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高斯积分

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高斯积分，也称为概率积分与电流变液函数，是一维积分高斯函数结束（-infty，infty）.它可以通过组合两个一维高斯函数来计算

int_（-infty）^inftye^（-x^2）dx=sqrt（（int_（-infty）^inftye^（-x^2）dx）（int_
(1)
=sqrt（（int_（-infty）^inftye^（-y^2）dy）（int_
(2)
=sqrt（int_（-infty）^inftyint_（-inty）^inttye^（-（x^2+y^2））dydx）。
(3)

这里利用了积分中的变量是虚拟变量它最终集成在一起，因此可以从x个到年.切换到极坐标然后给出

int_（-infty）^inftye^（-x^2）dx=平方（int_0^（2pi）int_0^inftye^（-r^2）rdrdtheta）
(4)
=平方码（2pi[-1/2e^（-r^2）]_0^infty）
(5)
=平方英尺（圆周率）。
（6）

还有一个不需要转换的简单身份证明到极坐标（尼古拉斯和耶茨，1950年）。

从0到有限上限的积分一可以通过继续的分数

int_0^ae^（-t^2）dt=1/2平方（pi）erf（a）
(7)
=1/2sqrt（pi）-（e^（-a^2））/（2a+）1/（a+）2/（2a＋）3/（a＋）4/（2a＋…），
(8)

哪里erfx公司是电流变液（误差函数），正如拉普拉斯首先指出的那样，雅各比证明，拉马努扬重新发现（沃森1928；哈代1999，第8-9页）。

积分的一般类表单的

I_n（a）=int_0^inftye^（-ax^2）x^ndx
(9)

可以通过设置

x个=a ^（-1/2）年
(10)
dx公司=a ^（-1/2）天
(11)
年^2=ax ^2（轴^2）。
(12)

然后

I_n（a）=a^（-1/2）int_0^inftye^（-y^2）（a^[-1/2）y）^ndy
(13)
=a^（-（n+1）/2）int_0^inftye^（-y^2）y^ndy。
(14)

对于n=0,这只是通常的高斯积分，所以

I_0（a）=（平方（pi））/2a^（-1/2）=1/2sqrt（pi/a）。
（15）

对于n=1,被积函数可以通过求积来积分，

I_1（a）=a^（-1）int_0^inftye^（-y^2）ydy=a^。
(16)

要计算I_n（a）对于n> 1个,使用身份

-部分/（部分）I_（n-2）（a）=-部分/（partiala）int_0^inftye^（-ax^2）x^（n-2）dx
(17)
=-int_0^infty-x^2e^（-ax^2）x^（n-2）dx
(18)
=int_0^inftye^（-ax^2）x^ndx
(19)
=I_n（a）。
(20)

对于n=2秒 即使,

I_n（a）=（-部分/（部分））I_（n-2）（a）
(21)
=（-部分/（部分））^2I_（n-4）
(22)
=…=（-部分/（部分））^（n/2）I_0（a）
(23)
=（部分^（n/2））
(24)
=（sqrt（pi））/2（局部^（n/2））/（部分^（n/2））a^（-1/2），
(25)

所以

int_0^inftyx^（2s）e^（-ax^2）dx=（（第1/2页）！）/（2a^（s+1/2））
(26)
=（（2s-1）！！）/（2^（s+1）a^s）平方（pi/a），
(27)

哪里n！！是一个双阶乘.如果n=2秒+1是古怪的，然后

I_n（a）=（-偏/（偏a））I_（n-2）（a）
(28)
=（-部分/（部分））^2I_（n-4）（a）
(29)
=…=（-部分/部分）^（n-1）/2）I_1（a）
(30)
=（部分^（（n-1）/2））/（部分）I_1（a）
(31)
=1/2（部分^（（n-1）/2）），
(32)

所以

int_0^inftyx^（2s+1）e^（-ax^2）dx=（s！）/（2a^（s+1））。
(33)

因此，解决方案是

对于n个偶数，int_0^inftye^（-ax^2）x^ndx={（（n-1）！）/（2^（n/2+1）a^（n/2））sqrt（pi/a）；对于n个奇数，（[1/2（n-1。
(34)

因此，前几个值是

I_0（a）=1/2平方米（pi/a）
(35)
I_1（a）=1/（2a）
(36)
I_2（a）=1/（4a）平方（pi/a）
(37)
I_3（a）=1/（2a^2）
(38)
I_4（a）=3/（8a^2）平方米（pi/a）
(39)
I_5（a）=1/（a^3）
(40)
I_6（a）=（15） /（16a^3）平方米（pi/a）。
(41)

一个相关的、通常有用的积分是

H_n（a）=1/（sqrt（pi））int_（-infty）^inftye^（-ax^2）x^ndx，
(42)

它简单地由

H_n（a）={（2I_n（a））/（sqrt（pi））表示n个偶数；0表示n个奇数。
(43)

更一般的积分x^ne^（-ax^2+bx）具有以下闭合形式，

int_（-infty）^inftyx^ne^（-ax^2+bx）dx=i^（-n）a^（-（n+1）/2）sqrt（pi）e^（b^2/（4a））U（-1/2n；1/2；-b^2/4a）
(44)
=sqrt（pi/a）e^（b^2/（4a））sum_（k=0）^（|_n/2_|）（n！）/（k！（n-2k）！）（2b）^（n-2k））/（4a）^
(45)
=sqrt（pi/a）e^（b^2/（4a））sum_（k=0）^（|_n/2_|）（n；2k）（2k-1）！！（2a）^（k-n）b^（n-2k）
(46)

对于整数n> 0个（F.Pillolli，个人通讯）。对于(45)和(46),a、 C-{0}中的b（该穿孔平面),R[a]>0、和(-1)!!=1.给，U（a；b；x）是一个汇合的第二类超几何函数和（n；k）是一个二项式系数.

另请参见

Erf公司,高斯积分,高斯函数,莱布尼兹积分法则,正态分布

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工具书类

Guitton，E.“形式的演示”努夫。安。数学。 65, 237-239, 1906.G.H.哈代。拉马努扬：关于他的生活和工作所建议主题的十二讲，第三版。纽约：切尔西，1999年。尼古拉斯，C.B。和Yates，R.C。“概率完整的。"阿米尔。数学。每月 57, 412-413, 1950.帕普利斯，答：。概率，随机变量和随机过程，第二版。纽约：McGraw-Hill，第147-148页，1984年。G.N.沃森。“Ramanujan陈述的定理（四） ：级数的近似积分和求和定理。"J.伦敦数学。Soc公司。 三, 282-289, 1928.

参考Wolfram | Alpha

高斯积分

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“高斯积分。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/GaussianIntegral.html

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