球面上能量极小化点集的生成及其在无网格插值和微分中的应用

摘要

众所周知，超球面上均匀分布点的离散集\（\mathbb{S}^{d}\子集\mathbb{R}^{d+1}\）可以通过最小化对应于Riesz的能量泛函得到秒-内核\（k_s（\boldsymbol{x}，\boldsymbol{y}）=垂直{x}-\粗体符号{y}\r垂直^{-s}\）(秒> 0) 或对数核\（k_{log}（\boldsymbol{x}，\boldsymbol{y}）=-\log\lVert\boldsympol{x}-\粗体符号{y}\rVert+\log 2\）.我们证明了内核也是如此\（k_{log}（\boldsymbol{x}，\boldsymbol{y}）=\lVert\boldsympol{x}-\粗体符号{y}\rVert（\log{\frac{\lVert\boldsymbol{x}-\粗体符号｛y｝\rVert｝｛2｝｝-1）+2\）它是导数序列的前延\（k{\log}，k{1}，k{2}，k{3}，\dots\），直至符号和常量。核的有界性简化了点分布渐近均匀性的经典势理论证明。然而，对于x个→年通过对接触粒子的无限斥力的物理解释，它得以保留。所得点分布的质量与Riesz和经典对数点集的质量相比具有示范性，并且具有竞争力。最初的动机是高维数据的问题\（\log\）-证明了一种新的同心插值和微分方案的最优点集。通过引入对称化核函数来生成最小能量点和球基函数，该方法得到了显著优化。点生成和同心插值软件都可用作开源软件，并提供了选定的点集。

附录

附录1。在上生成随机点\（\mathbb{S}^d\）

The generation of一致随机点在\（\mathbb{S}^d\），可以通过多种方式实现。两个突出且方便的示例包括：

• 使用正态分布的发电\（{\mathcal N}\）（参见[23])生成后向点的最简单方法是基于随机变量n个_我遵循正态分布\（\mathcal{N}\）.A分\（\boldmath{x}\in\mathbb{S}^{d}\）通过设置其坐标向量的分量获得\（x_i\sim\mathcal{N}\）(\（i=1，点，d+1）)，然后对整个矢量进行归一化。该算法的一个纯粹的技术改进是在归一化之前放弃向量范数接近机器精度的随机样本，以防止数值截断。

• 使用均匀分布生成\（{\mathcal U}\）在[− 1,1]另一种选择是根据均匀分布为候选点的所有组件设定种子\（{\mathcal U}\）间隔[-1，1]。接下来，具有大于1且小于由机器精度确定的公差的范数的点被拒绝，即，只接受包含在球壳中的点。然后将剩余的点投影到\（\mathbb{S}^{d}\）.

基于正态分布随机变量的方法的优点是几乎没有拒绝，而第二种算法将导致大量拒绝点：d日= 1 拒绝的概率为21.46%d日= 2 它是47.64%，对于任意球面尺寸d日它的定义是

$$\begin{array}{@{}rcl@{}}P（\text{candidate is rejected}）=1-\frac{L^{d+1}（\mathbb{B}^{d+1}）}{2^{d+1}}\text{，}\end{array}$$

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哪里L（左）^d日+ 1表示中的勒贝格度量\（\mathbb{R}^{d+1}\）和\（\mathbb{B}^{d+1}=\{\boldmath{x}\在\mathbb{R}^{d+1}:\lVert\boldmath{x}\rVert\leq 1\}\中）由于高斯随机变量在许多软件库中以很少的数字费用可用，因此第一种算法在我们的MATLAB软件的图形用户界面中作为选项可用。如果选中该选项，则生成的点集将作为初始配置传递给算法1。

附录2。算法

对于算法2，数量\（\widetilde{f}_{\伽马}\）表示代理模型\（\widetilde{f}\）（cf.（CI）），关于核函数\（\widetilde{k}（z{\mathrm{g}}）=\exp（-\gamma z{\mathrm{c}}^2）\），近似于原始函数（f）.