Goodness-of-Fit Tests for Copulas of Multivariate Time Series

Rémillard, Bruno

doi:10.3390/econometrics5010013

开放式访问第条

多元时间序列Copula的拟合优度检验

通过

布鲁诺·雷米拉德

^1,2,3

¹

加拿大H3T 2A7魁北克省蒙特雷亚尔市圣卡瑟林区3000号HEC蒙特雷亚决策科学系

²

加拿大H3T 2A7魁北克省蒙特利尔市决策分析小组（GERAD）

^三

加拿大H3C 3J7魁北克省蒙特利尔数学研究中心（CRM）

计量经济学 2017,5(1), 13;https://doi.org/10.3390/econometrics501013

收到的提交文件：2016年12月31日/修订日期：2017年3月7日/接受日期：2017年3月8日/发布日期：2017年3月17日

（本文属于特刊Copula模型的最新发展)

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摘要

:

本文研究了序列经验过程和序列经验copula过程的渐近行为，这两个过程都是由多元随机波动率模型的残差构造的。讨论了结构变化检测和创新分布规范测试的应用。还表明，如果随机波动矩阵是对角的，即如果单变量时间序列是单独估计而不是联合估计的，则经验copula过程表现为观察到了创新；非凡的财产。作为副产品，我们还获得了应用于这些时间序列模型残差的基于等级的相关性度量的渐近行为。

关键词：

菲特之美;时间序列;连接线;GARCH模型

JEL分类：

C12；C14；C15；第58页

1.简介

在许多金融应用中，需要对序列相关性和不同时间序列之间的相关性进行建模。这可以通过为多变量时间序列提出一个全参数模型，或者通过对每个序列的序列相关性建模，然后通过具有均匀裕度的随机变量的联合分布函数copula来实现序列之间的相互依赖性来立即实现。无论如何，我们必须处理模型的残差，因为创新是不可观察的。

使用残差会使推理过程复杂化，因为统计和参数的极限分布通常取决于未知参数。参见，例如Bai[1]古迪和雷米拉德[2]. 特别是，如Bai所示[三]和Horváth等人[4]GARCH残差的经验过程在单变量情况下（或其平方）的分布并不平凡。在这里，我们旨在推广这些作者的结果，以发现由多元随机波动率模型的残差构造的序贯经验过程的渐近行为。考虑顺序过程的原因是，我们希望能够构建测试来检测创新分布中的结构变化，这是实践中的一个重要问题。揭开这一重头戏，可以表明用于变化点分析的测试统计的极限分布将不依赖于条件均值和协方差的估计参数。

经验过程也可用于测试有关分布的假设。特别是，一种方法涉及尝试拟合copula模型，以反映几个时间序列的创新之间的相关性。到目前为止，在许多应用程序中，序列相关性问题要么被忽略，也就是说，没有像Dobrić和Schmid那样“过滤”数据以消除序列相关性[5]、Dobrić和Schmid[6]和Kole等人[7]，或者数据被“过滤”，但使用这些转换数据的潜在推理问题没有考虑在内。例如，Panchenko[8]对“过滤”数据（在他的案例中是GARCH模型的残差）进行了良好的检验，但没有证明他提出的方法对残差有效。然而，他顺便提到，使用残差可能会破坏他的测试的渐近性质。类似的情况出现在Breymann等人[9]其中，使用残差的问题和copula参数的估计问题都被忽略了。

Chen和Fan似乎是第一篇严格解决了在估计连接函数的有效性时使用残差所带来的问题的论文[10]. 使用带有对角随机波动矩阵的多元GARCH-like模型，Chen和Fan[10]结果表明，基于秩的最大伪似然法估计copula参数的效果显著[11,12]用残差的秩代替创新的（不可观测）秩，可以得到相同的渐近分布。特别是，copula参数估计的极限分布不依赖于用于估计条件均值和条件方差的未知参数。若要为copula创新家族开发拟合优度测试，这个特性是至关重要的。陈和凡[10]作者还提出了基于伪似然比检验选择或更精确排序连接函数的方法。

这里，在类似的假设下，可以证明经验copula过程的极限分布不依赖于条件均值和条件方差参数。作为副产品，使用残差计算的基于等级的依赖性度量的极限分布与使用创新计算依赖性度量相同。值得注意的是，即使Duchesne等人[13]哦还有巴顿[14] (第3.4节)在这篇论文发表之前，作者实际上建立在这里证明的结果之上。

接下来，我们从第2节通过描述模型并说明主要序贯经验过程的收敛结果。因此，可以为创新定义结构变化测试和规范测试。此外，作为推论，如果随机波动性矩阵是对角的（此处称为模型2，定义于第2节). 陈和范的情况确实如此[10]. 在该模型下，建议对copula进行规范测试第3节这些检验要么基于经验copula，要么基于经验Rosenblatt过程，并对其极限分布进行了研究。此外，由于规范检验依赖于copula参数的估计，因此研究了基于秩的估计的渐近行为。特别值得一提的是，人们回忆起陈和范的非凡成就[10]关于最大伪似然估计。我们还得到了基于秩的依赖测度的渐近行为。最后，在中处理了一个实际数据示例第4节，使用Chen和Fan的数据集[10]. 主要结果在一系列附录中得到了证明。

2.残差经验过程的弱收敛性

考虑随机波动率模型

X_{我} = μ_{我} (θ) + σ_{我} (θ) ε_{我},

创新在哪里

ε_{我} = {(ε_{1 我}, \dots, ε_{d日 我})}^{⊤}

是身份证。，

E类 (ε_{j个 我}) = 0

,

E类 (ε_{j个 我}^{2}) = 1

，具有连续分布函数K（K）、和

μ_{我}

,

σ_{我}

是

{F类}_{我 - 我}

-可测量且独立于

ε_{我}

.在这里

{F类}_{我 - 1}

包含来自过去的信息，也可能包含来自外部变量的信息。由于分配函数K（K）是连续的，存在唯一的copulaC类[15]所以所有人

x个 = {({x个}_{1}, \dots, {x个}_{d日})}^{⊤} \in {R（右）}^{d日}

,

K（K） (x个) = C类 {F类 (x个)}, F类 (x个) = {({F类}_{1} ({x个}_{1}), \dots, {F类}_{d日} ({x个}_{d日}))}^{⊤},

(1)

哪里

{F类}_{1}, \dots, {F类}_{d日}

是的边际分布函数K（K）即。，

{F类}_{j个}

是的分布函数

ε_{j个 我}

,

j个 \in {1, \dots, d日}

.定义

{U型}_{我} = F类 (ε_{我})

,

我 \in {1, \dots, n个}

，我们可以得到

{U型}_{1}, \dots, {U型}_{n个}

具有分布函数的身份证C类。然而，由于

F类

未知。

给定一个估计器

θ_{n个}

属于θ，计算残差

{e（电子）}_{我, n个} = {({e（电子）}_{1 我, n个}, \dots, {e（电子）}_{d日 我, n个})}^{⊤}

，其中

{e（电子）}_{我, n个} = σ_{我}^{- 1} (θ_{n个}) {X_{我} - μ_{我} (θ_{n个})} .

本文的主要结果是从序贯经验过程的渐近行为中推导出来的

{K（K）}_{n个} (秒, x个) = \frac{1}{\sqrt{n个}} \sum_{我 = 1}^{⌊ n个 秒 ⌋} \{1 ({e（电子）}_{我, n个} \leq x个) - K（K） (x个)\}, (秒, x个) \in [0, 1] \times {\bar{R（右）}}^{d日},

(2)

哪里

1

表示指示灯功能和

年 \leq x个

意味着不等式在分量上成立。进一步设置

{K（K）}_{n个} (x个) = \frac{1}{n个} \sum_{我 = 1}^{n个} 1 ({e（电子）}_{我, n个} \leq x个), x个 \in {\bar{R（右）}}^{d日},

和

{F类}_{n个} (x个) = {({F类}_{1 n个} (1, {x个}_{1}), \dots, {F类}_{d日 n个} (1, {x个}_{d日}))}^{⊤}

，其中

{F类}_{j个 n个} (秒, {x个}_{j个}) = \frac{1}{n个 + 1} \sum_{我 = 1}^{⌊ n个 秒 ⌋} 1 ({e（电子）}_{j个 我, n个} \leq {x个}_{j个}), j个 \in {1, \dots, d日}, (秒, x个) \in [0, 1] \times {\bar{R（右）}}^{d日} .

(3)

最后，对于

j个 \in {1, \dots, d日}

边际过程

{F类}_{j个, n个}

定义，对于任何

秒 \in [0, 1]

以及任何

{x个}_{j个} \in \bar{R（右）}

通过

{F类}_{j个, n个} (秒, {x个}_{j个}) = \frac{1}{\sqrt{n个}} \sum_{我 = 1}^{⌊ n个 秒 ⌋} {1 ({e（电子）}_{j个 我, n个} \leq {x个}_{j个}) - {F类}_{j个} ({x个}_{j个})} = \sqrt{n个} {{F类}_{j个, n个} (秒, {x个}_{j个}) - 秒 {F类}_{j个} ({x个}_{j个})} + {o个}_{P（P）} (1) .

从现在起，过程的收敛意味着相对于cádlág过程空间的Skorohod拓扑的收敛，并表示为⇝。此处研究的过程由以下内容索引

[0, 1] \times {[0, 1]}^{d日}

,

[0, 1] \times {[- \infty, + \infty]}^{d日}

或这些空间的产品。注意，随机向量属于这些空间，因为它们是常数随机函数。

能够说明收敛结果

{K（K）}_{n个}

需要引入辅助的经验过程。设置

α_{n个} (秒, x个) = \frac{1}{\sqrt{n个}} \sum_{我 = 1}^{⌊ n个 秒 ⌋} \{1 (ε_{我} \leq x个) - K（K） (x个)\}, (秒, x个) \in [0, 1] \times {\bar{R（右）}}^{d日},

β_{n个} (秒, 单位) = \frac{1}{\sqrt{n个}} \sum_{我 = 1}^{⌊ n个 秒 ⌋} \{1 ({U型}_{我} \leq 单位) - C类 (单位)\}, (秒, 单位) \in {[0, 1]}^{1 + d日},

和

β_{j个, n个} (秒, {单位}_{j个}) = β_{n个} (秒, 1, \dots, 1, {单位}_{j个}, 1, \dots, 1) = \frac{1}{\sqrt{n个}} \sum_{我 = 1}^{⌊ n个 秒 ⌋} \{1 ({U型}_{j个 我} \leq {单位}_{j个}) - {单位}_{j个}\}

,

j个 = 1 \dots, d日

.

这是众所周知的[16]那个

α_{n个} ⇝ α

和

β_{n个} ⇝ β

哪里α是一个K（K）-基弗法和β是一个C类-基弗法。回想一下α是一个K（K）-Kiefer过程，如果它是连续中心高斯过程

Cov公司 \{α (秒, x个), α (t吨, 年)\} = (秒 \land t吨) \{K（K） (x个 \land 年) - K（K） (x个) K（K） (年)\}

,

秒 \in [0, 1]

和

x个, 年 \in {R（右）}^{d日}

.在这里

{(x个 \land 年)}_{j个} = 最小值 ({x个}_{j个}, 年_{j个})

,

j个 = 1 \dots, d日

请注意，对于所有人

(秒, x个) \in [0, 1] \times {\bar{R（右）}}^{d日}

,

α (秒, x个) = β {秒, F类 (x个)}

.

为了证明

{K（K）}_{n个}

首先，假设

μ_{我}

和

σ_{我}

关于……是连续可微的

θ \in O（运行） \subset {R（右）}^{第页}

、和设置

γ_{0 我} = σ_{我}^{- 1} {\dot{μ}}_{我}

和

γ_{1 k 我} = σ_{我}^{- 1} {\dot{σ}}_{k 我}

，其中

{({\dot{μ}}_{我})}_{j个 我} = \partial_{θ_{我}} μ_{j个 我}, {({\dot{σ}}_{k 我})}_{j个 我} = \partial_{θ_{我}} σ_{j个 k 我} = \partial_{θ_{我}} {(σ_{我})}_{j个 k}, j个, k \in {1, \dots, d日}, 我 \in {1, \dots, 第页} .

让

{d日}_{我, n个} = ε_{我} - {e（电子）}_{我, n个} - (γ_{0 我} Θ_{n个} + \sum_{k = 1}^{d日} ε_{k 我} γ_{1 k 我} Θ_{n个}) / \sqrt{n个}

，其中

Θ_{n个} = {n个}^{1 / 2} (θ_{n个} - θ)

。请注意

{d日}_{我, n个}

是一阶泰勒展开式中的误差项

{e（电子）}_{我, n个}

关于θ。为了能够测量

{K（K）}_{n个}

和

α_{n个}

接下来，假设对于任何

j个 \in {1, \dots, d日}

、以及任何

x个 \in {\bar{R（右）}}^{d日}

，以下属性保持不变：

（A1）: $Γ_{0, n个} (秒) = \frac{1}{n个} \sum_{我 = 1}^{⌊ n个秒 ⌋} γ_{0 我} \overset{P（P）第页}{⟶} 秒 Γ_{0}$ , $Γ_{1 k, n个} (秒) = \frac{1}{n个} \sum_{我 = 1}^{⌊ n个秒 ⌋} γ_{1 k 我} \overset{P（P）第页}{⟶} 秒 Γ_{1 k}$ ，均匀英寸 $秒 \in [0, 1]$ ，其中 $Γ_{0}$ 和 $Γ_{1 k}$ 具有确定性， $k = 1, \dots, d日$ .
（A2）: $\frac{1}{n个} \sum_{我 = 1}^{n个} E类 (∥ γ_{0 我} ∥^{k})$ 和 $\frac{1}{n个} \sum_{我 = 1}^{n个} E类 (∥ γ_{1 j个我} ∥^{k})$ 有界，对于 $k = 1, 2$ .
（A3）: 存在一系列积极的条件 ${第页}_{我} > 0$ 以便 $\sum_{我 \geq 1} {第页}_{我} < \infty$ 这样序列 $\underset{1 \leq 我 \leq n个}{最大值} ∥ {d日}_{我, n个} ∥ / {第页}_{我}$ 很紧。
（A4）: ${最大值}_{1 \leq 我 \leq n个} ∥ γ_{0 我} ∥ / \sqrt{n个} = {o个}_{P（P）} (1)$ 和 ${最大值}_{1 \leq 我 \leq n个} | ε_{j个我} | ∥ γ_{1 j个我} ∥ / \sqrt{n个} = {o个}_{P（P）} (1)$ .
（A5）: $(α_{n个}, Θ_{n个}) ⇝ (α, Θ)$ 在里面 $D类 ({[- \infty, \infty]}^{d日}) \times {R（右）}^{第页}$ .
（A6）: $\partial_{{x个}_{j个}} K（K） (x个)$ 和 ${x个}_{j个} \partial_{{x个}_{j个}} K（K） (x个)$ 在上有界且连续 ${\bar{R（右）}}^{d日} = {[- \infty, + \infty]}^{d日}$ 此外， ${F类}_{1}, \dots, {F类}_{d日}$ 具有连续有界密度 ${（f）}_{1}, \dots, {（f）}_{d日}$ 分别是。
（A7）: 对于所有人 $k \neq j个$ , ${（f）}_{j个} ({x个}_{j个}) E类 {| ε_{k 1} | 1 (ε_{1} \leq x个) | ε_{j个 1} = {x个}_{j个}}$ 和 ${x个}_{j个} {（f）}_{j个} ({x个}_{j个}) E类 {| ε_{k 1} | 1 (ε_{1} \leq x个) | ε_{j个 1} = {x个}_{j个}}$ 在上有界且连续 ${\bar{R（右）}}^{d日}$ .

备注 1

注意，如果序列

γ_{0 我}

和

γ_{1 k 我}

是平稳的、遍历的和平方可积的。此外，如果

\frac{1}{n个} \sum_{我 = 1}^{n个} γ_{0 我} \overset{P（P） 第页}{⟶} Γ_{0}

,

\frac{1}{n个} \sum_{我 = 1}^{n个} γ_{1 k 我} \overset{P（P） 第页}{⟶} Γ_{1 k}

、和

\frac{1}{n个} \sum_{我 = 1}^{n个} E类 (∥ γ_{0 我} ∥^{2})

,

\frac{1}{n个} \sum_{我 = 1}^{n个} E类 (∥ γ_{1 k 我} ∥^{2})

收敛，则满足（A1）和（A2）。

为了展示主要结果，并考虑到应用，需要考虑两个模型：

模型1。在这个模型中，为了便于识别，我们假设相关矩阵 $E类 (ε_{我} ε_{我}^{⊤})$ 是单位矩阵。这意味着相对于 ${F类}_{我 - 1}$ 是 $σ_{我} σ_{我}^{⊤}$ 特别是，条件相关性不一定是常数，而且是估计的。
模型2。在这个模型中， $σ_{我}$ 是任何我并且对创新的相关矩阵没有限制。这意味着 $σ_{我} σ_{我}^{⊤}$ 是对角线的，对于任何 $j个 \in {1, \dots, d日}$ , ${(σ_{我} σ_{我}^{⊤})}_{j个 j个}$ 是观测值的条件方差 $X_{j个我}$ 相对于 ${F类}_{我 - 1}$ 特别是，这意味着观测值之间的条件相关性是恒定的，不取决于θ，它隐式包含在copula中C类创新。当单变量时间序列的参数如Chen和Fan所示分别进行估计时，该模型在实践中自然出现[10]. 该模型与Engle和Kroner中的对角线表示不同[17]，包含在模型1中。

备注 2

如果在模型1中，条件相关性是常数（例如

R（右）

)，然后可以将此模型转换为model 2表示。事实上，我们可以找到一个矩阵

一

以便

R（右） = 一 一^{⊤}

和

σ_{我} = {\tilde{σ}}_{我} 一

，其中

{\tilde{σ}}_{我}

对角线的。然后

{\tilde{ε}}_{我} = 一 ε_{我}

具有相关性

R（右）

和

X_{我} = μ_{我} + {\tilde{σ}}_{我} {\tilde{ε}}_{我}

.

现在可以说明主要的收敛结果。其证明见附录A.1.

定理 1

在模型1和假设（A1）-（A7）下，

{K（K）}_{n个} ⇝ K（K）

，使用

K（K） (秒, x个) = α (秒, x个) + 秒 \nabla K（K） {(x个)}^{⊤} Γ_{0} Θ + 秒 \sum_{j个 = 1}^{d日} \sum_{k = 1}^{d日} {G公司}_{j个 k} (x个) {(Γ_{1 k} Θ)}_{j个},

哪里

{G公司}_{j个 k} (x个) = {（f）}_{j个} ({x个}_{j个}) E类 \{ε_{k 1} 1 (ε_{1} \leq x个) | ε_{j个 1} = {x个}_{j个}\}

特别是，

{G公司}_{j个 j个} (x个) = {x个}_{j个} \partial_{{x个}_{j个}} K（K） (x个)

此外，对于所有人

j个 \in {1, \dots, d日}

,

{F类}_{j个, n个} ⇝ {F类}_{j个}

，其中

\begin{matrix} {F类}_{j个} (秒, {x个}_{j个}) = β_{j个} {秒, {F类}_{j个} ({x个}_{j个})} + 秒 {（f）}_{j个} ({x个}_{j个}) {{(Γ_{0} Θ)}_{j个} + {x个}_{j个} {(Γ_{1 j个} Θ)}_{j个}} + 秒 \sum_{k \neq j个} {（f）}_{j个} ({x个}_{j个}) E类 (ε_{k 1} | ε_{j个 1} = {x个}_{j个}) {(Γ_{1 k} Θ)}_{j个} . \end{matrix}

在模型2和假设（A1）-（A6）下，

{K（K）}_{n个} ⇝ K（K）

，其中

K（K） (秒, x个) = α (秒, x个) + 秒 \nabla K（K） {(x个)}^{⊤} Γ_{0} Θ + 秒 \sum_{j个 = 1}^{d日} {G公司}_{j个 j个} (x个) {(Γ_{1 j个} Θ)}_{j个} .

备注三。

定理1的一个直接应用是如果要对K进行有效性检验。例如，可以对检验零假设感兴趣

{H（H）}_{0} : K（K） \in K（K） = {{K（K）}_{ϕ}; ϕ \in P（P）}

，对于某些参数族

K（K）

使用定理1，此类测试可以基于经验过程的函数

\sqrt{n个} ({K（K）}_{n个} - {K（K）}_{ϕ_{n个}}) = {K（K）}_{n个} (1, \cdot) - \sqrt{n个} ({K（K）}_{ϕ_{n个}} - K（K）)

，提供了

ϕ_{n个}

是的“良好估计值”直径F检验的优良性也可以基于K的所谓Rosenblatt变换，例如Genest和Rémillard[18]和雷米拉德[19]了解详细信息。

为了说明下一个结果，这对于涉及创新的变化点问题至关重要，请为所有人定义

(秒, x个) \in [0, 1] \times {\bar{R（右）}}^{d日}

，顺序过程

{A类}_{n个} (秒, x个) = \frac{1}{\sqrt{n个}} \sum_{我 = 1}^{⌊ n个 秒 ⌋} \{1 ({e（电子）}_{我, n个} \leq x个) - {K（K）}_{n个} (x个)\} = {K（K）}_{n个} (秒, x个) - \frac{⌊ n个 秒 ⌋}{n个} {K（K）}_{n个} (1, x个) .

(4)

请注意，许多用于检测创新分布中结构变化的测试统计数据都基于

{A类}_{n个}

.来自

{A类}_{n个}

依据

{K（K）}_{n个}

在中给出(4)和定理1，我们得到了关于

{A类}_{n个}

.

推论 1

在模型1和假设（A1）-（A7）下，或在模型2和假设（A1-（A6）下，

{A类}_{n个} ⇝ A类

，使用

A类 (秒, x个) = α (秒, x个) - 秒 α (1, x个), (秒, x个) \in [0, 1] \times {\bar{R（右）}}^{d日} .

特别地

A类

无参数，仅取决于K。

备注 4

尽管

A类

取决于未知的分布函数K，仍然可以引导

A类

，即生成

A类

从而可以检测创新分布中的结构变化。参见雷米拉德[20]了解详细信息。

与Copula相关的经验过程

到目前为止，我们已经讨论了定理1的两个应用：规范测试和创新分布的变化点问题。其次，如果有人对创新之间的依赖性建模感兴趣，就必须处理（唯一的）copulaC类与关联K（K）由于copula与裕度无关，估计它的一种方法是通过替换来消除它们的影响

{e（电子）}_{我, n个}

与相关的秩向量

{U型}_{我, n个} = {({U型}_{1 我, n个}, \dots, {U型}_{d日 我, n个})}^{⊤}, {U型}_{j个 我, n个} = 排名 ({e（电子）}_{j个 我, n个}) / (n个 + 1), 我 \in {1, \dots, n个},

哪里

排名 ({e（电子）}_{j个 我, n个})

是…的等级

{e（电子）}_{j个 我, n个}

在

{e（电子）}_{j个 1, n个}, \dots, {e（电子）}_{j个 n个, n个}

,

j个 \in {1, \dots, d日}

。这也可以写成

{U型}_{我, n个} = {F类}_{n个} ({e（电子）}_{我, n个})

,

我 \in {1, \dots, n个}

现在定义经验copula

{C类}_{n个} (单位) = \frac{1}{n个} \sum_{我 = 1}^{n个} 1 ({U型}_{我, n个} \leq 单位), 单位 \in {[0, 1]}^{d日},

与顺序copula过程一起

{C类}_{n个} (秒, 单位) = \frac{1}{\sqrt{n个}} \sum_{我 = 1}^{⌊ n个 秒 ⌋} \{1 ({U型}_{我, n个} \leq 单位) - C类 (单位)\}, (秒, 单位) \in {[0, 1]}^{1 + d日},

并设置

{G公司}_{n个} (秒, 单位) = \frac{1}{\sqrt{n个}} \sum_{我 = 1}^{⌊ n个 秒 ⌋} \{1 ({U型}_{我, n个} \leq 单位) - {C类}_{n个} (单位)\} = {C类}_{n个} (秒, 单位) - \frac{⌊ n个 秒 ⌋}{n个} {C类}_{n个} (1, 单位) .

为了在连续函数的空间上工作

{[0, 1]}^{d日}

，从现在开始，我们假设以下额外的技术假设[21]（条件2.1）关于C类.

条件 1

对于每个

j个 \in {1, \dots, d日}

，j-th一阶偏导数

\partial_{{单位}_{j个}} C类

存在并持续于

{单位 \in {[0, 1]}^{d日}; 0 < {单位}_{j个} < 1}

.

下一个结果直接来自定理1，使用Genest等人[22]（命题A.1），以及

{G公司}_{n个}

.

推论 2

在模型1和假设（A1）-（A7）下，

{C类}_{n个} ⇝ C类

，使用

C类 (秒, 单位) = \overset{ˇ}{C类} (秒, 单位) + 秒 \sum_{j个 \neq k} {\tilde{G公司}}_{j个 k} (单位) {(Γ_{1 k} Θ)}_{j个},

（5）

哪里

{\tilde{G公司}}_{j个 k} (单位) = {（f）}_{j个} \circ {F类}_{j个}^{- 1} ({单位}_{j个}) [E类 \{ε_{k 1} 1 ({U型}_{1} \leq 单位) | {U型}_{j个 1} = {单位}_{j个}\} - \partial_{{单位}_{j个}} C类 (单位) E类 \{ε_{k 1} | {U型}_{j个 1} = {单位}_{j个}\}]

,

j个 \in {1, \dots, d日}

、和

\overset{ˇ}{C类} (秒, 单位) = β (秒, 单位) - 秒 \sum_{j个 = 1}^{d日} \partial_{{单位}_{j个}} C类 (单位) β_{j个} (1, {单位}_{j个}), (秒, 单位) \in {[0, 1]}^{1 + d日} .

（6）

此外，

{G公司}_{n个} ⇝ G公司

，其中

G公司 (秒, 单位) = β (秒, 单位) - 秒 β (1, 单位), (秒, 单位) \in {[0, 1]}^{1 + d日} .

(7)

此外，在模型2和假设（A1）–（A6）下，

{C类}_{n个} ⇝ \overset{ˇ}{C类}

.

结论2的一个直接应用是，检测创新连接词结构变化的测试可以基于该过程

{G公司}_{n个}

以及限制过程

G公司

是无参数的，仅取决于未知的copulaC类然而，正如它对

A类

，很容易模拟

G公司

参见雷米拉德[20].

备注 5

值得注意的是，在模型2下，

{C类}_{n个}

收敛到

\overset{ˇ}{C类}

由定义(6),这不取决于 Θ,即使

K（K）

做。这一重要属性将在下一节中发挥重要作用，在下一小节中将讨论copula的规范测试。另外，请记住

\overset{ˇ}{C类} (1, \cdot)

是由创新构造的经验copula过程的渐近极限，如果它们是可观察的；参见，例如，gänssler和Stute[23]，Fermanian等人[24]，冢原[25]. 事实上，设置

{\overset{ˇ}{U型}}_{我, n个} = {R（右）}_{我} / (n个 + 1)

，其中

{R（右）}_{1}, \dots, {R（右）}_{n个}

是的关联秩向量

{U型}_{1}, \dots, {U型}_{n个}

，很容易得出这样的结果

\overset{ˇ}{C类}

是的渐近极限

{\overset{ˇ}{C类}}_{n个} (秒, 单位) = \frac{1}{\sqrt{n个}} \sum_{我 = 1}^{⌊ n个 秒 ⌋} {1 ({\overset{ˇ}{U型}}_{我, n个} \leq 单位) - C类 (单位)}

,

(秒, 单位) \in {[0, 1]}^{1 + d日}

.

在模型1下，为了获得一个极限

C类

它不依赖于估计参数，如下所示(5)以下条件是必要的：

{(Γ_{1 k} θ)}_{j个}

所有θ和所有θ均为0

j个 \neq k

，相当于条件：

{(Γ_{1 k})}_{j个 我}

=所有l和所有

j个 \neq k

。例如，如果

{σ_{我} (θ)}_{j个 k} = {σ_{我} (θ)}_{k k} {({A类}_{我})}_{j个 k}, w个 我 t吨 小时 {({A类}_{我})}_{j个 j个} = 1 一 n个 d日 {A类}_{我} 我 n个 v（v） e（电子） 第页 t吨 我 b条 我 e（电子） .

在这种情况下

{A类}_{我}

必须知道，因为它是无参数的。尤其是在以下情况下

σ_{我}

是对角线，在这种情况下

{A类}_{我}

是单位矩阵。设置

{H（H）}_{我}

为对角矩阵

{({H（H）}_{我})}_{j个 j个} = {(σ_{我})}_{j个 j个}

,

j个 \in {1, \dots, d日}

，然后可以将模型重写为

X_{我} = μ_{我} + {A类}_{我} {H（H）}_{我} ε_{我}

，这是模型2的简单缩放。这证明了对下一节中模型的此族的限制是合理的。

Copula的半参数估计

由徐提议[26]，估计copula的另一种方法C类称为IFM（迭代函数法）的方法是找到每个裕度的参数估计值，然后使用该估计值

{K（K）}_{n个}

属于K（K）根据这些估计利润。更准确地说，如果

{\hat{F类}}_{n个}

是估计参数边际分布的向量，然后是copulaC类估计依据为

{\hat{C类}}_{n个}

令人满意的

{K（K）}_{n个} = {\hat{C类}}_{n个} \circ {\hat{F类}}_{n个}

。即使对于模型2，也很容易检查限制过程

\hat{C类}

属于

{\hat{C类}}_{n个} = {n个}^{1 / 2} ({\hat{C类}}_{n个} - C类)

然后将取决于所有估计参数。这也是为什么人们应该总是用秩来估计copula的另一个原因。

3.Copula规范测试

我们在推论2中已经看到，在模型2中，顺序连接过程

{C类}_{n个}

收敛到极限

\overset{ˇ}{C类}

不依赖于条件均值和协方差的参数。事实上，正如前面所说第2节这是陈和范考虑的模型[10]，其中

X_{j个 我} = μ_{j个 我} (θ) + {小时}_{j个 我} {(θ)}^{1 / 2} ε_{j个 我}, 我 \geq 1, j个 \in {1, \dots, d日},

创新

ε_{我} = {(ε_{1 我}, \dots, ε_{d日 我})}^{⊤}

是独立的，并且

ε_{j个 我}

对于任何

j个 \in {1, \dots, d日}

。它相当于适合d日单变量随机波动率模型是分开的，这在应用中经常是这样的。然后，θ要么通过最大似然估计，这需要假设边际分布的参数族

{F类}_{j个}

属于

ε_{j个 我}

或准最大似然法。创新组件之间的依赖性

ϵ_{1 我}, \dots, ϵ_{d日 我}

然后由copula建模C类属于

ε_{我}

.

本节的目的是研究参数copula族的goodness-of-fit检验，即我们要检验零假设

{H（H）}_{0} : C类 \in C类 = {{C类}_{ϕ}; ϕ \in P（P）},

关于copula的一些参数族

C类

典型的族是椭圆型（高斯和学生型）和阿基米德型（克莱顿、弗兰克、甘贝尔）。参见，例如Joe[27]和Cherubini等人[28]供一般参考。正如Dias and Embrechts中提出的[29]、陈和范[10]和巴顿[30]也可以考虑copula的混合，而对于高维数据，参数vine模型将很有用；例如，参见Aas等人[31]库洛威卡和乔[32]以及其中的参考文献。

低于

{H（H）}_{0}

，每个交配

{C类}_{ϕ}

假设允许密度

{c（c）}_{ϕ}

满足以下假设：

（B1）: 对于每个 $ϕ \in P（P）$ ，密度 ${c（c）}_{ϕ}$ 属于 ${C类}_{ϕ}$ 允许对所有组件的一阶和二阶导数ϕ。关于的梯度（列）向量ϕ表示为 ${\dot{c（c）}}_{直径}$ ，Hessian矩阵表示为 ${\ddot{c（c）}}_{ϕ}$ .
（B2）: 对于任意 $单位 \in {(0, 1)}^{d日}$ 以及每个 $ϕ_{0} \in P（P）$ ，映射 $ϕ \mapsto {\dot{c（c）}}_{ϕ} (单位) / {c（c）}_{ϕ} (单位)$ 和 $ϕ \mapsto {\ddot{c（c）}}_{ϕ} (单位) / {c（c）}_{ϕ} (单位)$ 持续时间为 $ϕ_{0}$ .
（B3）: 对于每个 $ϕ_{0} \in P（P）$ ，有一个街区 $N个$ 属于 ${直径}_{0}$ 和 ${C类}_{ϕ_{0}}$ -可积函数 ${小时}_{1}, {小时}_{2} : {R（右）}^{d日} \to R（右）$ 这样，对于每一个 $单位 \in {(0, 1)}^{d日}$ ,

$\underset{ϕ \in N个}{啜饮} ∥\frac{{\dot{c（c）}}_{直径} (单位)}{{c（c）}_{ϕ} (单位)}∥ \leq {小时}_{1}^{1 / 2} (单位) 和 \underset{ϕ \in N个}{啜饮} ∥\frac{{\ddot{c（c）}}_{ϕ} (单位)}{{c（c）}_{ϕ} (单位)}∥ \leq {小时}_{2} (单位) .$

为了检验零假设

C类 \in C类

即。，

C类 = {C类}_{ϕ}

对一些人来说

ϕ \in P（P）

，考虑经验过程的功能是很自然的

{P（P）}_{n个} = \sqrt{n个} ({C类}_{n个} - {C类}_{ϕ_{n个}})

，其中

ϕ_{n个}

是的估计量ϕ规范测试基于

{P（P）}_{n个}

在中进行了描述第3.1节结合bootstrapping方法进行估计第页-值。在第3.2节一个描述了从Rosenblatt变换构造的过程；研究了它们的渐近行为，提出了检验统计量和bootstrapping方法。所有这些测试都使用估计值

ϕ_{n个}

，因此找到的渐近行为的重要性

Φ_{n个} = \sqrt{n个} (ϕ_{n个} - ϕ)

.英寸第3.3节，我们考虑基于秩的最常见估计方法，即。，

{直径}_{n个} = {T型}_{n个} ({U型}_{1, n个}, \dots, {U型}_{n个, n个})

，对于某些确定性函数

{T型}_{n个}

。最后，在中描述了基于公共相关性度量的估计方法第3.4节中给出了支持Rosenblatt变换和copula的论据第3.5节.

3.1. 基于经验Copula的检验统计量

用于测试

{H（H）}_{0}

，可以使用基于

{S公司}_{n个} = {¦Β}_{{[0, 1]}^{d日}} {P（P）}_{n个}^{2} (单位) d日 {C类}_{n个} (单位) = \sum_{我 = 1}^{n个} {\{{C类}_{n个} ({U型}_{我, n个}) - {C类}_{ϕ_{n个}} ({U型}_{我, n个})\}}^{2} .

(8)

根据Genest等人[33],

{S公司}_{n个}

是最好的统计数据之一

{P（P）}_{n个}

对于综合测试，它比Kolmogorov-Smirnov型统计更强大、更容易计算

∥ {P（P）}_{n个} ∥ = {啜饮}_{单位 \in {[0, 1]}^{d日}} | {P（P）}_{n个} (单位) |

。当然，如果参数族位于

{H（H）}_{1}

则可以找到比

{S公司}_{n个}

参见，例如Berg和Quessy[34]. 如Genest和Rémillard[18]，为便于识别，假设

δ > 0

,

inf公司 \{\underset{单位 \in {[0, 1]}^{d日}}{啜饮} | {C类}_{ϕ} (单位) - {C类}_{ϕ_{0}} (单位) ∥ : ϕ \in P（P） 和 | ϕ - ϕ_{0} | > δ\} > 0 .

此外，映射

ϕ \mapsto {C类}_{ϕ}

假设Fréchet可导

\dot{C类}

，即针对所有人

ϕ_{0} \in P（P）

,

\underset{小时 \to 0}{林} \underset{单位 \in {(0, 1)}^{d日}}{啜饮} \frac{| {C类}_{ϕ_{0} + 小时} (单位) - {C类}_{{直径}_{0}} (单位) - \dot{C类} (单位) 小时 |}{第页 (单位) ∥ 小时 ∥} = 0,

(9)

对于某些功能第页这样的话

{inf公司}_{单位 \in {(0, 1)}^{d日}} 第页 (单位) > 0

和

E类 {第页 ({U型}_{1})} < \infty

例如，在高斯copula情况下，可以取

第页 (单位) \equiv 1

.

备注 6

尽管

{S公司}_{n个}

是Genest等人中考虑的测试统计数据中最好的[33]，由于使用残差导致的额外变异性，这里的情况可能不会保持不变。在Genest等人中重现这项研究将很有意思[33]通过使用GARCH模型的残差来检查是否获得了相同的测试层次。

在陈述本节的主要结果之前，需要扩展以下规则性的概念

ϕ_{n个}

如Genest和Rémillard所定义[18]. 为此，定义

{W公司}_{n个} = \frac{1}{\sqrt{n个}} \sum_{我 = 1}^{n个} \frac{\dot{c（c）} ({U型}_{我})}{c（c） ({U型}_{我})} .

(10)

其中一个说

ϕ_{n个}

是常规的ϕ如果

(α_{n个}, {W公司}_{n个}, Φ_{n个}) ⇝ (α, W公司, Φ)

其中后者以高斯为中心

E类 (Φ {W公司}^{⊤}) = 我

、和Φ不依赖于θ或Θdelta方法的直接结果是，同胚保持了正则性。使用

{P（P）}_{n个}

随后进行了说明，并在附录B.

提议 1

在模型2和假设（A1）-（A6）下，如果

ϕ_{n个}

是常规的ϕ，然后

{P（P）}_{n个} ⇝ P（P）

、和

{S公司}_{n个} ⇝ S公司 = \int_{{[0, 1]}^{d日}} {P（P）}^{2} (单位) d日 C类 (单位)

，其中

P（P） (单位) = \overset{ˇ}{C类} (1, 单位) - \dot{C类} {(单位)}^{⊤} Φ

,

单位 \in {[0, 1]}^{d日}

事实上，如果ψ是空间上的连续函数

C类 ([0, 1])

，然后

{T型}_{n个} = ψ ({P（P）}_{n个}) ⇝ T型 = ψ (P（P）)

此外，参数引导算法描述了下一个或Genest等人提出的两级参数引导[33]可用于估计

{S公司}_{n个}

或

{T型}_{n个}

.

的参数引导 ${S公司}_{n个}$

以下步骤可得出近似值第页-测试值基于

{S公司}_{n个}

。的任何其他功能所需的更改

{P（P）}_{n个}

很明显。只有当存在的显式表达式时才能使用

{C类}_{直径}

。否则，必须使用2级参数引导[18].

算法1：经验copula过程的参数引导。

对于某些大整数N个，请执行以下步骤：

1.-

计算

{C类}_{n个}

和估算直径具有

ϕ_{n个} = {T型}_{n个} ({U型}_{1, n个}, \dots, {U型}_{n个, n个})

.

2.-

计算的值

{S公司}_{n个}

，定义如下(8).

3.-

对每个重复以下步骤

k \in {1, \dots, N个}

:

（a）: 生成随机样本 ${Y（Y）}_{1, n个}^{(k)}, \dots, {Y（Y）}_{n个, n个}^{(k)}$ 来自分发 ${C类}_{ϕ_{n个}}$ 并计算伪观测值 ${U型}_{我, n个}^{(k)} = {R（右）}_{我, n个}^{(k)} / (n个 + 1)$ ，其中 ${R（右）}_{1, n个}^{(k)}, \dots, {R（右）}_{n个, n个}^{(k)}$ 是的关联秩向量 ${Y（Y）}_{1, n个}^{(k)}, \dots, {Y（Y）}_{n个, n个}^{(k)}$ .
（b）: 设置

${C类}_{n个}^{(k)} (单位) = \frac{1}{n个} \sum_{我 = 1}^{n个} 1 ({U型}_{我, n个}^{(k)} \leq 单位), 单位 \in {[0, 1]}^{d日}$

和估算ϕ通过 $ϕ_{n个}^{(k)} = {T型}_{n个} ({U型}_{1, n个}^{(k)}, \dots, {U型}_{n个, n个}^{(k)})$ .
（c）: 计算

${S公司}_{n个}^{(k)} = \sum_{我 = 1}^{n个} {\{{C类}_{n个}^{(k)} ({U型}_{我, n个}^{(k)}) - {C类}_{ϕ_{n个}^{(k)}} ({U型}_{我, n个}^{(k)})\}}^{2} .$

近似值第页-测试值由下式给出

\sum_{k = 1}^{N个} 1 ({S公司}_{n个}^{(k)} > {S公司}_{n个}) / N个

.

算法1的一个重要特点是，可以从copula生成观测值

{C类}_{ϕ_{n个}}

而不必生成整个流程

X_{我}

并重新估算θ和直径每次。这只是因为

P（P）

不依赖于Θ或θ然而，对于模型1，其中

P（P）

取决于Θ可能在余量参数上，拟合copula所需的工作量与拟合相同K（K）因为需要生成整个过程

X_{我}

每次！

备注 7

一些作者，例如Kole等人[7]，建议Anderson-Darling类型的测试统计，划分

{P（P）}_{n个} (单位)

通过

\sqrt{{C类}_{ϕ_{n个}} (单位) {1 - {C类}_{ϕ_{n个}} (单位)}}

，然后积分或取得最高点。正如Genest等人[33]古迪和雷米拉德[35]，应避免进行这些测试。首先，分母仅在未估计参数的单变量情况下才有意义。在目前的情况下，这种加权过程的极限分布尚未得到证明，事实上，Ghoudi和Rémillard[35]给出了加权过程的极限方差为无穷大的一个例子。

3.2. 基于Rosenblatt变换的测试统计

除了使用经验copula过程，还可以使用根据Rosenblatt变换构造的fit检验[36]. 基于Genest等人的最新结果[33]，这些测试是最强大的综合测试之一。

回忆一下Rosenblatt绘制的d日-维copulaC类是映射

R（右）

从

{(0, 1)}^{d日} \to {(0, 1)}^{d日}

以便

单位 = ({单位}_{1}, \dots, {单位}_{d日}) \mapsto R（右） (单位) = ({v（v）}_{1}, \dots, {v（v）}_{d日})

具有

{v（v）}_{1} = {单位}_{1}

和

{v（v）}_{k} = \frac{\partial^{k - 1} C类 ({单位}_{1}, \dots, {单位}_{k}, 1, \dots, 1)}{\partial {单位}_{1} \dots \partial {单位}_{k - 1}} / \frac{\partial^{k - 1} C类 ({单位}_{1}, \dots, {单位}_{k - 1}, 1, \dots, 1)}{\partial {单位}_{1} \dots \partial {单位}_{k - 1}},

k \in {2, \dots, d日}

罗森布拉特对阿基米德连接函数和超椭圆连接函数的变换对于任何维都很容易计算；例如，见Rémillard等人[37]. Rosenblatt变换的有用性在于以下特性[38]：假设

V（V） \sim Π

，其中∏是独立copula，相当于

V（V）

均匀分布在

{(0, 1)}^{d日}

回想一下，独立copula∏由下式给出

Π ({单位}_{1}, \dots, {单位}_{d日}) = \prod_{j个 = 1}^{d日} {单位}_{j个}, {单位}_{1}, \dots, {单位}_{d日} \in [0, 1] .

然后

R（右） (U型) \sim Π

当且仅当

U型 \sim C类

此外，

{R（右）}^{- 1} (V（V）) \sim C类

.自

U型 = {R（右）}^{- 1} (V（V）)

可以以递归方式进行计算，这对于仿真特别有用。由此可见，虚假设

{H（H）}_{0} : C类 \in {{C类}_{ϕ}; ϕ \in P（P）}

可以用Rosenblatt变换来表示，即。

{H（H）}_{0} : R（右） \in {{R（右）}_{ϕ}; ϕ \in P（P）} .

使用Breymann等人的想法[9]扩展了Durbin之前的想法[39]和Diebold等人[40,41]，可以为生成测试

{H（H）}_{0}

通过比较

{E类}_{我, n个} = {R（右）}_{ϕ_{n个}} ({U型}_{我, n个})

,

我 \in {1, \dots, n个}

，带∏，自低于

{H（H）}_{0}

,

{E类}_{我, n个}

近似分布∏。更准确地说，设置

{D类}_{n个} (单位) = \frac{1}{\sqrt{n个}} \sum_{我 = 1}^{n个} {1 ({E类}_{我, n个} \leq 单位) - Π (单位)}, 单位 \in {[0, 1]}^{d日},

(11)

并定义

\begin{matrix} {S公司}_{n个}^{(B)} & = & \int_{{[0, 1]}^{d日}} {D类}_{n个}^{2} (单位) d日 单位 \\ = & \frac{n个}{三^{d日}} - \frac{1}{2^{d日 - 1}} \sum_{我 = 1}^{n个} \prod_{k = 1}^{d日} (1 - {E类}_{k 我, n个}^{2}) + \frac{1}{n个} \sum_{我 = 1}^{n个} \sum_{j个 = 1}^{n个} \prod_{k = 1}^{d日} (1 - {E类}_{k 我, n个} \lor {E类}_{k j个, n个}), \end{matrix}

(12)

哪里

一 \lor b条 = 最大值 (一, b条)

.

要说什么是这种情况下的常规估值器，需要定义

B_{n个} (单位) = \frac{1}{\sqrt{n个}} \sum_{我 = 1}^{n个} {1 ({E类}_{我} \leq 单位) - Π (单位)}, 单位 \in {[0, 1]}^{d日},

依据

{E类}_{我} = {R（右）}_{ϕ} ({U型}_{我}) \sim Π

,

我 \in {1, \dots, n个}

。很容易检查

(B_{n个}, {W公司}_{n个}) ⇝ (B, W公司)

，其中联合定律为高斯，并且

B

是∏-布朗桥。一个人说

ϕ_{n个}

是常规的ϕ如果

(B_{n个}, {W公司}_{n个}, Φ_{n个}) ⇝ (B, W公司, Φ)

其中后者以高斯为中心

E类 (Φ {W公司}^{⊤}) = 我

、和Φ不依赖于θ或Θ.

与上一节研究的copula过程一样，为了证明下一个结果，必须假设

{R（右）}_{ϕ}

Fréchet是可微的，即。，

\underset{小时 \to 0}{林} \underset{单位 \in {(0, 1)}^{d日}}{啜饮} \frac{| {R（右）}_{ϕ_{0} + 小时} (单位) - {R（右）}_{ϕ_{0}} (单位) - \dot{R（右）} (单位) 小时 ∥}{第页 (单位) ∥ 小时 ∥} = 0,

(13)

对于某些功能第页这样的话

{inf公司}_{单位 \in {(0, 1)}^{d日}} 第页 (单位) > 0

和

E类 {第页 ({U型}_{1})} < \infty

例如，在高斯copula情况下，可以取

第页 (单位) = 1 + \sum_{j个 = 1}^{d日 - 1} {\{{N个}^{- 1} ({单位}_{j个})\}}^{2}

也必须假设

R（右）

关于……是连续可微的

单位 \in (0, 1)

现在可以陈述本节的主要结果：给出经验Rosenblatt过程的收敛性。

回想一下

{\overset{ˇ}{U型}}_{我, n个} = {R（右）}_{我} / (n个 + 1)

，其中

{R（右）}_{1}, \dots, {R（右）}_{n个}

是的关联秩向量

{U型}_{1}, \dots, {U型}_{n个}

，并让

{\overset{ˇ}{E类}}_{我, n个} = {R（右）}_{{\overset{ˇ}{ϕ}}_{n个}} ({\overset{ˇ}{U型}}_{我})

，其中

{\overset{ˇ}{ϕ}}_{n个}

是的估计量ϕ使用计算

{\overset{ˇ}{U型}}_{我, n个} = {R（右）}_{我} / (n个 + 1)

,

我 \in {1, \dots, n个}

.进一步设置

{\overset{ˇ}{D类}}_{n个} (单位) = \frac{1}{\sqrt{n个}} \sum_{我 = 1}^{n个} {1 ({\overset{ˇ}{E类}}_{我, n个} \leq 单位) - Π (单位)}, 单位 \in {[0, 1]}^{d日} .

(14)

定理 2

在模型2和假设（A1）-（A6）下，如果

(ϕ_{n个})

是常规的ϕ，然后

{D类}_{n个} - {\overset{ˇ}{D类}}_{n个} ⇝ 0

和

{\overset{ˇ}{D类}}_{n个} ⇝ \overset{ˇ}{D类}

，使用

\overset{ˇ}{D类}

由提供

\overset{ˇ}{D类} (单位) = B (单位) - κ (单位) - Φ^{⊤} ϱ (单位),

哪里

B

是∏-布朗桥，

E类 {B (单位) W公司} = ϱ (单位)

,

E类 {κ (单位) W公司} = 0

、和

κ (单位) = \sum_{j个 = 1}^{d日} \sum_{k = 1}^{j个} E类 \{1 (\tilde{E类} \leq 单位) β_{j个} (1, {\tilde{U型}}_{k}) \partial_{{单位}_{k}} {R（右）}^{(j个)} (\tilde{U型}) | {\tilde{E类}}_{j个} = {单位}_{j个}\},

哪里

\tilde{U型} \sim C类 = {C类}_{直径}

和

\tilde{E类} = R（右） (\tilde{U型})

，使用

\tilde{U型}

独立于所有其他观察。

定理2的证明见附录A.2注意，与copula过程一样，极限过程

\overset{ˇ}{D类}

不依赖于θ，好像θ已知。下面的结果是连续映射定理的直接应用。

提议 2

在定理2的假设下，

{S公司}_{n个}^{(B)} ⇝ {S公司}^{(B)} = \int_{{[0, 1]}^{d日}} {\overset{ˇ}{D类}}^{2} (单位) d日 单位

事实上，如果ψ是空间上的连续函数

C类 ([0, 1])

，然后是统计数据

{T型}_{n个} = ψ ({D类}_{n个})

在法律上收敛于

T型 = ψ (\overset{ˇ}{D类})

此外，下面介绍的参数引导算法第3.2节可用于估计的p值

{S公司}_{n个}^{(B)}

或

{T型}_{n个}

.

的参数化引导 ${S公司}_{n个}^{(B)}$

以下算法是从统计角度描述的

{S公司}_{n个}^{(B)}

但可以轻松应用于任何形式的统计

{T型}_{n个} = ψ ({D类}_{n个})

.

算法2：经验Rosenblatt过程的参数引导。

对于某些大整数N个，请执行以下步骤：

1

估算ϕ通过

ϕ_{n个} = {T型}_{n个} ({U型}_{1, n个}, \dots, {U型}_{n个, n个})

，计算

{D类}_{n个}

和

{S公司}_{n个}^{(B)}

根据公式(11)和(12).

2

对于某些大整数N个，对每个重复以下步骤

k \in {1, \dots, N个}

:

（a）: 生成随机样本 ${Y（Y）}_{1, n个}^{(k)}, \dots, {Y（Y）}_{n个, n个}^{(k)}$ 来自分发 ${C类}_{ϕ_{n个}}$ 并计算伪观测值 ${U型}_{我, n个}^{(k)} = {R（右）}_{我, n个}^{(k)} / (n个 + 1)$ ，其中 ${R（右）}_{1, n个}^{(k)}, \dots, {R（右）}_{n个, n个}^{(k)}$ 是的关联秩向量 ${Y（Y）}_{1, n个}^{(k)}, \dots, {Y（Y）}_{n个, n个}^{(k)}$ .
（b）: 估算ϕ通过 $ϕ_{n个}^{(k)} = {T型}_{n个} ({U型}_{1, n个}^{(k)}, \dots, {U型}_{n个, n个}^{(k)})$ ，计算和计算 ${E类}_{我, n个}^{(k)} = {R（右）}_{{ϕ_{n个}}^{(k)}} ({U型}_{我, n个}^{(k)})$ , $我 \in {1, \dots, n个}$ .
（c）: 让

${D类}_{n个}^{(k)} (单位) = \frac{1}{\sqrt{n个}} \sum_{我 = 1}^{n个} \{1 ({E类}_{我, n个}^{(k)} \leq 单位) - Π (单位)\}, 单位 \in {[0, 1]}^{d日}$

并计算

${S公司}_{n个, k}^{(B)} = \int_{{[0, 1]}^{d日}} {\{{D类}_{n个}^{(k)} (单位)\}}^{2} d日单位 .$

近似值第页-测试值由下式给出

\sum_{k = 1}^{N个} 1 ({S公司}_{n个, k}^{(B)} > {S公司}_{n个}^{(B)}) / N个

.

3.3. Copula参数的估计

在下文中，正如命题1-2和定理2中所需要的那样，许多估计方法都会产生正则估计。

3.3.1. 最大伪似然估计

陈和凡[10]结果表明，在光滑条件下，密度

{c（c）}_{ϕ}

（他们文章中的条件D、C和N），最大伪似然估计器

ϕ_{n个} = 参数 \underset{ϕ \in P（P）}{最大值} \{\sum_{我 = 1}^{n个} 日志 {c（c）}_{ϕ} ({U型}_{我, n个})\}

是渐近高斯的，协方差矩阵仅取决于

{c（c）}_{ϕ}

因此，渐近行为不依赖于参数的估计θ残差评估所需！事实上，它与Genest等人研究的估计器具有相同的表示[11]在串行独立的情况下，即如果θ已知。更准确地说，有一个

Φ_{n个} = {J型}^{- 1} ({W公司}_{n个} - {Z轴}_{n个}) + {o个}_{P（P）} (1),

（15）

哪里

{W公司}_{n个}

由定义(10),

{Z轴}_{n个} = \frac{1}{\sqrt{n个}} \sum_{j个 = 1}^{d日} \sum_{我 = 1}^{n个} 问_{j个} ({U型}_{j个 我})

，使用

问_{j个} ({单位}_{j个}) = \int_{{(0, 1)}^{d日}} \frac{\dot{c（c）} (v（v）) \partial_{{v（v）}_{j个}} c（c） (v（v）)}{c（c） (v（v）)} {1 ({单位}_{j个} \leq {v（v）}_{j个}) - {v（v）}_{j个}} d日 v（v）,

j个 \in {1, \dots, d日}

，以及其中J型是费希尔信息矩阵

\int_{{(0, 1)}^{d日}} \frac{\dot{c（c）} (单位) \dot{c（c）} {(单位)}^{⊤}}{c（c） (单位)} d日 单位

。请注意

(\begin{matrix} {W公司}_{n个} \\ {Z轴}_{n个} \end{matrix})

在法律上收敛于

(\begin{matrix} W公司 \\ Z轴 \end{matrix}) \sim N个 (0, Σ)

，使用

Σ = (\begin{matrix} J型 & 0 \\ 0 & J型 \end{matrix})

特别是，

W公司 \sim N个 (0, J型)

独立于

Z轴 \sim N个 (0, J型)

。由此可见

Φ_{n个}

在法律上收敛于

Φ \sim N个 (0, {J型}^{- 1} + {J型}^{- 1} J型 {J型}^{- 1})

.因此

ϕ_{n个}

是的正则估计量ϕ自从

(Φ_{n个}, {W公司}_{n个}) ⇝ (Φ, W公司)

以高斯为中心

E类 (Φ {W公司}^{⊤}) = 我

。还要注意

(B_{n个}, {W公司}_{n个}, Φ_{n个}) ⇝ (B, W公司, Φ)

其中后者是以高斯为中心的，因此也满足定理2的假设。

备注 8

对于模型1，很容易检查在相同条件下

Φ_{n个}

取决于

{(Γ_{1 j个} Θ)}_{k}

为所有人

j个 \neq k

.

3.3.2. 两阶段估算

除了最大伪似然估计外，还可以考虑两阶段估计。也就是说，假设

ϕ = (\begin{matrix} ϕ_{1} \\ {直径}_{2} \end{matrix})

，还有那个

ϕ_{1}

首先通过以下方式进行估算

ϕ_{1, n个}

，然后

ϕ_{2}

使用伪似然估计

ϕ_{1, n个}

而不是

ϕ_{1}

.两阶段估计通常用于依赖于相关矩阵的椭圆连接函数

第页

以及可能的其他参数。众所周知

第页

可以用肯德尔陶的功能来表达，扮演着

ϕ_{1}

，而其余参数定义为

ϕ_{2}

事实上，

τ_{j个 k} = τ ({U型}_{j个 我}, {U型}_{k 我}) = \frac{2}{π} 电弧正弦 ({第页}_{j个 k})

[42]. 例如，在Student copula案例中，

ϕ_{2}

就是自由度。由于许多估计量可以是相依测度的函数，并且估计量的正则性由同胚保持，因此应该检查后者是否正则。下一步是在第3.4节.

现在，也要分解

{W公司}_{n个}

和

{Z轴}_{n个}

相应地。假设

ϕ_{1, n个}

是的估计量

{直径}_{1}

这在某种意义上是正常的

Φ_{1, n个} = \sqrt{n个} (ϕ_{1, n个} - ϕ_{1}) ⇝ Φ_{1} \sim N个 (0, Σ_{1})

和

E类 (Φ_{1} {W公司}_{1}^{⊤}) = 我

,

E类 (Φ_{1} {W公司}_{2}^{⊤}) = 0

下一步，定义

ϕ_{2, n个}

作为约化对数似然的伪似然估计量，即。

ϕ_{2, n个} = 参数 \underset{ϕ_{2} \in {O（运行）}_{2}}{最大值} [\sum_{我 = 1}^{n个} 日志 {c（c）}_{ϕ_{1, n个}, {直径}_{2}} ({U型}_{我, n个})] .

然后很容易检查

{W公司}_{2, n个} - {Z轴}_{2, n个} = {J型}_{21} Φ_{1, n个} + {J型}_{22} Φ_{2, n个} + {o个}_{P（P）} (1)

，所以

Φ_{n个} ⇝ Φ = (\begin{matrix} Φ_{1} \\ Φ_{2} \end{matrix})

，使用

Φ_{2} = {J型}_{22}^{- 1} ({W公司}_{2} - {Z轴}_{2} - {J型}_{21} Φ_{1})

。因此，

E类 (Φ_{2} {W公司}_{1}^{⊤}) = 0

和

E类 (Φ_{2} {W公司}_{2}^{⊤}) = 我

.这证明了

ϕ_{n个}

是的正则估计量ϕ自从

(Φ_{n个}, {W公司}_{n个}) ⇝ (Φ, W公司)

它是一个中心高斯向量

E类 (Φ {W公司}^{⊤}) = 我

。如果

Φ_{1}

不依赖于θ，然后Φ也不是。如果是这样的话

ϕ_{1, n个}

是的函数

{C类}_{n个}

.

3.4. 基于相关性度量的估计

在本节中，我们研究了由残差构造的四个著名的基于等级的依赖性度量的渐近行为：Kendall’s tau、Spearman’s rho、van der Waerden和Blomqvist系数。主要结果是，这些度量与创新计算的度量具有渐近性，扩展了Chen和Fan的结果[10]. 这一特性非常显著，证明了文献中的许多结果是正确的，其中相关性度量是根据残差计算的。这些证明取决于经验copula过程的渐近行为，它们在附录B。另一个重要的属性是，这些估计量都是正则的，在当前上下文中等价于以下属性：如果

ρ_{n个}

和ρ分别是经验和理论依赖性度量，那么

{K（K）}_{n个} = \sqrt{n个} (ρ_{n个} - ρ) ⇝ K（K）

，使用

E类 (K（K） W公司) = \partial_{ϕ} ρ

此外，在所有情况下，

(B_{n个}, {W公司}_{n个}, {K（K）}_{n个}) ⇝ (B, W公司, K（K）)

它是以高斯为中心的，因为

{K（K）}_{n个} = \frac{1}{\sqrt{n个}} \sum_{我 = 1}^{n个} ψ ({U型}_{我}) + {o个}_{P（P）} (1)

，使用

E类 {ψ ({U型}_{我})} = 0

和

E类 {ψ^{2} ({U型}_{我})} < \infty

.

3.4.1. 肯德尔陶

配对的经验肯德尔系数

({e（电子）}_{j个 我, n个}, {e（电子）}_{k 我, n个})

,

我 \in {1, \dots, n个}

，表示

τ_{j个 k, n个}

，是

τ_{j个 k, n个} = \frac{2}{n个 (n个 - 1)} (数 属于 和谐的 对 - 数 属于 和谐的 对),

其中两对

({e（电子）}_{j个 我, n个}, {e（电子）}_{k 我, n个})

和

({e（电子）}_{j个 我, n个}, {e（电子）}_{k 我, n个})

是一致的，如果

({e（电子）}_{j个 我, n个} - {e（电子）}_{j个 我, n个}) ({e（电子）}_{k 我, n个} - {e（电子）}_{k 我, n个}) > 0

,

我 \neq 我

否则，它们是不协调的。它的理论对应物是

τ_{j个 k} = 4 \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} {C类}^{(j个, k)} ({单位}_{j个}, {单位}_{k}) d日 {C类}^{(j个, k)} ({单位}_{j个}, {单位}_{k}) - 1,

值在中

[- 1, 1]

独立性下的值为0。

提议三。

在模型2和假设（A1）-（A6）下

1 \leq j个 < k \leq d日

,

\begin{matrix} \sqrt{n个} (τ_{j个 k, n个} - τ_{j个 k}) & = & \frac{1}{\sqrt{n个}} \sum_{我 = 1}^{n个} \{8 {C类}^{(j个, k)} ({U型}_{j个 我}, {U型}_{k 我}) - 8 {U型}_{j个 我} - 8 {U型}_{k 我} + 6 - 2 τ_{j个 k}\} + {o个}_{P（P）} (1) . \end{matrix}

收敛到中心高斯变量

{Z轴}_{j个 k}^{K（K）}

，使用

E类 ({Z轴}_{j个 k}^{K（K）} W公司) = 8 \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} {\dot{C类}}^{(j个, k)} ({单位}_{j个}, {单位}_{k}) d日 {C类}^{(j个, k)} ({单位}_{j个}, {单位}_{k}) = \partial_{ϕ} (τ_{j个 k}) .

3.4.2。斯皮尔曼的罗

斯皮尔曼经验系数

ρ_{j个 k, n个}^{S公司}

是配对的相关系数

({U型}_{j个 我, n个}, {U型}_{k 我, n个})

,

我 \in {1, \dots, n个}

，而其理论对应物

ρ_{j个 k}^{S公司}

是

科尔 ({U型}_{j个 我}, {U型}_{k 我}) = 12 Cov公司 ({U型}_{j个 我}, {U型}_{k 我}) = 12 \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \{{C类}^{(j个, k} ({单位}_{j个}, {单位}_{k}) - {单位}_{j个} {单位}_{k}\} d日 {单位}_{j个} d日 {单位}_{k}

。它在中具有值

[- 1, 1]

在独立性下值为0。

提议 4

在模型2和假设（A1）-（A6）下，

\begin{matrix} \sqrt{n个} (ρ_{j个 k, n个}^{S公司} - ρ_{j个 k}^{S公司}) & = & \frac{12}{\sqrt{n个}} \sum_{我 = 1}^{n个} \{12 ({U型}_{j个 我} - 1 / 2) ({U型}_{k 我} - 1 / 2) - ρ_{j个 k}^{S公司} \\ + 6 {({U型}_{j个 我} - 1 / 2)}^{2} + 6 {({U型}_{k 我} - 1 / 2)}^{2} - 1\} + {o个}_{P（P）} (1) . \end{matrix}

收敛到中心高斯变量

{Z轴}_{j个 k}^{S公司}

具有

E类 ({Z轴}_{j个 k}^{S公司} W公司) = 12 \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} {\dot{C类}}^{(j个, k)} ({单位}_{j个}, {单位}_{k}) d日 {单位}_{j个} d日 {单位}_{k} = \partial_{ϕ} (ρ_{j个 k}^{S公司}) .

3.4.3. 范德华登系数

让

N个

和

{N个}^{- 1}

分别为标准高斯分布的分布函数和分位数函数。然后是范德瓦尔登的经验系数

ρ_{j个 k, n个}^{W公司}

是配对的相关系数

({Z轴}_{j个 我, n个}, {Z轴}_{k 我, n个})

,

我 \in {1, \dots, n个}

，其中

{Z轴}_{j个 我, n个} = {N个}^{- 1} ({U型}_{j个 我, n个})

.其理论对应物

ρ_{j个 k}^{W公司}

由定义

科尔 ({Z轴}_{j个 我}, {Z轴}_{k 我}) = E类 ({Z轴}_{j个 我} {Z轴}_{k 我}) = \int_{0}^{1} {¦Β}_{0}^{1} \{{C类}^{(j个, k} ({单位}_{j个}, {单位}_{k}) - {单位}_{j个} {单位}_{k}\} d日 {N个}^{- 1} ({单位}_{j个}) d日 {N个}^{- 1} ({单位}_{k}),

具有

{Z轴}_{j个 我} = {N个}^{- 1} ({U型}_{j个 我})

。它在中具有值

[- 1, 1]

在独立性下值为0。

提议 5

在模型2和假设（A1）-（A6）下，

\begin{matrix} \sqrt{n个} (ρ_{j个 k, n个}^{W公司} - ρ_{j个 k}^{W公司}) & = & \frac{1}{\sqrt{n个}} \sum_{我 = 1}^{n个} \{{Z轴}_{j个 我} {Z轴}_{k 我} - ρ_{j个 k}^{W公司} - κ_{j个 k} ({Z轴}_{j个 我}) - κ_{k j个} ({Z轴}_{k 我})\} + {o个}_{P（P）} (1) \end{matrix}

汇聚到

{Z轴}_{j个 k}^{W公司}

中心高斯变量，带

E类 ({Z轴}_{j个 k}^{W公司} W公司) = 12 \int_{0}^{1} {¦Β}_{0}^{1} {\dot{C类}}^{(j个, k)} ({单位}_{j个}, {单位}_{k}) d日 {N个}^{- 1} ({单位}_{j个}) d日 {N个}^{- 1} ({单位}_{k}) = \partial_{ϕ} (ρ_{j个 k}^{W公司}),

哪里

κ_{j个 k} ({z（z）}_{j个}) = \int_{R（右）} {1 ({z（z）}_{j个} \leq x个) - N个 (x个) E类 ({Z轴}_{k 1} | {Z轴}_{j个 1} = x个)} d日 x个

和

κ_{k j个} ({z（z）}_{k}) = \int_{R（右）} {1 ({z（z）}_{k} \leq 年) - N个 (年)} E类 ({Z轴}_{j个 1} | {Z轴}_{k 1} = 年) d日 年 .

3.4.4. 布洛姆奎斯特系数

布洛姆奎斯特经验系数

ρ_{j个 k, n个}^{B}

定义为

ρ_{j个 k, n个}^{B} = \frac{4}{n个} \sum_{我 = 1}^{n个} 1 ({U型}_{j个 我, n个} \leq 1 / 2, {U型}_{k 我, n个} \leq 1 / 2) - 1 .

其理论对应物

ρ_{j个 k}^{B} = 4 P（P） ({U型}_{j个 我} \leq 1 / 2, {U型}_{k 我} \leq 1 / 2) - 1

，中有个值

[- 1, 1]

独立性下的值为零。

提议 6

在模型2和假设（A1）-（A6）下，

\begin{matrix} \sqrt{n个} (ρ_{j个 k, n个}^{B} - ρ_{j个 k}^{B}) & = & \frac{4}{\sqrt{n个}} \sum_{我 = 1}^{n个} [1 ({U型}_{j个 我} \leq 1 / 2, {U型}_{k 我} \leq 1 / 2) - {C类}^{(j个, k)} (1 / 2, 1 / 2) \\ - {1 ({U型}_{j个 我} \leq 1 / 2) - 1 / 2} \partial_{{单位}_{j个}} {C类}^{(j个, k)} (1 / 2, 1 / 2) \\ - {1 ({U型}_{k 我} \leq 1 / 2) - 1 / 2} \partial_{{单位}_{k}} {C类}^{(j个, k)} (1 / 2, 1 / 2)] + {o个}_{P（P）} (1) \end{matrix}

收敛到中心高斯变量

{Z轴}_{j个 k}^{B}

具有

E类 ({Z轴}_{j个 k}^{B} W公司) = 4 {\dot{C类}}^{(j个, k)} (1 / 2, 1 / 2) = \partial_{ϕ} (ρ_{j个 k}^{B}) .

3.5. Copula与Rosenblatt转换

一般来说，规范测试基于

{P（P）}_{n个}

都很强大[33]; 然而，如果没有明确的公式

{C类}_{ϕ}

正如在多元高斯或Student情况下，则必须依赖耗时的模拟方法[18]. 这就是为什么人们应该使用基于Rosenblatt变换的测试。一般来说，这些测试更容易执行，因为Rosenblatt变换计算简单，即使对于多元分布也是如此。此外，根据Genest等人的研究，它们也是最强大的综合测试之一[33]. 事实上，根据前面的文章，最好的测试统计是

{S公司}_{n个}^{(B)}

。这是用于下一个应用程序的。

4.应用示例

在这个例子中，我们想要对两个时间序列的创新之间的依赖性进行建模。为了能够与陈和范进行比较[10]，我们采用1988年4月28日至1998年12月31日期间德国马克/美国和日元/美国的汇率。AR（3）-GARCH（1,1）和AR（1）-GARCH（1,1。

对于如此大的样本量，必须确保没有结构变化点。为此，首先对标准化残差进行单变量变点检验，并且每次都不拒绝零假设。然后，进行copula变化点检验，再次导致不拒绝零假设，因为p值估计为

33 %

，使用

N个 = 100

复制。参见雷米拉德[20]以及[38]（算法8.E.2）了解详细信息。

由于创新的分布没有显著的结构变化，现在可以尝试对创新之间的依赖性进行建模。

首先，使用统计数据检查常用的标准copula模型（Gaussian、Student、Clayton、Frank、Gumbel）的有效性

{S公司}_{n个}^{(B)}

根据Rosenblatt过程构建。在每种情况下，由于第页-价值估计为

0 %

，使用

N个 = 100

复制。有了这样的复制次数，人们可以得出结论：第页-值小于

5 %

拒绝了无效假设。注意，根据陈和范的说法[10]，提出的模型是Student copula。在这里，这个假设被否定了。在拒绝了标准的copula模型之后，可以尝试拟合高斯copula的混合。在这种情况下，copula由下式给出

π_{1} Φ_{2} \{Φ^{- 1} (单位), Φ^{- 1} (v（v）); ρ_{1}\} + π_{2} Φ_{2} \{Φ^{- 1} (单位), Φ^{- 1} (v（v）); ρ_{2}\}, 单位, v（v） \in (0, 1),

哪里

Φ_{2} (x个, 年; ρ)

是两个具有相关性的标准高斯随机变量的二元分布函数

ρ \in (- 1, 1)

，Φ是一元标准高斯分布函数，

π_{2} = 1 - π_{1} \in (0, 1)

,

ρ_{1}, ρ_{2} \in (- 1, 1)

，使用

ρ_{1} \neq ρ_{2}

Dias和Embrechts提出了类似的模型[29]、陈和范[10]和巴顿[30].

对于两个高斯连接函数的混合，零假设不会被拒绝，因为第页-值为

84 %

对应于

{S公司}_{n个}^{(B)} = 0.0183

，使用计算

N个 = 100

复制。两个高斯连接函数的参数为

{\hat{ρ}}_{1} = 0.8205

,

{\hat{ρ}}_{2} = 0.3749

、和

{\hat{π}}_{1} = 0.4017

,

{\hat{π}}_{2} = 0.5983

.

5.结论

研究了由随机波动率模型残差构造的经验过程的渐近行为。结果表明，只要条件均值和波动率的参数已知，就可以很容易地对完全分布、边际或copula进行变点检验。研究还表明，在模型2下，当随机波动矩阵为对角时，经验copula过程和相关的Rosenblatt过程也表现为参数已知。这种显著的特性使得可以使用残差为创新的连接函数构造一致的规范测试，就像它们是创新一样。然后，可以在连续独立的上下文中应用最近为copula的拟合优度而开发的所有方法。

致谢

加拿大自然科学与工程研究委员会（拨款04430-2014）和魁北克自然与技术基金会（拨款2015-PR-183236）为支持这项工作提供了部分资金。作者还要感谢裁判和编辑的宝贵意见和建议。

利益冲突

作者声明没有利益冲突。

附录A主要结果证明

附录A.1。定理证明1

对于任何

A类 \subset {S公司}_{d日} = {1, \dots, d日}

，套

μ_{A类, n个} (秒, x个) = \frac{1}{\sqrt{n个}} \sum_{我 = 1}^{⌊ n个 秒 ⌋} \prod_{j个 \in A类} \{1 ({e（电子）}_{j个 我, n个} \leq {x个}_{j个}) - 1 (ε_{j个 我} \leq {x个}_{j个})\} \prod_{k \in {A类}^{c（c）}} 1 (ε_{k 我} \leq {x个}_{k}),

具有

μ_{j个, n个} = μ_{{j个}, n个}

对于任何

j个 \in {S公司}_{d日}

使用多项式公式

\begin{matrix} {K（K）}_{n个} (秒, x个) & = & \frac{1}{\sqrt{n个}} \sum_{我 = 1}^{⌊ n个 秒 ⌋} [\sum_{A类 \subset {S公司}_{d日}} \prod_{j个 \in A类} \{1 ({e（电子）}_{j个 我, n个} \leq {x个}_{j个}) - 1 (ε_{j个 我} \leq {x个}_{j个})\} \prod_{j个 \in {A类}^{c（c）}} 1 (ε_{j个 我} \leq {x个}_{j个}) - K（K） (x个)] \\ = & \frac{1}{\sqrt{n个}} \sum_{我 = 1}^{⌊ n个 秒 ⌋} \{\prod_{j个 = 1}^{d日} 1 (ε_{j个 我} \leq {x个}_{j个}) - K（K） (x个)\} \\ + \frac{1}{\sqrt{n个}} \sum_{我 = 1}^{⌊ n个 秒 ⌋} \sum_{j个 = 1}^{d日} \{1 ({e（电子）}_{j个 我, n个} \leq {x个}_{j个}) - 1 (ε_{j个 我} \leq {x个}_{j个})\} \prod_{k \neq j个} 1 (ε_{k 我} \leq {x个}_{k}) \\ + \frac{1}{\sqrt{n个}} \sum_{我 = 1}^{⌊ n个 秒 ⌋} \sum_{| A类 | > 1} \prod_{j个 \in A类} \{1 ({e（电子）}_{j个 我, n个} \leq {x个}_{j个}) - 1 (ε_{j个 我} \leq {x个}_{j个})\} \underset{k \in {A类}^{c（c）}}{π} 1 (ε_{k 我} \leq {x个}_{k}) \\ = & α_{n个} (秒, x个) + \sum_{j个 = 1}^{d日} μ_{j个, n个} (秒, x个) + \sum_{| A类 | > 1} μ_{A类, n个} (秒, x个) . \end{matrix}

为了证明这个定理，只要证明对于任何

1 \leq j个 \leq d日

，均匀英寸

(秒, x个)

,

μ_{j个, n个} (秒, x个)

概率收敛到

秒 \partial_{{x个}_{j个}} K（K） (x个) {(Γ_{0} Θ)}_{j个} + 秒 \sum_{k = 1}^{d日} {G公司}_{j个 k} (x个) {(Γ_{1 k} Θ)}_{j个} = 秒 Θ^{⊤} {L（左）}_{j个} (x个)

对于任何人来说

| A类 | > 1

,

μ_{A类, n个} (秒, x个)

在概率上收敛到零。这些证据将用于

j个 = 1

和

A类 \supset {1, 2}

其他情况类似。

让

δ \in (0, 1)

给出。从（A2）、（A3）和（A5）可以找到

M（M） > 0

这样，如果n个那么就足够大了

P（P） (B_{M（M）, n个}) > 1 - δ

，其中

B_{M（M）, n个} = \{∥ Θ_{n个} ∥ \leq M（M）\} \cap_{我 = 1}^{n个} \{∥ {d日}_{我, n个} ∥ \leq M（M） {第页}_{我}\} \cap \{\frac{1}{n个} \sum_{我 = 1}^{n个} ∥ γ_{0 我} ∥ \leq M（M）\} \cap_{j个 = 1}^{d日} \{\frac{1}{n个} \sum_{我 = 1}^{n个} ∥ γ_{1 j个 我} ∥ \leq M（M）\} .

让

λ \in (0, 1 / 2)

给出。进一步设置

{C类}_{λ, n个} = {{最大值}_{1 \leq 我 \leq n个} (∥ γ_{0 我} ∥ + {最大值}_{j个 \in {S公司}_{d日}} | ε_{j个 我} | ∥ γ_{1 j个 我} ∥) / \sqrt{n个} \leq λ}

.签署人（A4），

P（P） ({C类}_{λ}) \geq 1 - δ

如果n个足够大了。

接下来，针对

κ = (κ_{1}, κ_{2}, κ_{三}) \in R（右） \times {R（右）}^{第页} \times R（右）

，套

η_{我, n个} (κ) = κ_{1} {第页}_{我} + {{(γ_{0 我} κ_{2})}_{1} + \sum_{k = 1}^{d日} ε_{k 我} {(γ_{1 k 我} κ_{2})}_{1} + κ_{三} ∥ γ_{0 我} ∥ + κ_{三} \sum_{k = 1}^{d日} | ε_{k 我} | ∥ γ_{1 k 我} ∥} / \sqrt{n个},

并定义

{\tilde{μ}}_{1, n个} (秒, x个; κ) = \frac{1}{\sqrt{n个}} \sum_{我 = 1}^{⌊ n个 秒 ⌋} [1 \{ε_{1 我} \leq {x个}_{1} + η_{我, n个} (κ)\} - 1 (ε_{1 我} \leq {x个}_{1})] \prod_{k = 2}^{d日} 1 (ε_{k 我} \leq {x个}_{k}) .

然后设置

{\tilde{μ}}_{12, n个} ({x个}_{1}, {x个}_{2}; κ) = {\tilde{μ}}_{1, n个} (1, {x个}_{1}, {x个}_{2}, \infty, \dots, \infty; κ)

，并定义

{\tilde{L（左）}}_{1, n个} (秒, x个; κ) = \frac{1}{\sqrt{n个}} \sum_{我 = 1}^{⌊ n个 秒 ⌋} [P（P） (ε_{1 我} \leq {x个}_{1} + η_{我, n个} (κ), ε_{2 我} \leq {x个}_{2}, \dots, ε_{d日 我} \leq {x个}_{d日}| {F类}_{我 - 1}) - K（K） (x个)] .

使用残差的主要问题是它们依赖于

θ_{n个}

使他们依赖。然而，由于半径的闭合球M（M）在里面

{R（右）}^{第页}

结构紧凑，可以被有限多个半径的球覆盖λ居中于

ζ \in C类

，对于某些有限子集

C类

属于

{R（右）}^{第页}

，因此可以替换随机向量

Θ_{n个}

这些中心中的任何一个。所以让我们

ζ \in C类

给出。打开

B_{M（M）, n个} \cap {C类}_{λ, n个} \cap {∥ Θ_{n个} - ζ ∥ < λ}

，一个有

η_{我, n个} (- M（M）, ζ, - λ) \leq ε_{1 我} - {e（电子）}_{1 我, n个} \leq η_{我, n个} (M（M）, ζ, λ)

、和

| ε_{1 我} - {e（电子）}_{1 我, n个} | \leq 一_{我, n个}

，使用

一_{我, n个} = η_{我, n个} (M（M）, 0, c（c）)

，其中

c（c） = M（M） + 1

.因此

1 {ε_{1 我} \leq {x个}_{1} - η_{我, n个} (M（M）, - ζ, λ)} \leq 1 ({e（电子）}_{1 我, n个} \leq {x个}_{1}) \leq 1 {ε_{1 我} \leq {x个}_{1} + η_{我, n个} (M（M）, ζ, λ)}

,

| 1 ({e（电子）}_{1 我, n个} \leq {x个}_{1}) - 1 (ε_{1 我} \leq {x个}_{1}) | \leq 1 ({x个}_{1} - 一_{我, n个} < ε_{1 我} \leq {x个}_{1} + 一_{我, n个})

、和

\begin{matrix} | 1 ({e（电子）}_{2 我, n个} \leq {x个}_{2}) - 1 (ε_{2 我} \leq {x个}_{2}) | & \leq & 1 ({x个}_{2} - M（M） {第页}_{我} - c（c） λ \leq ε_{2 我} \leq {x个}_{2} + M（M） {第页}_{我} + c（c） λ) \\ \leq & 1 ({x个}_{2} - 2 c（c） λ < ε_{2 我} \leq {x个}_{2} + 2 c（c） λ), \end{matrix}

如果

我 \geq 我_{0}

，对于一些

我_{0}

，自

{第页}_{我} \to 0

。因此，对于任何

A类 \supset {1, 2}

,

\begin{matrix} | μ_{A类, n个} (秒, x个) | & \leq & \frac{我_{1}}{\sqrt{n个}} + \frac{1}{\sqrt{n个}} \sum_{我 = 1}^{n个} 1 ({x个}_{1} - 一_{我, n个} < ε_{1 我} \leq {x个}_{1} + 一_{我, n个}) 1 ({x个}_{2} - 2 c（c） λ < ε_{2 我} \leq {x个}_{2} + 2 c（c） λ) . \end{matrix}

然后

{\tilde{μ}}_{1, n个} (秒, x个; - M（M）, ζ, - λ) \leq μ_{1, n个} (秒, x个) \leq {\tilde{μ}}_{1, n个} (秒, x个; M（M）, ζ, λ)

、和

\begin{matrix} | μ_{A类, n个} (秒, x个) | & \leq & \frac{我_{1}}{\sqrt{n个}} + {\tilde{μ}}_{12, n个} ({x个}_{1}, {x个}_{2} + 2 c（c） λ; M（M）, 0, c（c） λ) - {\tilde{μ}}_{12, n个} ({x个}_{1}, {x个}_{2} - 2 c（c） λ; M（M）, 0, c（c） λ) \\ - {\tilde{μ}}_{12, n个} ({x个}_{1}, {x个}_{2} + 2 c（c） λ; - M（M）, 0, - c（c） λ) + {\tilde{μ}}_{12, n个} ({x个}_{1}, {x个}_{2} - 2 c（c） λ; - M（M）, 0, - c（c） λ) . \end{matrix}

如果能够证明以下属性，则证明将完成：如果

κ_{三}

足够小，然后打开

B_{M（M）, n个}

，并在中均匀分布

(秒, x个)

，两者都是

{\tilde{L（左）}}_{1, n个} (秒, x个; κ) - 秒 κ_{2}^{⊤} {L（左）}_{1} (x个)

和

{\overset{ˇ}{μ}}_{1, n个} (秒, x个; κ) = {\tilde{μ}}_{1, n个} (秒, x个; κ) - {\tilde{L（左）}}_{1, n个} (秒, x个)

可以使概率接近1的任意小。因为如果这两个陈述被证明了，那么因为前面的不等式λ可以根据需要选择小的，可以得出如下结论

n个 \to \infty

,

μ_{j个, n个} (秒, x个)

概率收敛到

Θ^{⊤} {L（左）}_{j个} (x个)

对于任何人来说

A类 \supset {1, 2}

,

μ_{A类, n个} (秒, x个)

概率收敛到零。对于其余的证明，为了简化符号，假设

d日 = 2

.

为了证明第一句话，

P（P） (ε_{1 我} \leq {x个}_{1} + η_{我, n个} (κ), ε_{2 我} \leq {z（z）}_{1}, \dots, ε_{d日 我} \leq {z（z）}_{d日 - 1}| {F类}_{我 - 1})

由提供

\begin{matrix} P（P） & \{ε_{1 我} > 0, ε_{1 我} \leq \frac{{x个}_{1} + κ_{1} {第页}_{我} + {(γ_{0 我} κ_{2})}_{1} / \sqrt{n个} + ε_{2 我} {(γ_{12 我} κ_{2})}_{1} / \sqrt{n个} + κ_{三} | ε_{2 我} | ∥ γ_{12 我} ∥ / \sqrt{n个}}{1 - {(γ_{11 我} κ_{2})}_{1} / \sqrt{n个} - κ_{三} ∥ γ_{11 我} ∥ / \sqrt{n个}}, ε_{2 我} \leq {x个}_{2}| {F类}_{我 - 1}\} \\ + P（P） & \{ε_{1 我} \leq 0, ε_{1 我} \leq \frac{{x个}_{1} + κ_{1} {第页}_{我} + {(γ_{0 我} κ_{2})}_{1} / \sqrt{n个} + ε_{2 我} {(γ_{12 我} κ_{2})}_{1} / \sqrt{n个} + κ_{三} | ε_{2 我} | ∥ γ_{12 我} ∥ / \sqrt{n个}}{1 - {(γ_{11 我} κ_{2})}_{1} / \sqrt{n个} + κ_{三} ∥ γ_{11 我} ∥ / \sqrt{n个}}, ε_{2 我} \leq {x个}_{2}| {F类}_{我 - 1}\} \end{matrix}

根据（A1）、（A2）、（A6）和（A7）

B_{M（M）, n个}

，有一个常数

{c（c）}_{0}

以便

\underset{秒 \in [0, 1]}{啜饮} \underset{x个 \in {\bar{R（右）}}^{d日}}{啜饮} |{\tilde{L（左）}}_{1, n个} (秒, x个; κ) - 秒 κ_{2}^{⊤} {L（左）}_{1} (x个)| \leq {c（c）}_{0} \{\frac{| κ_{1} |}{\sqrt{n个}} \sum_{我 = 1}^{n个} {第页}_{我} + \frac{| κ_{三} |}{n个} \sum_{我 = 1}^{n个} {∥ γ_{0 我} ∥ + ∥ γ_{11 我} ∥ + ∥ γ_{12 我} ∥}\},

可以通过选择使其以大概率任意小

κ_{三}

足够小。在模型2下，

{(γ_{12 我} κ_{2})}_{1} = 0

对于任何

κ_{2}

，因此（A7）不是必需的。

只剩下证明鞅差的部分和

{\overset{ˇ}{μ}}_{1, n个} (秒, x个; κ)

可以通过选择任意缩小

κ_{三}

足够小。该证明类似于Ghoudi和Rémillard中引理7.1–7.2的证明[2]. 假设

1 / 2 < ν < 1

并设置

{N个}_{n个} = ⌊ {n个}^{ν} ⌋

然后，设置

年_{k} = {F类}_{1}^{- 1} (k / {N个}_{n个})

,

1 \leq k < {N个}_{n个}

.此外，设置

年_{0} = - \infty

和

年_{{N个}_{n个}} = + \infty

现在，如果

年_{k} \leq {x个}_{1} < 年_{k + 1}

、和

z（z） = ({x个}_{2}, \dots, {x个}_{d日})

首先，注意可以覆盖

{\bar{R（右）}}^{d日}

以有限的数量

{N个}_{n个} \times J型

形式的间隔

[一, b条) = [年_{k}, 年_{k + 1}) \times [{单位}_{我}, {v（v）}_{我})

，其中

0 \leq K（K） (年_{k + 1}, z（z）) - K（K） (年_{k}, z（z）) \leq {F类}_{1} (年_{k + 1}) - {F类}_{1} (年_{k}) = 1 / {N个}_{n个}

.

设置

{U型}_{我, n个} (x个) = [1 {ε_{我 1} \leq {x个}_{1} + η_{我, n个} (κ)} - 1 (ε_{1 我} \leq {x个}_{1})] 1 (ε_{2 我} \leq {x个}_{2})

并设置

{V（V）}_{我, n个} (x个) = E类 {{U型}_{我, n个} (x个) | {F类}_{我 - 1}}

。不能直接与

{U型}_{我, n个} - {V（V）}_{我, n个}

。通过分解可以获得更好的边界

{U型}_{我, n个}

和

{V（V）}_{我, n个}

如下：设置

{U型}_{我, n个}^{+} (x个) = [1 {ε_{我 1} \leq {x个}_{1} + η_{我, n个}^{+} (κ)} - 1 (ε_{1 我} \leq {x个}_{1})] 1 (ε_{2 我} \leq {x个}_{2}),

和

{U型}_{我, n个}^{-} (x个) = [1 (ε_{1 我} \leq {x个}_{1}) - 1 {ε_{我 1} \leq {x个}_{1} - η_{我, n个}^{-} (κ)}] 1 (ε_{2 我} \leq {x个}_{2}) .

类似地，设置

{V（V）}_{我, n个}^{\pm} (x个) = E类 {{U型}_{我, n个}^{\pm} (x个) | {F类}_{我 - 1}}

并定义

{\overset{ˇ}{μ}}_{1, n个}^{\pm} (秒, x个; κ) = \frac{1}{\sqrt{n个}} \sum_{我 = 1}^{⌊ n个 秒 ⌋} {{U型}_{我, n个}^{\pm} (x个) - {V（V）}_{我, n个}^{\pm} (x个)}

.然后

{U型}_{我, n个} - {V（V）}_{我, n个} = {U型}_{我, n个}^{+} - {V（V）}_{我, n个}^{+} - {{U型}_{我, n个}^{-} - {V（V）}_{我, n个}^{-}}

，所以

{\overset{ˇ}{μ}}_{1, n个} = {\overset{ˇ}{μ}}_{1, n个}^{+} - {\overset{ˇ}{μ}}_{1, n个}^{-}

。为了完成证明，这足以证明

{\overset{ˇ}{μ}}_{1, n个}^{\pm}

可以任意缩小。只给出了+部分的证明，另一部分是类似的。现在，为了

x个 \in [年_{k}, 年_{k + 1}) \times [{单位}_{我}, {v（v）}_{我})

，观察到

{U型}_{我, n个}^{+} (年_{k}, {单位}_{我}) - 1 (年_{k} < ε_{1 我} \leq 年_{k + 1}) \leq {U型}_{我, n个}^{+} (x个) \leq {U型}_{我, n个}^{+} (年_{k + 1}, {v（v）}_{我}) + 1 (年_{k} < ε_{1 我} \leq 年_{k + 1}) .

对上一个不平等的期望进行总结我生成以下边界：

\begin{matrix} \underset{秒 \in [0, 1]}{啜饮} \underset{x个 \in [年_{k}, 年_{k + 1}) \times [{单位}_{我}, {v（v）}_{我})}{啜饮} |{\overset{ˇ}{μ}}_{1, n个}^{\pm} (秒, x个; κ)| \\ \leq \underset{秒 \in [0, 1]}{啜饮} 最大值 \{| {\overset{ˇ}{μ}}_{1, n个}^{\pm} (秒, 年_{k + 1}, {v（v）}_{我}; κ) |, | {\overset{ˇ}{μ}}_{1, n个}^{\pm} (秒, 年_{k}, {单位}_{我}; κ) |\} + 2 \frac{\sqrt{n个}}{{N个}_{n个}} \\ + \underset{秒 \in [0, 1]}{啜饮} |β_{1, n个} (秒, 年_{k + 1}) - β_{1, n个} (秒, 年_{k})| + \frac{1}{\sqrt{n个}} \sum_{我 = 1}^{n个} \{{V（V）}_{我, n个}^{+} (年_{k + 1}, {v（v）}_{我}) - {V（V）}_{我, n个}^{+} (年_{k}, {单位}_{我})\} . \end{matrix}

下一步

ξ_{我, n个} = {U型}_{我, n个}^{+} - {V（V）}_{我, n个}^{+}

鞅差是这样的

| ξ_{我, n个} | \leq 2

和

E类 (ξ_{我, n个}^{2} | {F类}_{我 - 1}) = {V（V）}_{我, n个}^{+} (1 - {V（V）}_{我, n个}^{+}) \leq {V（V）}_{我, n个}^{+}

.因此，根据鞅的最大不等式，

P（P） \{\underset{秒 \in [0, 1]}{啜饮} \underset{1 \leq k \leq {N个}_{n个}}{最大值} \underset{1 \leq 我 \leq J型}{最大值} |{\overset{ˇ}{μ}}_{1, n个}^{\pm} (秒, 年_{k}, {单位}_{我}; κ)| > λ_{0}\} \leq ({N个}_{n个} \times j个) λ_{0}^{- 4} \underset{x个 \in {\bar{R（右）}}^{d日}}{啜饮} E类 [{\{{\overset{ˇ}{μ}}_{1, n个}^{\pm} (1, x个; κ)\}}^{4}]

其边界为

c（c） ({N个}_{n个} \times j个) λ_{0}^{- 4} {啜饮}_{x个 \in {\bar{R（右）}}^{d日}} [\frac{16}{n个} + \frac{1}{{n个}^{2}} E类 \{{(\sum_{我 = 1}^{n个} {V（V）}_{我, n个}^{+} (x个))}^{2}\}]

，对于某些通用常数c（c）.

使用（A3）、（A6）和（A7），后者为

O（运行） ({N个}_{n个} / n个)

，证明了这一点

\underset{秒 \in [0, 1]}{啜饮} \underset{1 \leq k \leq {N个}_{n个}}{最大值} \underset{1 \leq 我 \leq J型}{最大值} |{\overset{ˇ}{μ}}_{1, n个}^{\pm} (年_{k}, {单位}_{我}; κ)|

概率收敛到零。

同样，

\underset{秒 \in [0, 1]}{啜饮} \underset{1 \leq k \leq {N个}_{n个}}{最大值} \underset{1 \leq 我 \leq J型}{最大值} |{\overset{ˇ}{μ}}_{1, n个}^{\pm} (年_{k}, {v（v）}_{我}; κ)|

概率也收敛到零。接下来，

\underset{秒 \in [0, 1]}{啜饮} \underset{1 \leq k \leq {N个}_{n个}}{最大值} |β_{1, n个} (秒, 年_{k + 1}) - β_{1, n个} (秒, 年_{k})| = \underset{秒 \in [0, 1]}{啜饮} \underset{1 \leq k \leq {N个}_{n个}}{最大值} |{\tilde{β}}_{1, n个} (秒, (k + 1) / {N个}_{n个}) - {\tilde{β}}_{1, n个} (秒, k / {N个}_{n个})|

概率收敛到零，其中

{\tilde{β}}_{1, n个}

是由统一变量构造的经验基弗过程。最后，设置

{\tilde{（f）}}_{1} (x个) = \partial_{{x个}_{1}} K（K） (x个)

和

克_{1} (x个) = {x个}_{1} {\tilde{（f）}}_{1} (x个)

从（A1）、（A2）、（A6）和（A7）可以得出结论，对于某些常数

{c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{4}

取决于

∥ {\tilde{（f）}}_{1} ∥

和

∥ 克_{1} ∥

,

\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{n个}} \sum_{我 = 1}^{n个} \{{V（V）}_{我, n个}^{+} (年_{k + 1}, {v（v）}_{我}) - {V（V）}_{我, n个}^{+} (年_{k}, {单位}_{我})\} \\ \leq {c（c）}_{1} | κ_{1} | \frac{\sum_{我 = 1}^{n个} {第页}_{我}}{n个} + {c（c）}_{2} \underset{0 \leq k < {N个}_{n个}}{最大值} \underset{1 \leq 我 \leq J型}{最大值} | {（f）}_{1} (年_{k + 1}, {v（v）}_{我}) - {（f）}_{1} (年_{k}, {单位}_{我}) | \\ + {c（c）}_{三} \underset{0 \leq k < {N个}_{n个}}{最大值} \underset{1 \leq 我 \leq J型}{最大值} | 克_{1} (年_{k + 1}, {v（v）}_{我}) - 克_{1} (年_{k}, {单位}_{我}) | + {c（c）}_{4} | κ_{三} | . \end{matrix}

如果需要，可以将其设置得尽可能小n个很大，

κ_{三}

很小，覆盖物的网格足够小。结果就是这样。 □

附录A.2。定理证明2

首先，请注意

B_{n个} (单位) = \frac{1}{\sqrt{n个}} \sum_{我 = 1}^{n个} [1 {R（右） ({U型}_{我}) \leq 单位} - Π (单位)] ⇝ B

，其中

B

是∏-布朗桥。接下来，设置

{\overset{ˇ}{H（H）}}_{n个} (x个) = {R（右）}_{{\overset{ˇ}{ϕ}}_{n个}} \{{\overset{ˇ}{F类}}_{n个} (x个)\}

和

H（H） (x个) = R（右） {F类 (x个)}

，其中

{\overset{ˇ}{F类}}_{n个} = ({\overset{ˇ}{F类}}_{1, n个}, \dots, {\overset{ˇ}{F类}}_{d日, n个})

，使用

{\overset{ˇ}{F类}}_{j个, n个} ({x个}_{j个}) = \frac{1}{n个 + 1} \sum_{我 = 1}^{n个} 1 (ε_{j个 我} \leq {单位}_{j个}), j个 \in {1, \dots, d日} .

请注意

{\overset{ˇ}{U型}}_{我, n个} = {\overset{ˇ}{F类}}_{n个} (ε_{我})

,

我 \in {1, \dots, n个}

根据假设，

ϕ_{n个} = {T型}_{n个} ({U型}_{1, n个}, \dots, {U型}_{n个, n个})

.进一步设置

{\overset{ˇ}{ϕ}}_{n个} = {T型}_{n个} {{\overset{ˇ}{U型}}_{1, n个}, \dots, {\overset{ˇ}{U型}}_{n个, n个}}

.然后

{\overset{ˇ}{V（V）}}_{我, n个} = {\overset{ˇ}{H（H）}}_{n个} (ε_{我})

和

{V（V）}_{我} = H（H） (ε_{我})

，对于所有人

我 \in {1, \dots, n个}

.

现在

\sqrt{n个} ({\overset{ˇ}{ϕ}}_{n个} - ϕ) ⇝ Φ

，使用中的结果第3.3节和第3.4节,

{\overset{ˇ}{H（H）}}_{n个} = \sqrt{n个} ({\overset{ˇ}{H（H）}}_{n个} - H（H）) ⇝ \overset{ˇ}{H（H）}

、和

∥ {\overset{ˇ}{H（H）}}_{n个} ∥_{第页} = {啜饮}_{x个} | {\overset{ˇ}{H（H）}}_{n个} (x个) | / 第页 \circ F类 (x个)

很紧，在哪里

j个 \in {1, \dots, d日}

,

{\overset{ˇ}{H（H）}}^{(j个)} (x个) = Φ^{⊤} {\dot{R（右）}}^{(j个)} {F类 (x个)} + \sum_{k = 1}^{j个} \partial_{{单位}_{k}} {R（右）}^{(j个)} {F类 (x个)} β_{k} {1, {F类}_{k} ({单位}_{k})} .

然后根据古迪和雷米拉德的结果[2]那个

{\overset{ˇ}{D类}}_{n个} ⇝ \overset{ˇ}{D类}

，其中

\overset{ˇ}{D类} (单位) = B (单位) - κ (单位) - Φ^{⊤} \{\sum_{j个 = 1}^{d日} ϱ_{j个} (单位)\}, 单位 \in {[0, 1]}^{d日},

具有

ϱ_{j个} (单位) = E类 \{{\dot{R（右）}}^{(j个)} (\tilde{U型}) 1 (\tilde{E类} \leq 单位) | {\tilde{E类}}_{j个} = {单位}_{j个}\}, j个 \in {1, \dots, d日} .

(16)

根据Rémillard中的计算[19]（引理1），一个得到

ϱ = \sum_{j个 = 1}^{d日} ϱ_{j个}

，所以

\overset{ˇ}{D类} = B - κ - Φ^{⊤} ϱ

.因此

E类 \{B (单位) W公司\} = ϱ (单位)

如所述。接下来，因为我们已经知道任何

j个 \in {1, \dots, d日}

,

E类 \{β_{j个} (1, {单位}_{j个}) W公司\} = 0

，因此

E类 \{κ (单位) W公司\} = 0

，对于所有人

单位 \in {[0, 1]}^{d日}

因此，对于任何

单位 \in {[0, 1]}^{d日}

,

E类 \{\overset{ˇ}{D类} (单位) W公司\} = ϱ (单位) - E类 (Φ^{⊤} W公司) ϱ (单位) = 0,

自任何

ϕ_{n个}

在里面第3.3节和第3.4节是的正则估计量直径，暗示着

E类 (Φ {W公司}^{⊤}) = 我

它是根据Genest和Rémillard[18]参数引导适用于

{\overset{ˇ}{D类}}_{n个}

。要完成证明，只需证明

{D类}_{n个} - {\overset{ˇ}{D类}}_{n个} ⇝ 0

为此，请注意

{V（V）}_{我, n个} = {H（H）}_{n个} ({e（电子）}_{我, n个})

，其中

{H（H）}_{n个} = {R（右）}_{{直径}_{n个}} \circ {F类}_{n个}

，所以如果

{H（H）}_{n个} = \sqrt{n个} ({H（H）}_{n个} - H（H）)

，然后

{H（H）}_{n个} ⇝ H（H）

，在哪里，为所有人

j个 \in {1, \dots, d日}

,

\begin{matrix} {H（H）}^{(j个)} (x个) & = & Φ^{⊤} {\dot{R（右）}}^{(j个)} {F类 (x个)} + \sum_{k = 1}^{j个} \partial_{{单位}_{k}} {R（右）}^{(j个)} {F类 (x个)} {F类}_{k} {1, {F类}_{k} ({单位}_{k})} \\ = & {\overset{ˇ}{H（H）}}^{(j个)} + \sum_{k = 1}^{j个} \partial_{{单位}_{k}} {R（右）}^{(j个)} {F类 (x个)} {（f）}_{k} ({x个}_{k}) \{{(Γ_{0} Θ)}_{k} + {x个}_{k} {(Γ_{1 k} Θ)}_{k}\} . \end{matrix}

接下来，针对

我 \in {1, \dots, n个}

,

\begin{matrix} {V（V）}_{j个 我} - {V（V）}_{j个 我, n个} & = & - \frac{{H（H）}_{n个}^{(j个)} ({e（电子）}_{我, n个})}{\sqrt{n个}} + {H（H）}^{(j个)} (ε_{我}) - {H（H）}^{(j个)} ({e（电子）}_{我, n个}) \\ = & - \frac{{H（H）}_{n个}^{(j个)} ({e（电子）}_{我, n个})}{\sqrt{n个}} + \sum_{k = 1}^{j个} \partial_{{单位}_{k}} {R（右）}^{(j个)} ({U型}_{我}) \{{d日}_{k 我, n个} + (γ_{0 我} Θ_{n个} + \sum_{我 = 1}^{d日} ε_{我 我} γ_{1 我 我} Θ_{n个})_{k} / \sqrt{n个}\} . \end{matrix}

然后从定理1的证明中得出

H（H）

古迪和雷米拉德[2]（引理5.1）

{D类}_{n个} - {\overset{ˇ}{D类}}_{n个} ⇝ 0

. □

附录B其他证明

在开始证明之前，以下引理在一些证明中非常有用。

引理 B.1、。

假设C和D以及分布函数

{[0, 1]}^{2}

，所以C是一个copula，D的意思是

1 / 2

对于每个边际分布。然后

\int D类 (单位, v（v）) d日 C类 (单位, v（v）) = \int C类 (单位, v（v）) d日 D类 (单位, v（v）) .

证明。

假设

(U型, V（V）) \sim C类

,

(\tilde{U型}, \tilde{V（V）}) \sim D类

、和

(U型, V（V）)

独立于

(\tilde{U型}, \tilde{V（V）})

然后，因为C类是一个连接词，

P（P） (U型 < \tilde{U型}) = E类 (\tilde{U型}) = 1 / 2

,

P（P） (V（V） < \tilde{V（V）}) = E类 (\tilde{U型}) = 1 / 2

根据假设。因此，

\begin{matrix} \int D类 (单位, v（v）) d日 C类 (单位, v（v）) & = & E类 {D类 (U型, V（V）)} = E类 {1 (\tilde{U型} \leq U型, \tilde{V（V）} \leq V（V）)} \\ = & 1 - P（P） (U型 < \tilde{U型}) - P（P） (V（V） < \tilde{V（V）}) + E类 {1 (U型 < \tilde{U型}, V（V） < \tilde{V（V）})} \\ = & 1 - E类 (\tilde{U型}) - E类 (\tilde{V（V）}) + E类 {C类 (\tilde{U型}, \tilde{V（V）})} \\ = & 1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \int C类 (单位, v（v）) d日 D类 (单位, v（v）) = \int C类 (单位, v（v）) d日 D类 (单位, v（v）) . \end{matrix}

☐

附录B.1。命题1的证明

The convergence of

\sqrt{n个} ({C类}_{n个} - C类)

根据推论2和

(α_{n个}, Φ_{n个})

以下是

α_{n个}

以及第3.3节和第3.4节.使用平滑度

{c（c）}_{ϕ}

，因此

\dot{C类} = \partial_{ϕ} {C类}_{ϕ}

连续且不足

{H（H）}_{0}

,

{P（P）}_{n个} = \sqrt{n个} ({C类}_{n个} - {C类}_{ϕ_{n个}}) = {C类}_{n个} (1, \cdot) - \sqrt{n个} ({C类}_{ϕ_{n个}} - {C类}_{ϕ}) = {C类}_{n个} - {\dot{C类}}^{⊤} Φ_{n个} .

因此，

{A类}_{n个} ⇝ A类 = C类 - {\dot{C类}}^{⊤} Φ = \overset{ˇ}{C类} - {\dot{C类}}^{⊤} Φ

继Genest和Rémillard之后[18]，参数引导方法将起作用，因为

E类 (Φ {W公司}^{⊤}) = 我

，如所示第3.3节和第3.4节. □

附录B.2。命题证明3–6

要证明命题3，请注意

\begin{matrix} \int {C类}_{n个}^{(j个, k)} d日 {C类}_{n个}^{(j个, k)} & = & \int \{{C类}_{n个}^{(j个, k)} - {C类}^{(j个, k)}\} d日 {C类}_{n个}^{(j个, k)} + \int {C类}^{(j个, k)} d日 {C类}_{n个}^{(j个, k)} \\ = & \int \{{C类}_{n个}^{(j个, k)} - {C类}^{(j个, k)}\} d日 {C类}_{n个}^{(j个, k)} + \int {C类}_{n个}^{(j个, k)} d日 {C类}^{(j个, k)}, \end{matrix}

使用引理B.1，因为

{C类}_{n个}^{(j个, k)}

和

{C类}^{(j个, k)}

满足假设。然后

\begin{matrix} {Z轴}_{j个 k, n个}^{K（K）} & = & \sqrt{n个} (τ_{j个 k, n个} - τ_{j个 k}) = 4 \sqrt{n个} \{\int {C类}_{n个}^{(j个, k)} d日 {C类}_{n个}^{(j个, k)} - \int {C类}^{(j个, k)} d日 {C类}^{(j个, k)}\} + {o个}_{P（P）} (1) \\ = & 4 \int {C类}_{n个}^{(j个, k)} d日 {C类}_{n个}^{(j个, k)} + 4 \int {C类}_{n个}^{(j个, k)} d日 {C类}^{(j个, k)} + {o个}_{P（P）} (1) \\ = & 8 \int {C类}_{n个}^{(j个, k)} d日 {C类}_{n个}^{(j个, k)} + {o个}_{P（P）} (1) . \end{matrix}

同样，

\sqrt{n个} ({\overset{ˇ}{τ}}_{j个 k, n个} - τ_{j个 k}) = 8 \int {\overset{ˇ}{C类}}_{n个}^{(j个, k)} d日 {C类}_{n个}^{(j个, k)} + {o个}_{P（P）} (1)

根据推论2，

{C类}_{n个} = {\overset{ˇ}{C类}}_{n个} + {o个}_{P（P）} (1) ⇝ \overset{ˇ}{C类}

，证明了这一点

{Z轴}_{j个 k, n个}^{K（K）}

收敛到

8 \int {C类}^{(j个, k)} d日 {C类}_{n个}^{(j个, k)}

.

接下来，很容易检查

{\hat{C类}}_{n个} (单位) = \frac{1}{\sqrt{n个}} \sum_{我 = 1}^{n个} \{1 ({U型}_{我} \leq 单位) - C类 (单位) - \sum_{j个 = 1}^{d日} 1 ({U型}_{j个 我} \leq {单位}_{j个}) \partial_{{单位}_{j个}} C类 (单位)\}

收敛到

\overset{ˇ}{C类}

因此，对于任何

1 \leq j个 < k \leq d日

,

8 \int {\hat{C类}}_{n个} d日 C类 = \frac{1}{\sqrt{n个}} \sum_{我 = 1}^{n个} \{8 {C类}^{(j个, k)} ({U型}_{j个 我}, {U型}_{k 我}) - 4 {U型}_{j个 我} - 4 {U型}_{k 我} + 2 - 2 τ_{j个 k}\}

收敛到

{Z轴}_{j个 k}^{K（K）}

.

要计算之间的协方差

{Z轴}_{j个 k}^{K（K）}

和

W公司

，请注意

E类 \{\overset{ˇ}{C类} (单位) {W公司}^{⊤}\} = \dot{C类} (单位)

，如果是，则后者为0

{单位}_{j个} = 1

至少

d日 - 1

指数。因此，

E类 ({Z轴}_{j个 k}^{K（K）} W公司) = 8 \int {\dot{C类}}^{(j个, k)} d日 {C类}^{(j个, k)} = \partial_{ϕ} \{τ_{j个 k}\},

使用部件集成，因为

τ_{j个 k} = 4 \int {C类}^{(j个, k)} d日 {C类}^{(j个, k)} - 1

命题4-6的证明类似。值得注意的是，对于这三个估值器，其中一个估值器

\begin{matrix} \sqrt{n个} (ρ_{j个 k, n个} - ρ_{j个 k}) & = & \sqrt{n个} [¦Β {L（左） ({单位}_{j个}) - \bar{L（左）}} {L（左） ({单位}_{k}) - \bar{L（左）}} d日 {C类}_{n个}^{(j个, k)} ({单位}_{j个}, {单位}_{k}) \\ - \int {L（左） ({单位}_{j个}) - \bar{L（左）}} {L（左） ({单位}_{k}) - \bar{L（左）}} d日 {C类}^{(j个, k)} ({单位}_{j个}, {单位}_{k})] + {o个}_{P（P）} (1) \\ = & \int {C类}_{n个}^{(j个, k)} {J型 (x个), J型 (年)} d日 x个 d日 年 + {o个}_{P（P）} (1), \end{matrix}

对于适当的分布函数J型带左连续逆L（左）例如，

J型 = N个

范德瓦尔登，J型是均匀分布

[0, \sqrt{12}]

斯皮尔曼的rho whileJ型是离散随机变量的分布函数，取值为0和2

第页 = 1 / 2

表示Blomqvist系数。

根据Genest和Rémillard的说法[43]和推论2，后者收敛于

\int C类 (j个, k) {J型 (x个), J型 (年)} d日 x个 d日 年 . = \int \overset{ˇ}{C类} (j个, k) {J型 (x个), J型 (年)} d日 x个 d日 年 .

这些表示来自于

{\hat{C类}}_{n个}

到

\overset{ˇ}{C类}

.协方差的证明

W公司

可以用与涉及Kendallτ的方法类似的方式处理。 □

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分享和引用

MDPI和ACS样式

雷米拉德，B。多元时间序列Copula的拟合优度检验
.计量经济学 2017,5, 13.https://doi.org/10.3390/economometrics5010013

AMA风格

雷米拉德B。多元时间序列Copula的拟合优度检验
.计量经济学. 2017; 5(1):13.https://doi.org/10.3390/economometrics5010013

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”计量经济学5，编号1:13。https://doi.org/10.3390/economometrics5010013

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文章菜单

多元时间序列Copula的拟合优度检验

摘要

1.简介

2.残差经验过程的弱收敛性

与Copula相关的经验过程

Copula的半参数估计

3.Copula规范测试

3.1. 基于经验Copula的检验统计量

的参数引导 ${S公司}_{n个}$

3.2. 基于Rosenblatt变换的测试统计

的参数化引导 ${S公司}_{n个}^{(B)}$

3.3. Copula参数的估计

3.3.1. 最大伪似然估计

3.3.2. 两阶段估算

3.4. 基于相关性度量的估计

3.4.1. 肯德尔陶

3.4.2。斯皮尔曼的罗

3.4.3. 范德华登系数

3.4.4. 布洛姆奎斯特系数

3.5. Copula与Rosenblatt转换

4.应用示例

5.结论

致谢

利益冲突

附录A主要结果证明

附录A.1。定理证明1

附录A.2。定理证明2

附录B其他证明

附录B.1。命题1的证明

附录B.2。命题证明3–6

工具书类

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更多信息

指导方针

MDPI计划

遵循MDPI

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多元时间序列Copula的拟合优度检验

摘要

1.简介

2.残差经验过程的弱收敛性

与Copula相关的经验过程

Copula的半参数估计

3.Copula规范测试

3.1. 基于经验Copula的检验统计量

的参数引导 S公司 n个

3.2. 基于Rosenblatt变换的测试统计

的参数化引导 S公司 n个 ( B )

3.3. Copula参数的估计

3.3.1. 最大伪似然估计

3.3.2. 两阶段估算

3.4. 基于相关性度量的估计

3.4.1. 肯德尔陶

3.4.2。斯皮尔曼的罗

3.4.3. 范德华登系数

3.4.4. 布洛姆奎斯特系数

3.5. Copula与Rosenblatt转换

4.应用示例

5.结论

致谢

利益冲突

附录A主要结果证明

附录A.1。定理证明1

附录A.2。定理证明2

附录B其他证明

附录B.1。命题1的证明

附录B.2。命题证明3–6

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的参数引导 ${S公司}_{n个}$

的参数化引导 ${S公司}_{n个}^{(B)}$