什么是结构化多面体？

Question

在我对多胞体的格点计数的工作中，我偶然发现了以下序列：\开始{eqnarray}1, 120, 579, 1600, 3405, 6216, 10255, 15744, 22905, 31960, 43131, ...\结束{eqnarray}它计算了结构化大菱形十二面体数 （A100145）根据公式\开始{eqnarray}a（n）=\tfrac{1}{6}（222n^3-312n^2+96n）。\结束{eqnarray}这些数字属于形数计算相似离散几何形状序列中的点数。例如，三角形和方形数字都有自己的名字，因为它们计算三角形$（1,3,6,10，…）$和方形$（1,4,9,16，…）$configuration序列中排列的点。有人将这些推广到更高维的规则多面体数，如四面体（A000292）或十二面体（A006566）例如，数字。这些数字总是由$\mathbb{Q}$-次多项式$n$枚举，其中$n$是多面体的维数。

对于上述序列，作者给出了以下描述：

结构化多面体数是一种有形体的多面体数。结构化多面体与规则形状多面体的不同之处在于在任何迭代中都有适当的形状多边形面，即规则截断八面体（n=2）的六角形面上有7个点，而结构化截断八面体（n=2）的六边形面上则有6个点，就像六角形（n=2.）一样。与规则的图形多边形一样，结构化多面体似乎起源于一个顶点，由于许多多面体具有不同的顶点（五边形菱形有2个“极”顶点和5个相邻顶点，5个“赤道”顶点和4个相邻顶点），这些多面体有多个结构化数字序列，依赖于“顶点结构”，每个顶点都等于一个顶点本身加上其相邻顶点。对于多结构多面体，符号“结构化多面体”（顶点结构x）用于区分交替顶点，其中VS表示顶点结构。

初读时，这没有任何意义。我认为正截头八面体每个六边形面上有6个顶点，而不是作者所说的7个。（我知道这个序列不是假的，因为我可以在一个完全不同的上下文中生成它，即计算奇点理论问题中的上同调和几何亏格。）

谁能理解这一点并帮助我理解规则多面体和结构化多面体之间的区别？

更新（4-1-11）：我给OEIS条目的作者发了电子邮件，但从未收到他的回复。我认为现在我们有责任解决这个问题。

Answer 1

理解作者描述的“结构化”图形多面体与“规则”的最重要区别是顶点和点之间以及“从边或顶点”和“居中”之间的区别。

你写道：“我认为规则的截断八面体在每个六角形面上有6个顶点，而不是像作者所说的那样有7个顶点。”

确切地说，2D中最简单的例子之一是六边形数。一个六边形有6个顶点，但当你制作出它的图形数字图时，它有：

• 1, 6, 12, 18, ...（A008458）如果只填充边，则为点，

• 1, 6, 15, 28, ...（A000384）从希腊传统来看，如果你从一个顶点开始生长六边形来拥抱较小的六边形（参见经典六边形数的图解 或

• 1, 7, 19, 37, 61, ...（A003215）点、圆或点，如果你想用居中的小六边形来均匀地填充大六边形。您可以将这种排列称为“规则”，因为多边形的表面均匀地被点覆盖。

在他在OEIS中的一系列序列中，作者决定使用“结构化”的脸，而不是“正则”（他可能应该说“居中”，就像在“居中的六边形数”中一样）。三角面和正方形面的“规则”和“结构化”没有区别（因为每个生长步骤都会定期覆盖新的曲面），但六角形面有区别（五边形有很多问题）。

它解释了作者的评论，即在某些情况下，相同的基本几何形状可以有多个序列，这取决于不同面上参考生长顶点的排列。

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PS：我是OEIS的编辑之一，我邀请您提交任何添加、更正、评论、链接和对詹姆斯·里奇添加到百科全书中的43个序列的引用。我们特别喜欢交替解释序列和数学研究文献的链接。