最小素数本原根

Question

对于质数$p$，让$G（p）$最小首要的$q$使得$q$是基元根mod$p$，即$q$生成乘法组$（\mathbb Z/p\mathbbZ$）*。

已知$G（p）=O（p）$吗？我不介意答案是假设GRH还是其他标准猜想。

我对所有$p$的结果都感兴趣，而对排除密度$0$或其他较小的$p$集的结果则少得多（尽管有点）。我注意到，在文献中找到$g（p）$的边界更容易，至少整数$n$是一个基元根mod$p$。例如$g（p）=O（p^{1/2+\epsilon}）$在20世纪30年代是Vonogradov无条件知道的（此后我们得到了更好的无条件结果），并且对于GRH，我们得到了$g（p）=O（log^A p）$类型的结果，其中$A$是一些小常数。但我们对$G（p）$的最佳结果是什么？什么是最好的预期结果？

我对$G（p）$而不是$G（p）$感兴趣，因为我把这个问题作为各种有效形式的切博塔列夫的试验场，切博塔列夫提供了素数。我可以用这种方法证明的最佳结果是，在GRH下，使用Ram Murty和Kumar Murty《$L$-函数和应用程序的非对称性》一书中的命题8.3，得到$G（p）=O（p\log^{6+\epsilon}p）$（编辑：我在$\log$的指数上犯了一个错误）。使用Lagarias-Odlyzko的GRH版本，我只得到$O（p^2\log^2p）$。

编辑：正如GH所要求的，这是使用Murty和Murty进行估算的证据。Murty和Murty的命题8.3指出，如果$G$是$\mathbb Q$的扩展$L$的Galois群，$D$是$G$中共轭类的并集，并且$M=\sum\log p$的和是在$L$中分支的素数上，那么$$|\pi_D（x）-\frac｛|D|｝｛|G|｝Li\，x|<C|D|^｛1/2｝x^｛1/2｝\log（Mx）$$其中$C$是一个绝对常数，$\pi_D（x）$是素数$p\leqx$的数量，因此$Frob_p\在D$中。

让我们将其应用于$G=（\mathbb Z/p\mathbbZ）^\ast$中的$L=\mathbb-Q（\mu_p）$，$D=$本原根集。如果对于某些实际的$x$，主项$\frac{|D|}{|G|}Lix=Li（x）/2$大于错误项$C|D|^{1/2}x^{1/2]\log（px）$，则$\pi_D（x）>0$，这意味着$G（p）<x$。

所以我们写下这个不等式，并用$|D|=\phi（p-1）$求解$x$，然后替换$Li（x）$乘以$x/\log x$，这只会更改常量$C$。所以我们想要：$$x/（\log（x）x^{1/2}）>C\phi（p-1）^{1/2}（\logp+\log x）$$由于$\log p\log x>\log p+\log x$，除了$x$小得离谱之外，这就足够了$$x/（\log（x）x^{1/2}）>C\phi（p-1）^{1/2}\log p\log x$$或者，以正方形为例，$$x/\log^4（x）>C^2\phi（p-1）\log^2p$$这意味着$$x>C'\phi（p-1）\log^2 p\log^4（\phi$$因此，$G（p）=O（\phi（p-1）\log^2p\log^4（\pi（p-1）\og^2p））=O（p\log ^{6+\epsilon}p）$。

Answer 1

有关预期行为，请参阅Paszkiewicz和Schinzel的论文“关于模素数的最小素数本原根“《数学比较》71（2002），第239、1307–1321号。在那里，他们研究了巴赫的一个猜想
$$\limsup\frac{G（p）}{（\log p）（\log\log p）^2}=e^{\gamma}$$

众所周知，几乎总是G（p）美元$以固定幂为界$\log｛p｝$如果我们假设GRH，“几乎”一词可以删除。（根据GRH，我们实际上已经$G（p）\ll（\log{p}）^6$只要你能做得更好p-1美元$没有特别多的主要因素。）我所知道的这方面最好的成绩要归功于格雷格·马丁；参见"最小素本原根与移位筛《阿里斯学报》第80卷（1997年），第3期，277–288页；也在上阿西夫.

无条件地，我认为这甚至不为人所知G（p）美元$小于美元$对于所有大型美元$.