复数

不同于实数，复数的平方可以产生负数；因为这一切多项式有复杂的根，尽管其中一些可能缺少真正的根。复数的另一个用途是表示矢量在里面二维空间在这种情况下，x轴是数字的实数部分，y轴是虚数部分。

复数运算遵循的规律与代数实数可以。

（a+bi）+（c+di）=（a+c）+（b+d）i（a+bi）-（c+di）=（a-c）+（b-d）i（a+bi）*（c+di）=ac+adi+bci+bdi2=（ac-bd）+（ad+bc）i

相当不错方便的为了一些事情。
• 乘法计算两个复数A和B*B类=型号（A）*模式（B）<参数（A）+参数（B）
• 除法两个复数A和B/B类=型号（A）/模块（B）<参数（A）-参数（B）
• 采取权力复数a的（自然数）^n个=型号（A）^n<n*参数（A）
• 采取平方根复数的：a^1/2=型号（A）^1/2<参数（A）/2和相同结果乘以1<pi

处理复数就像苹果和桔子。如果你有一个苹果和一个橙子，那就是你所拥有的，一个苹果和一个橙子。
这个类比的问题是，如果你广场一个你拿不到的苹果减一个橘子。

这是什么？
这篇文章复数s显示了几种表示复数的方法。

陈述

复数最初引入时，通常是矩形形状，即
一+b条我
哪里一和b条都是实数s、 和我²(我平方）定义为等于-1。^{[1] （这表示本书面文件末尾有一条注释）}如果，而不是一和b条，我们使用x个和年相反，它可以帮助在复平面，或阿尔冈图.例如，2+1.5我可以这样绘制：^[2]

年^|2 +               (2, 1.5)|1.5 |-----#2+1.5i|               .1 +               .|               .|               .|               .---+---+---+---+---+---+---+-->x个|       1       2       3|

然而，在许多情况下，使用极坐标形式.人们可以从几何学或前微积分中回忆起这一点：直角坐标秒(x个,年)，的极坐标秒(第页,θ)可以使用。(θ是小写希腊字母θ)从稍作修改的图中

年^|2 +                        |1.5|             _/#            |r _——|1+__/||_/|年|  _--          ||/吨x|---+=====|       1       2       3|

表示复数的第三种方法是欧拉公式:
e（电子）^我θ=cosθ+我罪θ
（常数e（电子）（2.718…）上调至(我乘以θ）功率）
这方面的HTML化证明很难看，所以你必须满足于如何推导它：

• 拿着幂级数对于e（电子），仅使用我θ作为力量(e（电子）^我θ而不是e（电子）^x个)
• 降低…的权力我，因此只有每隔一个术语的因子为我
• 重新安排术语以排除我在一组术语中
• 注意，因子为我是的幂级数正弦，其余术语是的幂级数余弦

当乘除复数时，代数可能变得笨拙，因此使用了更简单的形式：z（z）表示复数。
这涉及表示复数的四种方法：
z（z）=x个+我年=第页（科斯θ+我罪θ) =第页e（电子）^我θ
z（z）是复数；关于z（z）=x个，这是实部属于z（z）;伊姆河z（z）=年，这是虚部属于z（z）;这个绝对值或模数，模量属于z（z）是|z（z）|=修改z（z）=第页=平方英尺（x个² + 年² );角度z（z）=θ

旁注：
使用时现在的,j使用而不是我以指示虚数。这是因为我用于指示固定电流，以及我用于指示可变电流。

笔记
^[1]那里是说之间的区别“我平方定义为等于-1“和”我定义为等于-1“的平方根。前者是正确的，后者是错误的；在虚假证明涉及的我.
^[2]由于无法在写操作中插入图片，因此图表将ASCII艺术.
^[3]在[X]HTML中不容易实现平方根符号，因此平方根将由平方英尺.
^[4]度数不好，弧度好。
^[5]未来的近似小数将省略“近似”。

感谢

• 我的大脑-没有它，我就写不出这个
• 物理科学中的数学方法(2^第版本），由玛丽·博厄斯属于德保罗大学，发布者John Wiley&Sons公司。，版权所有1983和1966-让我想起了我忘记的复杂数学和术语
• Dave E.-在使用current时提醒我注意符号

另请参阅

• 虚数
• 虚数
• 复数乘法
• 1=2使用复数

耶！确认！嗯？不！喝倒采！
你可以/消息N-Wing如果你有{抱怨|恐惧|赞扬|纠正|错误等}{关于……中的这篇文章。如果你不理解前一句话，你也可以/给我发短信。

如果a+bi=c+di，则：

a=c

和

b=d

证明：

a+bi=c+di

=>（a+bi）-（c+di）=0

=>（a-c）+（b-d）i=0

=>（a-c）=0和（b-d）=0

=>a=c和b=d

这在使用时很有用德莫伊夫定理要查找科斯（nx）表示Cos（x），除其他外（它还可以用于查找平方根复数）

这并不意味着方便定义 C类作为实的代数闭包。下面的定义比较容易使用。

定义:

C类是最小的字段（最多为同构)包含对作为一个子字段这样方程X²+1=0在中有一个解决方案C类.

存在证明：

让C类₀是对²与一起附加和乘法定义如下：

（a，b）+（c，d）=（a+c，b+d）
（a，b）*（c，d）=（ac-bd，ad+bc）

很容易验证C类₀具有字段的所有必需属性。这个子字段 对第个{0}个，共个C类₀是同构的到对，元素i=（0，1）是一个根方程式X的²+ 1 = 0.

因此，我们已经表明存在一个具有所需属性的字段。现在我们展示一下C类₀也是最小的此类字段。

让如果是包含以下内容的任何其他字段对这样X²+1=0在中有根如果.找到这样一个根并称之为i₁.让C类₁是子字段{a+i₁b： a，b∈对}第页，共页如果. The代表a+i₁元素的bC类₁是独特的，用于

a+i₁b=c+i₁d⇒
（a-c）²=-（b-d）²⇒
a=c和b=d

因此映射传真：C类₀->C类₁，f（a，b）=a+i₁b是双射的.f型保存s字段结构所以f是一个同构。

因此，任何包含对和X的根²+1=0还包含（同构于的子字段）C类₀.C类₀因此是最小的此类字段，因此我们可以取C类=C类₀.


通过证明，我们还了解了C类，这让我们可以做出更多的定义。

定义：

每个z∈C类具有唯一表示形式a+ib，其中a，b∈对.
我们称a，b为真实的和虚部z的s，分别用Re z、Im z表示。
这个复共轭z是z*=a-ib。
这个模数，模量z的是|z|=sqrt（a²+b条²).


通过这些基本定义，我们可以建立一个理论复数。特别是我们可以开发复杂分析，这可能是代数基本定理也就是说C类代数上是封闭的。那样的话C类被证明是的代数闭包对.