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Bean曲线

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有一些平面曲线称为“bean曲线”

Bean曲线

Cundy和Rowlet（1989年，第72页）确定的bean曲线是四次方的曲线由隐式方程给出

x^4+x^2y^2+y^4=轴（x^2+y ^2）。
(1)

它的水平切线位于（2/3a，+/-2/3a）和垂直切线位于(0,0)和（a，0）曲线所包围的面积由下式给出

A类=平方（2）a^2int_0^1sqrt（x（1-x+平方（1+（2-3x）x））dx
(2)
=（7平方英尺^2）/（12平方英尺（3））
(3)
=1.058049…a^2
(4)

（OEIS）A193505型). 这个几何质心 （x^_，y^_）内部的

x个^_=（23）/（42）a
(5)
年^_=0
(6)

和面积惯性矩张量内部由

I _（xx）=（113英里）/（1728平方米（3））a^4
(7)
I_（xy）=0
(8)
I_（年）=（23英里）/（108平方米（3））a^4
(9)

（E.Weisstein，2018年2月3日至5日）。这个周长由提供

秒=2int_0^1平方（1+（（1-2x+（1+3x-6x^2）/（平方（1+2x-3x^2
(10)
=3.75021364…a
(11)

（OEIS）A193506型).

利马Bean曲线

第二条与实际的豆子（特别是利马豆）更为相似的豆子曲线，这里称为“利马豆曲线”，由以下简单公式给出极性方程

r=a（sin^3heta+cos ^3heta）
(12)

（瓦塞纳；上图左图）。它也是一个四次方的曲线并且有笛卡尔方程

（x^2+y^2）^2=a（x^3+y^3）。
(13)

如果旋转利马豆，使其完全出现在y> 0个半平面，并围绕x个-轴（右图），其笛卡尔坐标等式变为

平方码（2）（x^2+y^2）^2=ay（3x^2+y^2”）。
(14)

这个参数方程原件的极曲线是

x个=acost（sin^3t+cos^3t）
(15)
年=asint（sin^3t+cos^3t）。
(16)

此曲线具有最大值x（最大）=y（最大）=1和最小值x_（min）=y_（min）=r，其中r=-0.28288。。。是的真正根源27-27x-288x^2+512x^3=0曲线包围的面积为

A类=5/（16）pia^2
(17)
=0.98174770…a^2
(18)

（参见OEISA244978号). 这个几何质心 （x^_，y^_）内部的

x个^_=3/（10）a
(19)
年^_=3/（10）a，
(20)

和周长通过

秒=aint_0^pisqrt（1+3/2sin^2（2theta）-2sin^3（2theda））数据集
(21)
=1/2aint_0^（2pi）平方（1+3/2sin^2x-2sin^3x）dx
(22)
=aint（-1）^1sqrt（（2+3y^2-4y^3）/（2（1-y^2））年
(23)
=3.93170280…a
(24)

（OEIS）A336501飞机). 这个地区转动惯量内部张量由下式给出

I=[（123pi）/（2048）a^4-（9pi）/（1024）a^4；-（9pi）/（1024）a^4（123pi）/（2048）a^4]。
(25)

另请参见

二尖曲线,利马松

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Cundy，H.和Rollett，A。数学模型，第3版。斯特拉德布鲁克，英格兰：Tarquin Pub。，第72页，1989年。斯隆，新泽西州。答：。序列A193505型,A193506型,A244978号、和A336501飞机在“整数序列在线百科全书”中瓦塞纳，J.“数学曲线：Bean曲线（1）”http://www.2dcurves.com/quartic/quarticbn.html瓦塞纳，J.“数学曲线：Bean曲线（2）”http://www.2dcurves.com/quartic/quarticbn2.html

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“Bean Curve”摘自数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/BeanCurve.html

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