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Cayley-Klein参数

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参数阿尔法,贝塔,伽马射线,和三角洲哪一个，像三个欧拉角，提供一种方式唯一地表征固体的方向。这些参数满足身份

α^_+γ^_=1
(1)
α^_+ββ^_=1
(2)
贝塔贝塔^_+deltadelta^_=1
(3)
α^β+γ^δ=0
(4)
阿尔法德尔塔-贝塔加玛=1
(5)

和

贝塔=-伽马射线^_
(6)
三角洲=α^_，
(7)

哪里z^_表示复共轭。就欧拉角 θ,φ，以及磅/平方英寸，Cayley-Klein参数由下式给出

阿尔法=e ^（i（psi+phi）/2）cos（1/2θ）
(8)
贝塔=即^（i（psi-phi）/2）sin（1/2θ）
(9)
伽马射线=即^（-i（psi-phi）/2）sin（1/2θ）
(10)
三角洲=e ^（-i（psi+phi）/2）cos（1/2θ）
(11)

（戈尔茨坦1980年，第155页）。

根据Cayley-Klein参数给出变换矩阵

A=[1/2（α^2-γ^2+δ^2-β^2）1/2i（γ^2-α^2+△^2-贝塔^2）伽玛代尔塔-阿尔巴贝塔；1/2i
(12)

（戈尔茨坦1980年，第153页）。

Cayley-Klein参数可视为矩阵的参数（表示为问因为它与四元数)

Q=[α-β；γ-δ]
(13)

这是转换的特征

u ^’=alphau+betav
(14)
v ^’=甘马+德尔塔夫。
(15)

具有复杂轴的线性空间。该矩阵满足

Q^（H）Q=QQ^，
(16)

哪里我是单位矩阵和A ^（H）这个共轭转置,以及

|Q|^（H）|Q|=1。
(17)

就Euler参数 （_i）和泡利矩阵 西格玛i,这个问-矩阵可以写为

Q=e_0I+i（e_1sigma_1+e_2sigma_2+e_3sigma_3）
(18)

（戈尔茨坦1980年，第156页）。

另请参阅

欧拉角,Euler参数,泡利矩阵,四元数,旋转

与Wolfram一起探索| Alpha

工具书类

Goldstein，H.“Cayley-Klein参数和相关量”，第4-5节经典力学，第二版。马萨诸塞州雷丁：Addison-Wesley，第148-1581980页。瓦沙洛维奇，D.A.公司。；Moskalev，A.N。；和Khersonskii，V.K。“描述酉旋转2×2矩阵。Cayley-Klein参数。" §1.4.3在里面量子角动量理论。新加坡：《世界科学》，第24-27页，1988.

参考Wolfram | Alpha

Cayley-Klein参数

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“Cayley-Klein参数。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/Cayley-KleinParameters.html

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