已知$G(p)=O(p)$吗? 我不介意答案是假设GRH还是其他标准猜想。
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$\开始组$ 根据 mathoverflow.net/questions/834/… 蒙哥马利的一个猜想暗示,对于$\mathbb{Z}/p^{ast}$中的每一个剩余类$a$,都有一个质数$q$,它是$O(p^{1+\epsilon})$并表示$a$。 恐怕我对这件事不太了解。 $\端组$ – 大卫·E·斯派尔 2012年11月16日17:28 -
$\开始组$ 您可能希望排除(初等和初等的小倍数)的后继项,因为它们可能产生最难确定G(p)的p。 或者直接解决这些问题,因为φ(p-1)的小值表示G(p)的潜在大值。 Gerhard“但我可能错了”Paseman,2012.11.16 $\端组$ – 格哈德·帕斯曼 2012年11月16日17:34 -
$\开始组$ @格哈德:$\phi(p-1)$永远不会太小,它至少是$C(p-1,/\log\log(p-1))$。 在这些估算中,$\log\log$项并不重要。 因此,我认为“道德上”没有必要排除这些质数。 $\端组$ – 乔埃尔 2012年11月16日17:50 -
1 $\开始组$ @大卫:是的。 实际上,这个猜想的一个更有力的形式是,有一个质数$q$表示$a$wiih$q=O(p\log(p)^2)$。 由于(当心!很糟糕的启发式遵循……)找到模$p$落在一组$\phi(p-1)/2$元素中的素数要容易得多,而不是只落在一个特定的元素上,我们可以预期$G(p)=O(p\log(p)^2/(phi(p-1)/2))=O! 但很可能这太天真了。。。 $\端组$ – 乔埃尔 2012年11月16日17:54 -
1 $\开始组$ @GH:我已经写下了答案,并意识到我在信封背面的计算中犯了一个错误:\log的指数必须是$6+\epsilon$,而不是$4$。 希望我没有犯其他错误。。。 $\端组$ – 乔埃尔 2012年11月16日18:32
1答案
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2 $\开始组$ 格雷格·马丁说,GRH下的$G(p)\ll(\log{p})^6$应归于Shoup(1992)。 他说:“虽然两位作者都只规定了本原根的界限,但实际上本原根也有界限。”你能解释为什么吗? $\端组$ – 来自MO的GH 2012年11月16日18:13 -
2 $\开始组$ 从王的论文(可以通过搜索谷歌图书找到他的作品集)来看,他实际上显示了$\Lambda(n)e^{-n/x}$的部分和是正的,从原始根$n$到大约$(logp)^{C}$。 所以这给出了一个素数小幂$n$,它是一个基元根mod$p$。 但$n$是其幂的素数也必须是基元根mod$p$。 $\端组$ – 匿名 2012年11月16日18:43 -
$\开始组$ 好的,非常感谢。 我发现,当我们试图在特殊情况下应用有效的切博塔列夫定理(甚至那些在GRH下证明的定理)时,与我们在这些情况下直接得到的结果相比,效果是多么糟糕。 这里我们在GRH$O(\log^6p)$下,而不是$O(p\log^{6+\epsilon}p)$。 类似地,对于算术序列中的最小素数问题,我们期望$O(p^2p)$,但对于GRH下的有效Chebotarev,我们只得到$O。 $\端组$ – 乔埃尔 2012年11月16日18:57 -
6 $\开始组$ 我只是想确认Anonymous对无条件结果所说的一切都是正确的。 请注意,应用于任何一个基元-罗剩余类mod$p$的Linnik定理(带有Xylouris常数)无条件地表明存在一个素数基元根mod$p$p$,即$\llp^{5.2}$。 据我所知,这是素本原根的最佳无条件一致结果! $\端组$ – 格里格·马丁 2012年11月16日20:04 -
2 $\开始组$ 实际上,因为这里的模$p$是质数,所以可以比5.2做得更好:孟发表了一篇关于常数4.5的论点,而哈俊秀最近的手稿给出了常数3.1左右。 $\端组$ – 格里格·马丁 2012年11月20日2:10