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球面上能量极小化点集的生成及其在无网格插值微分中的应用

摘要

超球面上均匀分布的离散点集是已知的\(\mathbb{S}^{d}\subset\mathbb{R}^{d+1}\)可以通过最小化Riesz对应的能量泛函得到s-果仁\(k\u s(\boldsymbol{x},boldsymbol{y})=\lVert\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\rVert^{-s}\)(s>0)或对数核\(k{\log}(\boldsymbol{x},boldsymbol{y})=-\log\lVert\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\rVert+\log 2\)。我们证明了内核也是一样的\(k{\log}(\boldsymbol{x},boldsymbol{y})=\lVert\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\rVert(\log{\frac{\lVert\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\servert}{2}}-1)+2\)它是导数序列的前延拓\(k{\log},k{1},k{2},k{3},点\),直到符号和常量。核的有界性简化了点分布渐近均匀性的经典势理论证明。还有一个奇异导数的性质是的在物理上解释了接触粒子的无限斥力。与Riesz-和经典对数点集相比,所得到的点分布的质量是典型的,并且发现具有竞争性。最初的动机是高维数据的问题\(\log\)-给出了一种新的同心插值微分格式的最优点集。在生成最小能量点和球基函数时引入对称核函数,使该方法得到显著优化。点生成和同心插值软件都是开源软件,并提供了选定的点集。

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致谢

作者感谢匿名评论者的宝贵意见。

基金

这项工作由德国联邦科学基金会(DFG,德国研究基金会)FR2702/6(批准号:257987586)和FR2702/8(批准号:406068690)资助,资助范围为艾美-诺瑟和海森堡。Oliver Kunc还在斯图加特大学的仿真技术卓越集群(EXC 310/2,批准号50131014,PN1-23项目)内获得了DFG的资助。

作者信息

隶属关系

作者

通讯作者

通信对象费利克斯·弗里岑.

道德宣言

利益冲突

作者声明他们没有利益冲突。

附加信息

出版商说明

对于出版地图和机构隶属关系中的管辖权主张,Springer Nature保持中立。

数据可用性

数值例子中使用的所有点集都可以在MATLAB软件包的子文件夹中找到示例/导出(参见[20]),并在C++软件包子文件夹中数据/方向(参见[32]).

沟通人:Robert Schaback

附录

附录1。随机点的生成\(\mathbb{S}^d\)

一代一致随机点\(\mathbb{S}^d\),可以通过多种方式实现。两个突出和方便的例子包括:

  • 正态分布生成\({\mathcal N}\)(参见[23])基于随机变量的生成方法最简单n服从正态分布\(\mathcal{N}\).A点\(\boldmath{x}\in\mathbb{S}^{d}\)其矢量的设置是通过坐标分量来获得的\(x\u i\sim\mathcal{N}\)(\(i=1,点,d+1\)),然后对整个向量进行归一化。该算法的一个纯粹的技术改进是在标准化之前放弃向量范数接近机器精度的随机样本,以防止数值截断。

  • 使用均匀分布生成\({\mathcal U}\)[− 1,1]另一种选择是根据均匀分布对候选点的所有成分进行种子设定\({\mathcal U}\)在中场休息时[− 1,1]。接下来,标准值大于1且小于由机器精度确定的公差的点被拒绝,即只接受包含在球壳中的点。然后将其余点投影到\(\mathbb{S}^{d}\).

依赖随机变量服从正态分布的方法的优点是几乎没有拒绝,而第二种算法将导致大量的拒绝点:对于d=1被拒绝的几率为21.46%d=2为47.64%,任意球面尺寸d它的定义是

$$\begin{array}{@{{}rcl@{}}}P(\text{candidate is rejected})=1-\frac{L^{d+1}(\mathbb{B}^{d+1})}{2^{d+1}}\text{,}\end{array}$$
(74个)

哪里d+1表示中的Lebesgue度量\(\mathbb{R}^{d+1}\)\(\mathbb{B}^{d+1}=\{\boldmath{x}\in\mathbb{R}^{d+1}:\lVert\boldmath{x}\rVert\leq 1\}\)由于高斯随机变量在许多软件库中的数值开销很小,所以第一种算法可作为MATLAB软件图形用户界面的选项。如果选择它,生成的点集作为初始配置传递给算法1。

图A

附录2。算法

对于算法2,数量\(\widetilde{f}{\gamma}\)表示代理模型\(\widetilde{f}\)(cf.(CI)),关于核函数\(\widetilde{k}(z{\mathrm{g}})=\exp(-\gamma z{\mathrm{g}^2)\),近似原函数f.

图B

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引用这篇文章

Kunc,O.,Fritzen,F.球面上能量最小化点集的生成及其在无网格插值和微分中的应用。高级计算机数学 45岁,3021–3056(2019年)。https://doi.org/10.1007/s10444-019-09726-5

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  • 内政部:https://doi.org/10.1007/s10444-019-09726-5

关键词

  • 球体上的点
  • 均匀分布
  • 最小能量点
  • Riesz核
  • 对数核
  • 无网格插值
  • 核插值
  • 数值微分
  • 高维数据

数学学科分类(2010)

  • 31B05型
  • 31B10号
  • 31B15年
  • 31E05型
  • 31C20
  • 65度05
  • 65度25