用三角恒等式证明支撑正则七角体的正确性

Question

这是我在对我的问题进行相关研究时在维基百科上发现的一个严格的规则七边形刚性五边形:

随附文本如下

该结构包括两个等腰三角形，用于固定其余的钢筋。常规七边形美元$，较短的等腰三角形边美元$，以及较长的等腰三角形边d美元$满足$$7a^2+e^2=4d^2\tag1$$

在这里a、d、e美元$是整体的，或者更普遍地说是理性的。维基百科的文本接着说$(1)$可以从以下恒等式导出：$$\sin\frac\pi7-\sin\frac{2\pi}7-\sin\frac{4\pi}7=-\frac{\sqrt7}2\tag2$$（如果美元=1$然后通过求解佩尔方程（参见示例。在这里)我们得到$d=压裂{16}+压裂7t$对于$t\in\mathbb Q美元$.)

现在很容易证明$(2)$通过最小多项式计算。这也很容易证明$(1)$一旦你确定等腰三角形的高度为$\压裂{\sqrt7}2a$.但如何$(1)$跟随$(2)$?

如果可以显示关联，我可能会导出一个刚性正九边形理性坚持以下身份。$$\sin\frac\pi9+\sin\frac｛2\pi｝9=\sin\frac｛4\pi｝9$$

Answer 1

重写$\sin\frac\pi7美元$作为$-\sin\frac{8\pi}7$和$(1)$作为$$\sin\frac{2\pi}7+\sin\frac{4\pi}7+\sin\fras{8\pi}7=\frac{\sqrt7}2$$但这也很容易显示：$$\cos\frac{2\pi}7+\cos\frac{4\pi}7+/cos\frac{8\pi}7=-\frac12$$现在假设七边形有单位边长和一个边跨美元-1$和$0$（这里我们将点视为复数）。竖立维基百科文本中讨论的等腰三角形，指向上方。由构造引发的一种非常自然的方式是，三角形的顶点是$e^{2\pi/7}+e^{4\pi/7}+e^{8\pi/7{$，这两个等式等于美元\frac12（-1+\sqrt7i）$因此等腰三角形的高度为$\压裂{\sqrt7}2$和$(2)$跟随。

Answer 2

同样的论点以另一种方式。。。（我开始画画，在此期间已经有了两个解决方案…）

在图片中我们有$$\开始{对齐}d^2-\压裂14e^2&=E'I^2-JI^2\\&=E'J^2=（JL+LK-KE'）^2\\&=\左(BC\sin\frac{2\pi}7+CD\sin\frac{3\pi}7-数据元素'\sin\frac\pi7\右）^2\\&=\左（\frac{a\sqrt 7}2\右）^2=\压裂74a^2。\结束{对齐}$$

Answer 3

正七边形的高度，从等腰三角形的底部到相反的顶点，是$$a\left（\sin\frac{\pi}7+\sin\frac{2\pi}7+\sin\frac{3\pi}7 \right）$$菱形的较短对角线是$2a\sin\frac\pi7$所以等腰三角形的高度是$$a\left（-\sin\frac{\pi}7+\sin\frac{2\pi}7+\sin\fras{3\pi}7 \right）=\sqrt7a/2$$
等腰三角形底的一半是$e/2美元$，然后毕达哥拉斯给出（1）