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阿拉迪·格林斯特德常数

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考虑分解阶乘的 不！变成乘法因子p_k^（b_k）按非递减顺序排列。例如，

4!=3·2^3
(1)
=2·3·4
(2)
=2·2·2·3
(3)

和

5!=3·5·2^3
(4)
=2·3·2^2·5
(5)
=2·2·2·3·5.
(6)

此类分区的数量n=2, 3, ... 是1、1、3、3、10、10、30、75、220。。。（组织环境信息系统A085288号).

现在考虑这种长度分解的数量n个例如，

9!=2·2·2·2·2·2^2·5·7·3^4
(7)
=2·2·2·2·3·5·7·2^3·3^3
(8)
=2·2·2·2·5·7·2^3·3^2·3^2
(9)
=2·2·2·3·2^2·2^2·5·7·3^3
(10)
=2·2·2·2^2·2^2·5·7·3^2·3^2
(11)
=2·2·2·3·3·5·7·3^2·2^4
(12)
=2·2·3·3·2^2·5·7·2^3·3^2
(13)
=2·2·3·3·3·3·5·7·2^5
(14)
=2·3·3·2^2·2^2·2^2·5·7·3^2
(15)
=2·3·3·3·3·2^2·5·7·2^4
(16)
=2·3·3·3·3·5·7·2^3·2^3
(17)
=3·3·3·3·2^2·2^2·5·7·2^3.
(18)

此类分区的数量n=2, 3, ... 是0、0、1、1、2、2、5、12、31、31、78、78、191、，…（OEIS）A085289号).

现在让我们

m（n）=最大值（p_1^（b_1）），
(19)

即。，米（n）是最小素因子提出适当要求权力在长度因子分解中n个。对于n=4, 5, ...,米（n）由2,2,2,3,3,3,13,4,4,4给出，4, 5, 5, 5, 5, 5, ... （组织环境信息系统A085290号).

最后，定义

α（n）=（lnm（n））/（lnn）
(20)

哪里单位（x）是自然对数因此，对于案例n=9,米（9）=3和

α（9）=（ln3）/（ln9）=。
(21)
Alladi-Grinstead常数

对于大型n个,α（n）接近常数

lim（n->infty）α（n）=e ^（c-1）
(22)
=0.80939402054...
(23)

（组织环境信息系统A085291号)被称为Alladi-Grinstead常量，其中

c（c）=总和（k=2）^（infty）1/kln（k/（k-1））
(24)
=0.7885305659115...
(25)

（组织环境信息系统A085361号). 常量c（c）也与所谓的交替Lüroth有关陈述（Finch 2003，第62页）。

的系列c（c）可以转换为具有更好收敛特性的通过扩展加数大约无穷大

c（c）=sum_（k=2）^（infty）k^（-2）+1/2k^。。。
(26)
=sum_（k=2）^（infty）sum_。
(27)

交换求和的顺序，然后给出

c（c）=sum_（n=1）^（infty）sum_
(28)
=总和（n=1）^（infty）（zeta（n+1）-1）/n，
(29)

哪里泽塔（n）是黎曼-泽塔函数.

c（c）也可以表示为积分

c=int_0^1ln|1/x_|dx。
(30)

另请参见

阶乘

与Wolfram一起探索| Alpha

工具书类

Alladi，K.和Grinstead，C.“关于不！进入主要大国。"J.编号Th。 9, 452-458, 1977.芬奇，S.R.公司。“Alladi-Grinstead常数”§2.9数学常量。英国剑桥：剑桥大学出版社，第120-122页，2003盖伊，R.K。“阶乘n个作为的产品n个大因素。“§B22未解决数论问题，第二版。纽约：施普林格出版社，第79页，1994新泽西州斯隆。A。序列A085288号,A085289号,A085290号,A085291号、和A085361号在“整数序列在线百科全书”中

引用的关于Wolfram | Alpha

阿拉迪·格林斯特德常数

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“Alladi-Grinstead常数。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/Alladi-GrinsteadConstant.html

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