1.简介
在实践中经常会出现以下连续离散滤波问题。状态或感兴趣信号的时间演化由连续时间随机过程很好地描述。然而，状态过程不是直接可观察的，即状态过程是一个隐藏的连续时间马尔可夫过程。相反，被测量的是一个相关的离散时间随机过程，称为测量过程。连续离散滤波问题是在给定测量值的情况下估计系统的状态[1]. 当状态和测量过程为线性时，使用卡尔曼滤波器通常可以获得良好的性能[2,3]. 然而，卡尔曼滤波器仅传播条件均值和协方差，因此它不是一个通用的最优滤波器，可能不适用于具有非高斯特性的某些问题（例如，多模态）。当状态和/或测量过程为非线性时，问题的（非唯一）线性化会导致扩展卡尔曼滤波器。如果非线性是良性的，它仍然非常有效。然而，对于一般情况，它不能提供稳健的解决方案。对于更一般的过滤器类，也可以使用简单的解决方案([4])，尽管这仍然是一类有限的过滤问题。 滤波问题的完整解决方案是给定观测值的状态的条件概率密度函数（pdf）。它在贝叶斯意义上是完整的，即它包含关于测量和初始条件中状态过程的所有概率信息。如果初始分布可以是任意的，则该解称为通用解。根据条件概率密度，可以计算出各种准则下的最优量。例如，条件平均值是最小均方估计。
连续离散滤波问题的求解需要解一个线性抛物型偏微分方程（PDE），称为Fokker-Planck-Kolmogorov正方程（FPKfe）。求解FPKfe型方程有三种主要技术，即有限差分法[5,6]，光谱法[7]和有限/谱元方法[8]. 然而，偏微分方程的数值求解并不简单。例如，随着网格尺寸的减小，原始离散化中的误差可能不会消失，也就是说，它可能不会收敛。另一种可能性是，该方法可能不一致，即在离散化间距消失的极限内，它可能倾向于不同的PDE。此外，数值方法可能不稳定，或者可能存在严重的时间步长限制。最后，这些方法受到“维数灾难”的影响，即不可能解决高维问题。 FPKfe的基本解可以用费曼路径积分表示[9]. 路径积分公式可以直接从Langevin方程中导出。有关推导FPKfe基本解的路径积分表示的教科书讨论，对应于加性和乘性噪声情况下的Langevin方程，可参见[10]以及[11]. 本文证明了用最简单的近似路径积分公式可以非常精确地求解非线性连续离散滤波问题。简言之，我们证明了路径积分公式为更新贝叶斯滤波预测步骤中所需的福克-普朗克算子提供了一个简单有效的过程。我们使用基于网格的隐藏状态条件密度近似来证明该公式的实用性。在这种方法中，我们在状态空间中的精细采样网格上显式表示条件概率。这样做的优点是可以积分密度，并在生成数据的未知状态上近似任意的后验分布。 在第2节。回顾了连续离散滤波理论的基本概念。在第3节。总结了加性噪声和乘性噪声情况下的路径积分公式。在第4节。基于路径积分公式，给出了连续离散滤波问题的初等解法。以下部分介绍了一些说明路径积分滤波的示例。关于路径积分滤波的实际实现方面的一些备注，请参见第6节。附录总结了路径积分结果。 2.连续离散滤波理论综述
2.1. 朗之万方程和FPKfe
一般连续状态模型由以下随机微分方程（SDE）描述：在这里和是维列向量，扩散-维尔宾是一个矩阵和是一个维度列向量。噪声过程假设为具有协方差的布朗（或维纳过程）和数量被称为扩散矩阵。术语vielbein暗指相关Fokker-Planck方程中的扩散矩阵可以被视为定义黎曼流形中的度量（在黎曼几何中，度量的平方根被称为vielben（或vierbein），事实证明，在费米子与引力的耦合中，vielbein是必不可少的。）。假设所有功能都足够平滑。方程式1也称为朗之万方程。它被解释为Itósense（参见附录A。). 在本文中，粗体符号表示随机过程，而相应的普通符号表示过程的样本。 让是状态过程的初始概率分布。然后，由朗之万方程描述的状态过程概率分布的演变，由FPKfe描述，即。， 2.2. FPKfe的基本解
FPKfe的解可以写成积分方程。要看到这一点，首先要注意，完整信息在转移概率密度中，它也满足FPKfe，除了函数初始条件。具体来说，让，并考虑以下PDE： 在这里是维Diracδ函数，即。，.这样的解决方案，即。，，也被称为FPKfe的基本解。根据基本解，可以计算任意初始条件下稍后的概率，如下所示：本文假设所有积分都来自到，除非另有规定。因此，为了求解FPKfe，只需求解转移概率密度注意，从初始分布可以是任意的这一意义上来说，此解决方案是通用的。 2.3. 连续离散过滤
本文假设测量模型由以下离散时间随机过程描述：哪里和噪声过程假设为白噪声过程。请注意假设已知。 然后，通用连续离散滤波问题可以解决如下。让初始分布为并在瞬间收集测量值.让是时间的条件概率密度，其中然后是时间的条件概率密度，合并测量值后，通过预测和校正步骤获得：通常（如本文所述），测量模型由加性高斯噪声模型描述，即。，具有即。， 注意，正如在PDE配方中一样，可以使用一组方便的基函数。然后，FPKfe下每个基函数的演化遵循以下方程4由于基函数与测量值无关，因此可以离线进行计算。最后，请注意，此过滤问题的解决方案是通用的。总之，FPKfe基本解的确定等价于广义最优非线性滤波问题的解。用普通积分给出了具有正交扩散矩阵的时间无关情况的解[12]. 然而，被积函数是复杂的，不容易在实践中实现。在下一节中，总结了路径积分一般情况的基本解。结果表明，它产生了易于实现的公式。 3.路径积分公式
本节总结了路径积分公式。假设。有关公式的详细信息总结于附录A。. 3.1. 附加噪声
当扩散向量与状态无关时，即。，如果所有数量均符合第II-C节的定义，则称噪声为加性噪声。跃迁概率密度的路径积分公式由下式给出在那里拉格朗日人定义为和和在这里，指定SDE的离散化（请参见[13]和附录A。详细信息）。数量称为操作。 3.2. 乘法噪声
一般情况下的状态模型如下所示如中所述附录A。，该SDE的定义不明确，因为一般离散化的路径积分公式很复杂，总结如下附录A。在最简单的Itócase中，它简化为在那里拉格朗日人定义为和Itó解释的一个很好的特点是，公式与较简单的加性噪声情况下的公式相同（有一些明显的变化）。 请注意，始终可以从任何意义上定义的SDE（例如Stratanovich或s=0）转换为相应的itóSDE。因此，可以认为这是一般情况下的结果。
4.Dirac-Feynman路径积分滤波
路径积分正式定义为a的极限N个多维积分并得出任意时间步长的正确答案。在本节中，导出了使用路径积分公式最简单近似的连续离散滤波算法，称为Dirac-Feynman近似。
4.1、。Dirac-Feynman近似
首先考虑加性噪声情况。当时间步为无穷小，则路径积分由下式给出拉格朗日人在哪里这导致了小时间步长路径积分的自然近似：一个特例是一步前点近似公式跃迁概率振幅的一步对称近似路径积分公式（Feynman最初在量子力学中使用[9])是哪里和注意，对于显式时间相关的情况，时间也被对称化了，希望它能给出更准确的结果。当然，对于较小的时间步长，如果时间依赖性是良性的，那么使用这个或端点的错误很小。 类似地，对于状态SDE的Itó解释/离散化中的乘法噪声情况，以下近似公式结果：在那里拉格朗日人由给定对于乘性噪声情况，最简单的一步近似是前点离散化，其中:自这意味着我们正在使用状态模型Langevin方程的Itó解释。什么时候？，被称为费曼公约，而对应于Stratanovich解释。 4.2. Dirac-Feynman算法
上一节中讨论的一步公式导致了最简单的路径积分滤波算法，称为Dirac-Feynman（DF）算法。DF算法的步骤可概括如下： 4.3. 实用计算策略
上述基于路径积分公式的Dirac-Feynman近似的通用滤波算法计算网格点的条件概率密度。这在计算上可能非常昂贵，因为栅格点的数量可能非常大，尤其是对于较大的维度。在这里，我们将提供一些近似值，这些近似值大大减少了计算负载。
所利用的最关键的性质是转移概率密度是指数函数。因此，过渡概率张量的许多元素可以忽略不计，其精确数量取决于网格间距。当（用户定义的）“指数小”量简单地设置为零时，可以获得显著的计算节省。例如，对于一维情况网格点，转移概率矩阵为有放置了非常大的存储和计算需求的元素。然而，如果非对角元素小到可以忽略不计，那么只有矩阵元素满足则有效矩阵元素的数量仅为在高维情况下，转移概率密度由稀疏张量近似，这大大节省了内存和计算负载。
下一个关键问题是网格间距。适当的网格间距是对条件概率密度进行充分采样的网格间距。当然，条件概率密度是未知的，但它的有效域（即它是显著的）显然是信号和测量模型漂移和噪声的函数。例如，网格间距应为时间步长中预期状态的变化顺序，对于通用模型来说，这并不总是容易确定的。然而，如果测量噪声较小，则需要更精细的网格间距，以便在精确测量中捕获状态信息。然而，如果测量噪声很大，则即使状态模型噪声很小，也可能不需要使用精细的网格间距，因为测量没有那么大的信息量。或者，如果网格间距与信号模型噪声维尔本项相比过大，则用“有效扩散矩阵”替换扩散矩阵，该矩阵取为网格间距的常数倍，即噪声膨胀。这种额外的近似仍然可以产生有用的结果，如下面的示例所示。
还应注意的是，网格间距是时间步长的函数。这类似于通过离散化求解PDE的情况。因此，当使用一步DF近似时，通过将网格间距减小到较小的值（并以大幅增加处理时间为代价），将不会获得增益。因此，更适合使用多个时间步长近似来获得更准确的结果。
以下是一些实际实施的可能性：用预先确定的固定网格预计算转移概率张量。转移概率密度的指数性质可以大大加快预计算步骤。具体来说，与其从给定点计算到每个网格点，还不如省略对在假定动力学下不太可能到达的最终点的计算。示例中对此进行了说明。对于校正步骤，有两个选项：- （a）
计算所有网格点的校正；
- （b）
仅在预测结果显著的情况下计算校正。
这些选项中的第二个选项用于本文的前两个示例，第一个选项用于第三个示例。 另一种选择是使用聚焦自适应网格，与PDE方法非常相似。具体来说，在每个时间点：- （a）
找出预测步骤结果显著的位置；
- （b）
在状态空间中找到条件概率密度显著的区域，并可能进行插值。对于多模态情况，会有几个不相交的区域；
- （c）
以这些点为初始点计算转移概率张量，并传播到状态模型建议的区域中的点。
因此，网格正在移动。在这种情况下，网格可以比前一种情况精细，尽管这样会失去预计算的计算优势。 使用基函数预计算解决方案。例如，在许多应用中，小波被认为可以提供实践中产生的各种函数的稀疏和紧凑表示。小波基函数的演化可以使用以下等式计算4然后，不用存储转移概率张量，可以存储带有小波基函数的FPKfe解并用于滤波计算。
5.示例
在本节中，给出了两个二维示例和一个四维示例，以说明DF算法的实用性。在这些例子中，信号和测量模型都是非线性的。因此，卡尔曼滤波并不是解决这些问题的可靠方法。采用对称离散化公式。MATLAB软件©Bader和Kolda开发的张量工具箱用于前两个示例中的计算[14,15]. 值得注意的是数学软件©也有稀疏张量对象；数学软件©用于第三个示例。近似技术在中进行了讨论第4.3条。此外，为了加快过渡概率张量的预计算，假设如果即“范围”属于P（P）对于前两个实施例选择为2，对于第三个实施例选择为1。因此，DF算法的这种实现在许多方面都是次优的。 为了进行比较，还包括基于状态模型SDE的欧拉离散化的采样重要性重采样（SIR）粒子滤波器的性能[16,17]. 在粒子滤波仿真中使用了MATLAB工具箱PFLib[18]. 值得注意的是，有几种可能的粒子滤波算法，例如基于局部线性化的算法，可能会产生比标准SIR-PF更好的性能。然而，在一般情况下，性能无法保证。这种比较是公平的，因为假设的模型在这两种情况下都是相同的。 5.1. 示例1
考虑状态模型使用非线性测量模型在这里我们考虑两个值，即和。此示例是在[19]众所周知，扩展卡尔曼在这个模型中是失败的。
图1。条件平均值为测量样本计算。
图1。条件平均值为测量样本计算。
图2。条件平均值为测量样本计算。
图2。条件平均值为测量样本计算。
首先考虑案例。时间步长为时间步长为200。空间间隔被细分为等间隔。信号模型噪声非常小，需要更精细的网格间距。相反，如中所述第4.3条。，有效σ的被认为是具有。初始分布被认为是均匀的。 的条件平均值和绘制于图1和图2图中的标准偏差基于估计的条件概率密度，因此对应于条件离散或精度。RMS误差为0.1180，所用时间为40秒。观察到条件平均值几乎一直在真实状态的标准偏差范围内，这证实了跟踪质量良好。值得注意的是原因可以从图3，绘制状态变量的边际条件概率密度-它是双模的。双模态特性（在很大程度上）是EKF在这种情况下失败的原因。性能与中报告的类似[19]这是使用更复杂的技术和更精细的网格间距获得的。 还使用SIR-PF对该示例进行了研究。使用5000个粒子实现的SIR-PF耗时约155秒，发现RMS误差为即使是在真正的状态下，即初始分布被选择为高斯平均值和方差，其中是单位矩阵。当方差减少到，导致RMS误差仅为因此，SIR-PF的性能关键取决于初始条件。还需要注意的是，国家边际pdf没有双模性在当粒子数为5000时，在SIR-PF模拟中观察到。将粒子数增加到注意到双峰性，尽管RMSE并没有显著减小。
图3。的边际条件概率密度.
图3。的边际条件概率密度.
接下来考虑较大的测量噪声情况。空间间隔被细分为等间距网格点。RMS误差为0.128，所用时间约为110秒。在在这种情况下也很明显（参见图4). 还实施了SIR-PF。当初始化为具有零均值和单位方差的高斯时，SIR-PF的跟踪性能失败；当使用5000个粒子（大约110秒）时，RMSE为25.34。示例性能如所示图5和图6; 很明显，国家跟踪不良。即使使用50000个粒子，一次耗时25分钟的采样也会导致16.53的RMS误差。
图4。的边际条件概率密度对于较大的测量噪声情况。
图4。的边际条件概率密度对于较大的测量噪声情况。
图5。状态的条件平均值使用5000个粒子计算.
图5。状态的条件平均值使用5000个粒子计算.
图6。状态的条件平均值使用5000个粒子计算.
图6。状态的条件平均值使用5000个粒子计算.
5.2. 示例2
考虑状态模型和测量模型在这里是不相关的标准Wiener过程，以及离散化时间步长为0.01。 初始分布为高斯分布，平均值为零，方差为10。图7和图8绘制状态的条件平均值。可以看出，尽管开始时出现了错误，但跟踪还是很好；RMS误差为0.54。间隔均匀划分为62个网格点，跃迁概率张量的范围为2。2000个时间步长大约需要8分钟。 SIR颗粒过滤器也在相同的初始条件下使用5000个颗粒来实现。发现RMS错误为。每次跑步大约需要10分钟。
图7。状态的条件平均值用初始分布计算测量样本.
图7。状态的条件平均值用初始分布计算测量样本.
图8。状态的条件平均值用初始分布计算测量样本.
图8。状态的条件平均值用初始分布计算测量样本.
接下来，考虑的时间步长即，假设只给出了每二十个测量样本。图9和图10显示状态的条件平均值。网格点的数量较小；网格间距选择为前一个实例的两倍。因此，计算工作量较小，只需要大约14秒。值得注意的是，跟踪性能非常好，使用这种近似从条件概率密度估计的误差是可靠的。现在发现RMS误差为0.69，如果忽略前几个误差，则仅为0.31。
图9。状态的条件平均值当测量间隔为.
图9。状态的条件平均值当测量间隔为.
相比之下，使用SIR-PF的错误（2000个粒子需要37秒）失败，RMS错误为（请参见图11和图12对于典型结果）。将粒子数增加到（14分钟的执行时间）没有显著改善情况（RMS误差); 最好将时间步长划分为几个时间步长，然后进行SIR-PF。在本文中，只需注意在这种情况下，单步DF算法在单步SIR-PF失败的情况下成功。
图10。状态的条件平均值当测量间隔为.
图10。状态的条件平均值当测量间隔为.
图11。状态的条件平均值当测量值为秒。
图11。状态的条件平均值当测量值为秒。
图12。状态的条件平均值当测量值为秒。
图12。状态的条件平均值当测量值为秒。
5.3. 示例3
在本节中，我们考虑一个高维的例子——状态模型是四维的注意，状态模型漂移是非线性的。此外，观察到扩散维本不是对角矩阵；事实上，它也是依赖于状态的。最后，请注意模型是完全耦合的，即状态模型漂移和扩散维本不能写成低维对象的直接和。测量模型被选为非线性的: 使用DF算法进行滤波。这个算法中使用了DF拉格朗日方法。为了减少计算负担，网格范围选择为1（而不是2），网格间距设置为5。测量时间间隔为0.5，尽管状态是在较低的时间间隔下模拟的。结果如所示图13值得注意的是，过滤性能相当好。这一点特别有趣，因为PDE实现将更多地涉及到严格的时间步长限制。观察到测量噪音相当大。
图13。使用公式生成的状态样本路径的过滤性能33以及由方程式给出的测量模型34测量时间间隔为0.5。
图13。使用公式生成的状态样本路径的过滤性能33以及由方程式给出的测量模型34测量时间间隔为0.5。
还可以重用预先计算的转移概率张量来解决具有不同测量模型的滤波问题。通过考虑以下测量模型可以说明这一点：案例的结果测量样本的历史记录如所示图14再一次，过滤器性能相当好。由于测量模型不同，滤波输出也不同。 当然，不能对所有测量模型使用相同的转移概率张量，例如那些具有较大的c（c）这是因为随后测量可能性变得更高，此处使用的网格变得过于粗糙，无法进行足够的采样。解决方法是使用更精细的网格计算跃迁概率张量。
图14。使用公式生成的状态样本路径的过滤性能33以及由方程式给出的测量模型35测量时间间隔为0.5。
图14。使用公式生成的状态样本路径的过滤性能33以及由方程式给出的测量模型35测量时间间隔为0.5。
6.附加备注
6.1. 其他评论
值得注意的是，对路径积分公式进行最简单的近似可以得到非常准确的结果。请注意，时间步长很小，但不是无限小。在实际应用中，这种时间步长并非不切实际。
特别值得注意的是，发现SIR-PF并不是研究问题的可靠解决方案。注意，MC类型技术的严格结果假设状态漂移是有界的[20]. 如果情况并非如此，那么SIR-PF就不能保证工作良好。在任何情况下，对于一般的滤波问题，都没有规定收敛到正确解的速度，如[21]; PF需要针对问题进行“调整”，以获得所需的性能水平。事实上，对于离散时间和连续离散滤波问题，使用稀疏张量技术的精心选择的网格也具有出色的性能[22,23]. 显然，对于较小维度的问题，与精心选择的稀疏网格方法相比，通用粒子过滤器将带来显著的计算节省（或性能），这并不是公理。 还可以看到，DF路径积分滤波公式具有简单而清晰的物理解释。具体地说，当信号模型噪声较小时，转移概率仅在满足无噪声方程的轨道附近显著。噪声方差量化了状态可能偏离无噪声轨迹的程度。
可以对本文提出的（概念上，但不一定是计算上）最简单的基于路径积分的滤波方法进行以下额外观察：在通用非线性滤波问题的精确解中，根据条件概率密度计算的标准偏差是滤波器性能的可靠度量。对于像EKF这样的次优方法，情况并非如此，即使状态估计非常好。在所研究的示例中，发现条件标准偏差确实能更可靠地指示滤波器的实际性能。
计算节省的主要来源是注意到转移概率是以指数函数形式给出的。这意味着仅在很小的区域内是不可忽略的，或者转移概率密度张量是稀疏的。稀疏性对于存储和计算速度至关重要。
在所研究的例子中，只应用了最简单的路径积分表达式的一步近似公式。如果本文中使用的公式不够准确，那么可以使用更精确的一步公式来获得更好的结果，这方面还有大量工作要做（例如，请参见[11])。 观察到，用有限维积分近似路径积分可以获得更高的精度（比DF近似）。计算此类积分的最有效方法是使用蒙特卡罗或准蒙特卡罗方法。另一种可能性是使用基于蒙特卡罗的技术计算路径积分[24]. 请注意，这与粒子过滤不同。 观察到，即使使用粗采样，计算出的条件概率密度也是“平滑的”。显然，更精细的空间网格间距（具有相同的时间网格间距）将以更高的计算成本产生基本相同的结果（使用DF近似）。在本文研究的示例中观察到了这一点。当然，多时间步长近似值会更准确。
在中研究的示例中第5.1条。，网格间距大于噪声。由于网格必须能够对概率密度进行采样，因此有效噪声维尔本取为常数（在我们的示例中为1）乘以网格间距，即信号模型噪声项“膨胀”。当然，这意味着结果不如使用较小噪声值的解决方案准确。然而，它仍然可以在显著降低计算工作量的情况下获得可接受的结果（如第一个示例中所示）。 还要注意，条件平均值估计非常好，即网格间距的顺序，即使对于较粗的分辨率也是如此。这证实了这样一种观点，即在网格点计算的条件概率密度非常接近这些网格点的真实值（前提是计算准确）。或者，在较粗网格处，基本解的插值版本接近实际值。这表明，验证近似有效性的一种实用方法是注意统计数据中随网格间距的变化（如条件平均值）是否最小。
还需要注意的是，基于PDE的方法对于一般的二维或多维问题来说要复杂得多。具体地说，非对角扩散矩阵的情况与对角情况相比，使用路径积分方法并不难处理。这与PDE方法形成了鲜明对比，对于高维问题，PDE方法通常基于算子分裂方法。算子分裂方法通常不是可靠的近似方法。
观察到路径积分的一步近似可以存储得更紧凑。跃迁概率密度的紧凑表示，特别是在高斯形式的Itó情况下。即使对于一般情况，来自某个初始点和给定时间步长的跃迁概率浓度也可以存储为几个点，其余的可以通过插值获得。
观察到，通过将计算限制在具有重要条件概率质量的区域（或更准确地说，在重要概率质量区域的联合中），预测步骤计算大大加快和.
值得注意的是，当DF近似用于较大的时间步长时，更粗的网格更合适，这需要更少的计算。因此，准实时实现可以使用具有较大时间步长的粗网格近似来识别条件pdf显著的局部区域，以便进行更精确的计算。
当步长太大时，近似值将不够。事实上，除了在这种情况下，不能保证诉讼的积极性。然而，与某些PDE离散化方案不同，对于案例。例如，由于转移概率密度明显为正，因此始终保持正。值得注意的是，在物理学中，路径积分方法用于计算以下数量和（例如[24]). 由于时间步长的限制，通过对相应的PDE进行简单离散，这是不可能实现的（请注意，隐式格式不够精确）。 对于乘性噪声情况，选择导致拉格朗日量的一种更复杂的形式。一步近似的准确性取决于秒除了第页并且将依赖于模型。
注意，与S-T.Yau和Stephen Yau在[12]对于示例中研究的Dirac-Feynman路径积分公式，所获得的误差没有严格的界限。众所周知，对于一大类问题，连续路径积分公式收敛到正确的解[25]. 研究表明，费曼路径积分滤波技术也为一般连续非线性滤波问题带来了新的见解和可靠实用的算法[26,27]. 在某些情况下，基本解可以精确计算。特别是，非线性滤波和欧几里德量子力学之间存在等价性，可以利用它们来获得对任意时间步长有效的精确基本解[28]. 在这种情况下，唯一的近似是稀疏网格积分。
6.2. 限制
尽管文中给出的示例中所提出的DF算法具有很好的性能，但重要的是要注意各种缺点： 很明显，即使使用稀疏张量，DF算法也不能应用于大维问题。
然而，值得注意的是，DF算法的核心基于费曼路径积分公式，该公式已被严格证明是正确的[25]. 这与其他一些次优算法（例如基于分析或统计线性化和/或条件pdf形式的高斯假设的算法）形成对比。 6.3. 一些相关工作
以前的工作可以看作是路径积分和作用在滤波中的应用（例如[29]以及[30]). 从本质上讲，它是从注意到状态模型的欧拉近似直接导致DF近似。 在这篇文章中，我们主要关注基于网格的后验表示。然而，还有其他方法以不同的方式合并DF近似，可以解决DF算法在解决更大维滤波问题时的缺点。
另一种有趣的替代方法是变分滤波，它通过在广义运动坐标下对拉格朗日函数进行梯度下降的粒子的样本密度来表示该密度，同时通过标准韦纳涨落进行离散。事实上，变分滤波通过将校正步骤中的隐式似然项吸收到拉格朗日函数中（参见[31]以及[32]详细信息）。一种称为动态期望最大化的相关方案假设条件密度为高斯分布[33]. 这意味着估计模态的轨迹就足够了，它对应于静止作用的路径。这提供了一个计算效率很高的方案，但不能表示自由形式或多模密度。 正如在[31]与粒子滤波相比，变分滤波为非线性滤波问题提供了更稳健的解决方案。由于它也是基于费曼路径积分结果，并且比提出的基于网格的DF算法计算效率更高，因此它可能是许多实际应用中的选择算法。 基于状态和测量模型的可能性形成的作用的另一种方法在[34,35]. 严格来说，它们不进行滤波，这需要额外的步骤来计算转移概率密度和积分；他们只是从状态和测量模型的可能性形成的（负的）作用的指数中取样。然而，令人鼓舞的是，使用标准蒙特卡罗方法获得了非常好的性能，即可以有效地生成接近实际状态的样本。 7.结论
本文提出了一种解决连续离散滤波问题的新方法。它基于费曼路径积分，该积分在理论物理的许多领域都取得了惊人的成功。路径积分方法在量子场论中的应用也给纯数学的大领域带来了惊人的见解。路径积分方法已被证明可以深入了解连续离散滤波问题的解决方案，具有潜在的实用意义。特别是，通过非平凡的例子证明，由路径积分公式建议的最简单近似可以得到滤波问题的非常准确的解决方案。所提出的Dirac-Feynman路径积分滤波算法非常简单，易于实现，并且对于中等规模的问题（如目标跟踪应用中的问题）非常实用。从实时实现的角度来看，这些公式也特别适用，因为它使我们能够将计算重点放在具有显著概率质量的域上。此外，DF算法的核心，即转移概率密度的路径积分公式的DF近似，构成了其他优雅且可能更具计算效率的算法的基础，如变分滤波。基于路径积分的滤波算法在跟踪问题中的应用，特别是那些在状态模型中具有显著非线性的问题，将在后续论文中进行研究。
