最小的本原根模p是本原根模数p^2吗？

Question

设$p\ne2$是素数，$a$是最小的正整数，它是基元根模$p$。$a$是否一定是一个本原根模$p^2$（因此模$p$的所有幂）？我检查了所有$p<3\times 10^5$，它似乎有效，但我看不出任何合理的理论理由说明为什么会这样。有什么可以阻止Teichmuler提升$\mathbb元素{F} （p）^\美元真的很小吗？

Answer 1

一般来说，情况并非如此。请参见http://primes.utm.edu/curios/page.php/40487.html例如，5 mod 40487^2。

Answer 2

这里的关键术语是：Wieferich prime base$a$。

你观察到的可以用以下形式呈现给孩子们：如果$p$是素数大于5小数$1/p$有小数点$d$，数字表显示$1/p^2$有小数段$dp$，$1/p^3$有十进制段$dp^2$，通常$1/p^k$的十进制段是$dp^{k-1}$。例如，1/13具有小数点6，1/169具有小数点$78=6\cdot 13$，1/2197具有小数点$1014=6\cd 13^2$。

这适用于100以下的素数，但如果你搜索得足够远，就会找到一个反例。第一个是$p=487$：1/487和$1/487^2$都有小数点486。第二个反例是$p=56598313$。（！！）此列表已被Sloaned：http://oeis.org/A045616.

有关此业务的一般文章，请参阅http://www.jstor.org/stable/3219294.

在代数数论中，当您计算${mathbf Q}（\sqrt[n]{2}）$的整数环时，就会出现这种现象，对于所有$n\leq 1000$来说，它就是${mathbf Z}[\sqrt[n]{2]$。有了这些证据，你可能会猜测整数环总是${\mathbf Z}[\sqrt[n]{2}]$，就像${\mathbf Q}（\zeta_n）$的整数环总是${\mathbf Z}[\zeta_n]$一样。但事实上，这并不总是正确的。存在$n>1000$，因此${\mathbf Z}[\sqrt[n]{2}]$不是${\mathbf Q}（\sqrt[n]{2}）$的整数的完整环。如果你搜索以2为基数的Wieferich素数，你就会找到它们。

Answer 3

$p^2$除以$q的素数$p$^{p-1}-1对于$q$的各种小值，$通常在对费马大定理的初等攻击中很重要。参见Lenstra和Stevenhagen在书中的文章“类场理论和费马大定理的第一种情况”模形式与Fermat最后定理，用于快速调查。从这个角度来看，我看不出有任何理由认为$（q^{p-1}-1)/p$不太可能被$p$整除。尽管如此，这些文献可能会给你一些提示。

Crandall、Dilcher和Pomerance（见第3节）提供的数据表明$（2^{p-1}-1)/p\mod p$看起来均匀分布在$[-p/2，p/2]$中。他们认为用$p$除以$（2）的素数的稀有性^{p-1}-1)/p$没有比这更深层的原因，如果$a_p$是一个由素数索引的随机序列，人们只希望$p$除以$a_p$$\log\log N$primes小于$N$，而$\log\ log$的可计算范围非常小。用最小的基元根mod$p$替换$2$可能会表现出类似的行为。

Answer 4

这可能也适用于最终的反例页面。

http://www.ams.org/journals/com/2009-78-266/S0025-5718-08-02090/5/home.html