐近，连分式。纽约：Wiley，第322-350页，1991年。“将军”，S.G.公司。《拉普拉斯变换》第15.3节手册复杂变量的。马萨诸塞州波士顿：Birkhäuser，第212-214页，1999年。莫尔斯，下午。和Feshbach，H。方法理论物理第一部分。纽约：McGraw-Hill，第467-469页，1953Oberhettinger，F。桌子拉普拉斯变换。纽约：Springer-Verlag出版社，1973年。奥本海姆，交流。；Willsky，A.S。；和Nawab，S.H。信号和系统，第2版。新泽西州上鞍河：普伦蒂斯·霍尔，1997年。普鲁德尼科夫，A.P.公司。；于·布里奇科夫。A。；和O.I.Marichev。积分和系列，第4卷：直接拉普拉斯变换。纽约：戈登和违约，1992年。Prudnikov，A.P。；于·布里奇科夫。答：。；和Marichev，O.I.公司。积分和系列，第5卷：拉普拉斯逆变换。纽约：戈登和Breach，1992年。明镜，M.R。理论拉普拉斯变换的问题。纽约：McGraw-Hill，1965年。Weistein，东-西。“关于拉普拉斯变换的书籍。”http://www.ericweisstein.com/encyclopedias/books/LaplaceTransforms.html.Widder（颤抖），直流电。这个拉普拉斯变换。新泽西州普林斯顿：普林斯顿大学出版社，1941年。兹威林格，D.（编辑）。CRC公司标准数学表和公式。佛罗里达州博卡拉顿：CRC出版社，第231页和5431995年。

参考Wolfram | Alpha

拉普拉斯变换

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“拉普拉斯变换。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/LaplaceTransform.html

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