什么是三角学？
三角学是数学处理三角形第页，圆圈第页，振荡s和波浪; 它对许多几何学和物理学你会经常听到人们把它描述成全是三角形，但我认为这漏掉了很多要点。波浪和共振是如何问题在最 基本的 水平; 他们在背后声音和光移动，可能还包括如何移动介意s和美女工作，在某种程度上；所以三角法对几乎所有的事情来说都是基本的。任何时候你想弄清楚该做什么角s、 或事物转动或摆动，这涉及到三角学。使用三角学首先要理解的是为什么数学直角三角形的数学也应该是圆的数学。想象一条可以绕其一端旋转的线，就像时钟很明显，直线的移动端画出了一个圆-就像用罗盘现在，考虑该点到中心点右侧或左侧的距离（我们称之为该距离x个)以及高于或低于（我们将称之为年). 通过附加水平线和垂直线的长度x个和年在第一行的末尾，我们得到一个直角三角形，如下所示：
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所以圆和直角三角形集之间的数学关系应该很清楚：位置(x、 年)一个点的角度为θ围绕半径的圆第页与相关θ和第页与相邻的(x个)和相反的(年)直角三角形的边与斜边 第页和角度θ.
正弦和余弦
这种关系由两个最基本的三角方程表示：
x=r×cosθ
y=r×正弦θ
或者，相当于：cosθ=x个/第页
正弦θ=y/第页
罪(正弦)是垂直边（边）的比率相反的我们看到的角落）到斜边。Cos公司(余弦)同样是水平面（侧面）的比率相邻的到那个角落）到斜边。正弦和余弦是功能s、 也就是说，他们取一个数字（角在这种情况下，通常用度s或弧度s） 然后吐出另一个。对于θ的某些值，只需考虑圆上的角度对应的值，就很容易计算出正弦和余弦值；最简单的情况是θ=0°，这是一条指向右边的线，给出cosθ=1和sineθ=0；直线指向上（即θ=90°），它给出cosθ=0和sineθ=1，依此类推。在45°时，相对边和相邻边的长度相同，因此从毕达哥拉斯定理(第页2=x个2+年2)它们必须分别为（√2）/2。对于正弦和余弦之间的值，在平滑曲线中变化，因此正弦曲线图x个反对x个是您的基本波浪线：
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余弦是正弦水平的是到垂直的，所以余弦图就像正弦图，移动了四分之一圈。在图表上，它们看起来如下：
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切线
第三个基本三角函数称为切线(棕褐色的简而言之），它被定义为对边和相邻边的比率，即：
tanθ=年/x=正弦θ/cosθ
其图形如下所示：
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嘘！CAH！托阿！
概括一下，三个主要的三角函数表示三角形边的比率，如下所示：
秒以θ为单位= o个磷铝石
小时伊波特努斯
c（c）osθ= 一相邻的
小时伊波特努斯
t吨θ=o个对映体
一相邻的
反函数和倒数
如果要从两个长度（或者等价地，绘制的弧的长度）获得角度，则需要反函数正弦、余弦和正切的s，称为反正弦,反余弦和反正切分别是。你可以看到这些文字是以asin、arcsin或sin的形式写的-1。计算机可以从两个数字计算角度，而无需绕来绕去，但作为计算机出现之前的遗留问题，函数通常采用单个数字，即与您需要使用的函数相关的两边的比率，如上面的列表所示。
例如，在计算机中，您可以将对边和斜边的长度输入到反正弦函数中，以确定角度。使用计算器，您需要将相对长度除以斜边，然后对结果应用反正切。这将为您提供相对于象限所以你可能需要在这个数字上加上一圈、两圈或四分之三圈，这取决于哪一个长度是负数（如果有的话）。
还有三个三角比需要考虑——这三个基本比率的倒数，也就是说，这三个比率互换了。这个相互的某物的一除以该物，例如分数被“颠倒”；1/2的倒数是2，4/3的倒数为3/4，3/4的倒数则是4/3。三角倒数主要用于简化集成和三角恒等式他们被称为余割的,割线和余切、和的定义如下：
余割θ=1=斜边sinθ相反
秒θ=1=斜边cosθ相邻
科坦θ=1=cosθ=相邻的tanθsinθ相反
更多三角形
到目前为止，我只讨论了三角函数，因为它涉及直角三角形和圆。但是三角学需要研究各种三角形，不管它们是什么等边的,等腰的或不等边的等边三角形只有三条长度相同的边和三个60°角。等腰的三角形有两条长度相同的边，因此有两个相同的角，所以很容易将它们从中间分开，并将它们视为两个背对背的相同直角三角形。不等边的另一方面，三角形的每条边和角度都不同，所以如果你必须计算它们的长度和角度，你可能会想使用正弦规则以及余弦规则（除非他们碰巧直角的不等边三角形，这显然使事情变得更容易）。有三个不同的角度可以使用，最容易称之为A类,B类和C并计算它们对面的长度a、 b c（c）。然后可以编写正弦规则
一 = b条 = c（c）
罪A类罪B类罪C
这很有用，例如，如果你知道三角形的两个角和一条边的长度，你需要求另一条边长度；或者如果你知道两个边和一个角的长度（这不是这些边之间的角度），你需要找到一个或多个其他角度。如果你有两条边和它们之间的角度，或者你得到了所有三个长度并被要求计算角度，你需要切换到余弦规则，它可以用两种主要的方式编写：
一2=b条2+c（c）2- 2 ×b×c×cosA类
或 b条2+c（c）2-一个2
余弦A类= ------------------
2×b条×c（c）
求三角形面积的一般公式是
面积=½×底座×高度
也等于
地区= ½ ×一×b条×sinC.
当然，在所有这些方程中选择哪个角度是完全任意的，所以可以随意交换一,b条和c（c）随意，只要你也交换A类,B类和C让它们合身。
坡度和振动
再次查看正弦和余弦的图表；注意，当一个位于位置的极端时，另一个位于坡度的极端；这一观察结果之所以重要，有几个原因。任意点正弦曲线的斜率（即x个相对于θ）在面上等于该点的余弦高度，如果角度以弧度-这就是数学家喜欢弧度的原因之一。同样，余弦曲线在任意点的斜率与正弦成负比例。
这意味着，如果你停下来想一想，变化率在任何一点的变化率（第二点有差别的对于正弦或余弦曲线，使用数学术语）总是与其在该点的高度成负比例；就好像它被一个与其距离成比例的力推向原点。事实上，在现实生活中，当某物被推向中心点时，其距离与该点的距离成比例（如钟摆s、 上的重量春天第页，分子s被困固体s、 和乐器)它确实会以正弦曲线运动，这就是为什么三角数学是振荡s以及三角形和圆形。
物体上的力简谐运动等于-k×x哪里k是一个常数，取决于所讨论的系统（弹簧常数在以下情况下弹簧系统s） 和x个是到平衡点的距离；身体在任何时刻的位置由以下公式给出
x个=A类×cos（ω×t吨)
在哪里？t吨是时间，ω是角频率等于k2、和A类是运动的振幅。
波浪
波是一种在空间中运动的振荡，例如声音波浪，地震波浪和物质波和光波它们构成了宇宙中的一切。正弦波到处都是；更复杂的波形总是可以分解成一系列不同频率的叠加正弦波，这一过程称为傅里叶变换.亚原子“粒子”最好被认为是波包.
正弦波思想的这种极为普遍的适用性导致了三角函数在物理学中随处可见。最通用的基本形式波动方程，无处不在经典力学通过电磁学到量子物理学，这是：
x个=A类×cos（ω×t吨+d日/λ）
其中λ是波长（波的一个峰值与下一个峰值之间的距离）和d日是沿波浪的距离。数学的全面阐述波浪超出了本文的范围；我将很快提到，要更全面地理解它，需要掌握叠加和干扰-波浪相遇时会发生什么；折射-当一个波从一个中等的另一方；和衍射-当波浪通过洞时会发生什么。驻波s和共振几乎在所有出现波浪的地方都具有深远的重要性；它们解释了不同物体发出的声音光子由不同的原子和分子发射，并产生范围惊人的其他现象。
无限扩展
有趣的是，角度的正弦和余弦值可以从以下内容 无穷级数，您是否需要从头开始计算：
正弦θ=θ-θ三+θ5-θ7+。。。三！ 5! 7!cosθ=1-θ2+θ4-θ6+。。。 2! 4! 6!
关于这些级数，要注意的第一件有趣的事情是，随着θ变小，sinθ越来越接近θ。这意味着θ在小角度下是sinθ的一个非常有用的近似值——事实上，将钟摆拉向平衡点的力与它与中心的距离的正弦成正比，而不是与距离成正比，但只要你不把钟摆摆动得太远，它就不会有太大的区别。
关于三角函数无穷级数的另一个有趣的事情是，它们与无穷级数的幂展开式有多么相似e（电子），这是一个无理数约等于2.718。你看，无穷级数e（电子）θ看起来像这样：
正弦θ=θ-θ三+θ5-θ7+。。。三! 5!7！cosθ=1-θ2+θ4-θ6+。。。 2! 4! 6!
很明显，方程的形式是相似的。为了向我们展示它的真实相似性，我们需要引入虚数s.我们能做的是乘法θ通过我在扩展中(我粗略地说，是平方根属于减去一; 所以我×我= -1). 这为我们提供了e（电子）iθ:
e（电子）θ= 1 + θ +θ2+θ三+θ4... 2! 3! 4!
…如果你看一下，恰好等于cosθ+我×sinθ这清楚地表明了复数s和三角，包括诸如欧拉的身份，将数学中最重要的五个数字联系起来的方程式：
e（电子）iπ+ 1 = 0
扩展之间的这种联系e（电子）x个三角函数也揭示了三角函数及其亲属之间的关系双曲线函数第页，双曲线的余弦(科什)和双曲正弦(新几内亚)尽管他们的名字不同，但在其他方面看起来却大相径庭。
所以。。。
我希望我已经解释了，至少在大纲中，关于三角函数的所有最重要的事情，并且清楚地说明了为什么我认为任何人都应该关心。如果其中任何一个看起来不清楚，我希望这些链接将有助于填补任何空白；否则，通常可以通过以下方式联系到我/消息关于这些函数的应用，我可以说的更多——除了它在几何学中的基本作用和在物理学中的普遍应用之外，它们在计算机图形学，英寸照明曲线和奇怪的效果卷曲分形.
我认为，一般来说，理解三角学的最佳方法是四处游玩使用正弦和余弦或使用它们。如果可以的话程序总之，我鼓励你尝试通过组合三角函数来制作简单的图片或动画；或者，从其他人的代码开始，然后在那里乱搞。可能的效果范围是无限的，几乎每一次都有美丽的排列。
我的交互式动画，主要是源代码，所有这些至少部分基于三角函数http://fergusmurray.members.beeb.net/interact.htm
（另请参阅网站的其余部分）。
我还推荐《几何垃圾场》（The Geometry Junkyard）来做更多有趣的三角运算：网址：http://www.ics.uci.edu/~eppstein/垃圾场/
此文字在此处显示图形：http://fergusmurray.members.beeb.net/trig.htm
参考文献：
Mannall，G.和Kenwood，M.（1995）“伦敦AS和A-Level（P2）的海涅曼模块化数学”.牛津，海涅曼教育出版社
Stephenson，G.（1995）“理工科学生的数学方法”哈洛，朗曼科技
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