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球面上能量极小化点集的生成及其在无网格插值和微分中的应用

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摘要

众所周知,超球面上均匀分布点的离散集\(\mathbb{S}^{d}\子集\mathbb{R}^{d+1}\)可以通过最小化对应于Riesz的能量泛函得到-内核\(k_s(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})=垂直{x}-\粗体符号{y}\r垂直^{-s}\)(> 0) 或对数核\(k_{log}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})=-\log\lVert\boldsympol{x}-\粗体符号{y}\rVert+\log 2\).我们证明了内核也是如此\(k_{log}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})=\lVert\boldsympol{x}-\粗体符号{y}\rVert(\log{\frac{\lVert\boldsymbol{x}-\粗体符号{y}\rVert}{2}}-1)+2\)它是导数序列的前延\(k{\log},k{1},k{2},k{3},\dots\),直至符号和常量。核的有界性简化了点分布渐近均匀性的经典势理论证明。然而,对于x个通过对接触粒子的无限斥力的物理解释,它得以保留。所得点分布的质量与Riesz和经典对数点集的质量相比具有示范性,并且具有竞争力。最初的动机是高维数据的问题\(\log\)-证明了一种新的同心插值和微分方案的最优点集。通过引入对称化核函数来生成最小能量点和球基函数,该方法得到了显著优化。点生成和同心插值软件都可用作开源软件,并提供了选定的点集。

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  21. Womersley,R.:球体上的最小能量点S公司 2,上次更新时间:2003年1月24日https://web.maths.unsw.edu.au/~rsw/球体/(2003)

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致谢

作者感谢匿名评论员的宝贵意见。

基金

这项工作由德国研究基金会(DFG)FR2702/6(授权号257987586)和FR2702/8(授权编号406068690)在Emmy-Noether和Heisenberg资金额度范围内资助。奥利弗·库克(Oliver Kunc)还获得了斯图加特大学仿真技术卓越集群(EXC 310/2,赠款编号50131014,项目PN1-23)内DFG的资助。

作者信息

作者和附属机构

作者

通讯作者

与的通信费利克斯·弗里岑.

道德声明

利益冲突

提交人声明他们没有利益冲突。

其他信息

沟通人:Robert Schaback

出版商备注

Springer Nature在公布的地图和机构关联中的管辖权主张方面保持中立。

数据可用性

数值示例中使用的所有点集都位于MATLAB软件包的子文件夹中示例/导出(请参见[20]),和位于C++软件包子文件夹中数据/方向(请参见[32]).

附录

附录1。在上生成随机点\(\mathbb{S}^d\)

The generation of一致随机点\(\mathbb{S}^d\),可以通过多种方式实现。两个突出且方便的示例包括:

  • 使用正态分布的发电\({\mathcal N}\)(参见[23])生成后向点的最简单方法是基于随机变量n个遵循正态分布\(\mathcal{N}\).A分\(\boldmath{x}\in\mathbb{S}^{d}\)通过设置其坐标向量的分量获得\(x_i\sim\mathcal{N}\)(\(i=1,点,d+1)),然后对整个矢量进行归一化。该算法的一个纯粹的技术改进是在归一化之前放弃向量范数接近机器精度的随机样本,以防止数值截断。

  • 使用均匀分布生成\({\mathcal U}\)[− 1,1]另一种选择是根据均匀分布为候选点的所有组件设定种子\({\mathcal U}\)间隔[-1,1]。接下来,具有大于1且小于由机器精度确定的公差的范数的点被拒绝,即,只接受包含在球壳中的点。然后将剩余的点投影到\(\mathbb{S}^{d}\).

基于正态分布随机变量的方法的优点是几乎没有拒绝,而第二种算法将导致大量拒绝点:d日= 1 拒绝的概率为21.46%d日= 2 它是47.64%,对于任意球面尺寸d日它的定义是

$$\begin{array}{@{}rcl@{}}P(\text{candidate is rejected})=1-\frac{L^{d+1}(\mathbb{B}^{d+1})}{2^{d+1}}\text{,}\end{array}$$
(74)

哪里L(左)d日+ 1表示中的勒贝格度量\(\mathbb{R}^{d+1}\)\(\mathbb{B}^{d+1}=\{\boldmath{x}\在\mathbb{R}^{d+1}:\lVert\boldmath{x}\rVert\leq 1\}\中)由于高斯随机变量在许多软件库中以很少的数字费用可用,因此第一种算法在我们的MATLAB软件的图形用户界面中作为选项可用。如果选中该选项,则生成的点集将作为初始配置传递给算法1。

图a

附录2。算法

对于算法2,数量\(\widetilde{f}_{\伽马}\)表示代理模型\(\widetilde{f}\)(cf.(CI)),关于核函数\(\widetilde{k}(z{\mathrm{g}})=\exp(-\gamma z{\mathrm{c}}^2)\),近似于原始函数(f).

图b

权利和权限

转载和许可

关于本文

检查更新。通过CrossMark验证货币和真实性

引用这篇文章

Kunc,O.,Fritzen,F.球面上能量最小化点集的生成及其在无网格插值和微分中的应用。高级计算数学 45, 3021–3056 (2019). https://doi.org/10.1007/s10444-019-09726-5

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  • 收到:

  • 认可的:

  • 出版:

  • 发布日期:

  • 内政部:https://doi.org/10.1007/s10444-019-09726-5

关键词

数学学科分类(2010)

配置文件

  1. 费利克斯·弗里岑