动态k个-分数阶动力学方程的Struve Sumudu解

摘要

在本研究中，我们研究了分数阶动力学方程的解，其中包括k个-使用Sumudu变换的Struve函数。有关解决方案的图形解释k个-给出了Struve函数及其与广义Bessel函数的比较。该方法和结果可以考虑并应用于数学物理中各种相关的分数问题。

1介绍

Struve函数\（H_{\nu}（x）\）由赫尔曼·斯特鲁夫于1882年提出，定义为\（\nu\in\mathbb{C}\）通过

$$H_{\nu}（x）：=\sum_{r=0}^{\infty}\frac{（-1）^{r}}{\Gamma$$

(1)

是非齐次贝塞尔微分方程的特定解，由

$$x美元^{2} 年^{{{prime\prime}}（x）+xy{^{prime}（x）+bigl（x^{2}-{\nu}^{2}\biger）y（x）=\压裂{4（\frac{x}{2}）^{\nu+1}{\sqrt{\pi}\Gamma（\nu+1/2）}$$

(2)

同构版本的(2)具有第一类贝塞尔函数，表示为\（J_{nu}（x）\），对于解，在\（x=0），何时ν是一个正分数和所有整数[1]，而对于负分数，它们倾向于发散νStruve函数出现在物理和应用数学的某些领域，例如在水波和表面波问题中[2,三]以及非定常空气动力学问题[4]. Struve函数在自旋退相干的粒子量子动力学研究中也很重要[5]和纳米管[6]. 关于Struve函数、它们的推广和性质的更多细节，尊敬的读者可以考虑参考文献[7–16]. 最近，Nisar等人[17]介绍并研究了k个-Struve函数\（\mathtt{宋体}_{\nu，c}^{\mathtt{k}}\）由定义

$$\mathtt美元{宋体}_{\nu，c}^{\mathtt{k}}（x）：=\sum_{r=0}^{\frity}\frac{（-c）^{r}}{\Gamma_{\mathtt{k{}}r+\frac{\nu}{\mathtt{k}}+1}$$

(3)

Watugala引入了Sumudu变换（参见[18,19])。有关Sumudu变换的更多详细信息，请参见([1,20–31])。函数集上的Sumudu变换

$$A=\bigl\{f（t）\mid\存在~M，\tau_{1}，\tau_2}>0，\bigl\ vert f（t$$

由定义

$$G（u）=S\bigl[f（t）；u\bigr]=\int_{0}^{\infty}f（ut）e^{-t}\，dt，\quad u\in（-\tau_{1}，\tau_}）$$

(4)

的Sumudu变换k个-Struve函数由下式给出

$$\开始{对齐}S\bigl[\mathtt{宋体}_｛\nu，c｝^｛\mathtt｛k｝｝（x）\bigr]&=\int_｛0｝^｛\infty｝e^｛-t｝\mathtt{宋体}_{\nu，c}^{\mathtt{k}}（ut）\，dt\\&=\int_{0}^{\fnty}e^{-t}\sum_{r=0}^}\infty}\frac{（-c）^{r}}{\Gamma{\mathtt{k{}}}\biggl（\frac{ut}{2}\bigr）^{2r+\frac}\nu}{\mathtt{k}}+1}\，dt\\&=\sum_{r=0}^{\infty}\frac_2（-c）+\nu+\frac{3\mathtt{k}}{2}）\Gamma（r+\frac{3}{2{）}\int_{0}^{\infty}e^{-t}\biggl（\frac}ut{2}\bigr）（\frac{\nu}{\mathtt{k}}+2r+2）}{\Gamma{\mathtt{k{}}（r\mathtt{k}+\nu+\frac{3\mathtt-{k}{2}）\Gamma（r+\frac}3}{2{）}\biggl（\frac{u}{2neneneep）^{\frac{\nu}{\mathtt{k}}+1+2r}。\结束{对齐}$$

(5)

现在，使用

$$开始{aligned}\Gamma_{\mathtt{k}}（\Gamma）={\mathtt{k{}}^{\frac{\Gamma}{\mathttp{k}{-1}\Gamma\biggl（\frac}\Gamma{k}}\biggr），结束{aligned}$$

（6）

我们有以下几点：

$$\开始{对齐}S\bigl[\mathtt{宋体}_{\nu，c}^{\mathtt{k}}（x）\bigr]=\sum_{r=0}^{\frity}\frac{（-c）^{r}\Gamma{\mathtt{k}}+\frac{3}{2}）\Gamma（r+\frac{3}}{2{）}\biggl（\frac}u}{2neneneep \biggr）^{\frac\\nu}{\mathtt{k{}}+1+2r}。\结束{对齐}$$

(7)

通过表示左侧\（G（u）\），我们有

$$\开始{对齐}G（u）&=S\bigl[\mathtt{宋体}_{nu，c}^{mathtt{k}}（t）；u\bigr]\\&=\biggl（\frac{u}{2}\biggr）^{\frac{nu}{\mathtt{k}}+1}k^{-\frac{1}{2}-\frac{\nu}{\mathtt{k}}{}_2}\Psi{2}\left[\textstyle\begin{array}{c}（\frac{\nu}{\mathtt{k}}+2,2），（1,1）\\（\frac{\nu}{\methtt{k}}+\frac{3}{2}，1），（\frac{3}{2}，1）\end{array}\ displaystyle\bigg|-\frac{cu^{2}}{4\mathtt{k}}\right]。\结束{对齐}$$

(8)

现在，使用公式

$$S^{-1}\bigl\{u^{v}；t\bigr\}=\frac{t^{v-1}}{\Gamma（v）}，\qquad\Re（v）>1$$

(9)

我们得到了的逆Sumudu变换k个-Struve函数为

$$\开始{对齐}S^{-1}\bigl[\mathtt{宋体}_{\nu，c}^{\mathtt{k}}（x）\bigr]&=S^{-1}\Biggl[\sum_{r=0}^{\frity}\frac{（-c）^{r}}{\Gamma_{\mathtt{k{}}{u}{2}\biggr）^{\frac{\nu}{\mathtt{k}}+1+2r}\biggr]\\&=\sum_{r=0}^{\infty}\frac}（-c）\Gamma（r+\frac{3}{2}）}\biggl（\frac{1}{2{biggr）^{\frac{nu}{\mathtt{k}}+1+2r}S^{-1}\bigl[u^{\frac{nu}}{\mathtt{k}}+1%2r}\bigr]\\&=\sum_{r=0}^{\infty}\frac}（-c）^{r}（\frac）c{1}{2}）^{\frac{\nu}{\mathtt{k}}+1+2r}}{\Gamma{\mathtt{k{}}（r\mathtt{k}+\nu+\frac{3\mathtt1{k}{2{）\Gamma{\mathtt{k}}+2r}}{\Gamma（\frac{\nu}{\mathtt{k{}+1+2r）}。\结束{对齐}$$

(10)

正在应用(6)英寸(10)，我们得到

$$S^｛-1｝\bigl[\mathtt{宋体}_{\nu，c}^{\mathtt{k}}（x）\bigr]=\biggl（\frac{t}{2}\biggr）{2}-\frac{\nu}{\mathtt{k}}{}_1}\Psi{3}\left[\textstyle\begin{array}{c}（1,1）\\（\frac{\nu}{\mathtt{k}}+\frac}3}{2}，1），（\frac{3}{2}，一），（\ frac{c{ct^{2}}{4\mathtt{k}}\right]$$

(11)

在数学领域，许多技术被用来解决各种类型的问题[32–34]. 本文利用Sumudu变换技术，通过考虑(三). 分数阶微积分的应用在许多论文中都有发现（参见[35–37])，引起了各个领域研究人员的关注[38–46]因为它的重要性和效率。Haubold和Mathai建立并处理了化学反应或生产方案之间的分数微分方程（例如在生死过程中）[47]（另请参见[21,38,48]).

2广义分数阶动力学方程的解k个-Struve函数

让任意反应用与时间有关的量来描述\（N=（N_{t}）\）.变化率\（\压裂{dN}{dt}\）是破坏率之间的平衡\（\mathfrak｛d｝\）和生产率\（\mathfrak{p}\）也就是说，\（\frac{dN}{dt}=-\mathfrak{d}+\mathfrak{p}\）一般来说，破坏和生产取决于数量N本身，即，

$$\frac{dN}{dt}=-\mathfrak{d}（N_{t}）+\mathfrak{p}（N_{t{）$$

(12)

哪里\（N_{t}\）由描述\（N_｛t｝（t^｛\ast｝）=N（t-t^｛\ast｝），t^｛\ast｝>0\）.另一种形式的(12)是

$$\frac{dN_{i}}{dt}=-c_{i} N个_{i} （t）$$

(13)

具有\（N_{i}（t=0）=N_{0}\），即物种密度我时间\（t=0）和\（c{i}>0\）.解决方案(13)是

$$N_{i}（t）=N_{0}e^{-c_{i} t吨}. $$

(14)

正在集成(13)给予

$$N（t）-N_{0}=-c\cdot{}_{0}D_{t}（t）^{-1}牛顿（t）$$

(15)

哪里\({}_{0}D_{t} ^{-1}\）是Riemann-Liouville积分算子的特例c是一个常数。的分数形式(15)由于[47]是

$$N（t）-N_{0}=-c_{0{^{\upsilon}D_{t}^{-\upsillon}N（t$$

(16)

哪里\({}_{0}D_{t} ^{-\upsilon}\）定义为

$$ _｛0｝D_{t} ^{-\upsilon}f（t）=\frac{1}{\Gamma（\upsillon）}\int_{0}^{t}（t-s）^{\upsilon-1}f（s）\，ds，\quad\Re（\upsilon）>0$$

(17)

假设\（f（t）\）是（时间）变量的实函数或复值函数\（t>0）s是实参数或复参数。拉普拉斯变换\（f（t）\）由定义

$$F（p）=L\bigl[F（t）：p\bigr]=\int_{0}^{\infty}e^{-pt}f（t），dt，quad\Re（p）>0$$

(18)

Mittag-Lefler函数\（E_{\rho}（z）\）（请参见[49])和\（E_{\rho，\lambda}（x）\）[50]分别定义如下：

$$E_{\rho}（z）=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{n}}{\Gamma（\rhon+1）}\quad\bigl（z，\rho\in\mathbb{C}；\vertz\vert<0，\Re（\rro）>0\bigr）$$

(19)

$$E_{\rho，\lambda}（x）=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{\Gamma（\rho+\lambda）}\quad\bigl$$

(20)

定理1

如果 \（d>0，\nu>0，\mu，c，t\in\mathbb{c}\） 和 \（\mu>-\frac{3}{2}\mathtt{k}\）,那么广义分数阶动力学方程的解

$$N（t）=N_{0}~\mathtt{宋体}_｛\mu，c｝^｛\mathtt｛k｝｝\bigl（d^｛\nu｝t^｛\nu｝\bigr）-d^｛\nu｝\text｛｝_{0}D_{t} ^{-\nu}N（t）$$

(21)

由以下公式给出:

$$\开始{对齐}N（t）&=N_{0}\sum_{r=0}^{\infty}\frac{（-c）^{r}\Gamma[\nu（2r+\frac}\mu}{\mathtt{k}}+1）+1]}{\Gamma{\mathtt{k{}}（r\mathtt}+\mu+\frac{3}{2}\matht{k}）\Gamma（r+\frac{3}{2}）}\frac{1}{t}\biggl（\frac{d^{nu}t^{nu{2}\bigr）^{2r+\frac{mu}{mathtt{k}}+1}\\&\quad\timesE_{nu，\nu（2r+\frac}\mu}{\mathtt{k}}）+1}\bigl（-d^{nu}t^{nu{bigr），\end{aligned}$$

(22)

哪里 \（E_{\nu，\nu（2r+\frac{\mu}{\mathtt{k}}）+1}（-d^{\nu}t^{）\） 在中给出(20).

证明

Riemann-Liouville分数阶积分算子的Sumudu变换由下式给出

$$\开始{aligned}S\bigl\{}_{0}D_{t} ^{-\nu}f（t）；u\bigr\}=u^{\nu}G（u），\end{对齐}$$

(23)

哪里\（G（u）\）定义于(8). 现在，将Sumudu变换应用于(21)并应用k个-中给出的Struve函数(三)，我们有

$$\开始{对齐}N^{*}（u）&=S\bigl[N（t）；u\bigr]\\&=N_{0}秒\bigl[\mathtt{宋体}_{\mu，c}^{\mathtt{k}}\bigl（d^{\nu}t^{\nu}\bigr）；u\bigr]-d^{\nu}S\bigl[{}_{0}D_{t} ^{-\nu}N（t）；u\bigr]\\&=N_{0}\Biggl[\int_{0{^{\infty}e^{-pt}\sum_{r=0}^{\infty}\frac{（-c）^{r}}{\Gamma_{\mathtt{k}}（r\mathtt}+\mu+\frac}{3}{2}\mathtt{k}）\Gamma（r+\frac{3}{2}）}\Biggl（\fra c{d^{\nu}（ut）^{\nu}}{2}\biggr）^{2r+\frac{\mu}{\mathtt{k}}+1}\，dt\biggr]\\&\quare{}-d^{\nu}u^{\u}N^{*}（u），\end{aligned}$$

(24)

哪里

$$\开始{aligned}S\bigl\{t^{mu-1}\bigr\}=u^{mu-1}\Gamma（\mu）。\结束{对齐}$$

(25)

通过重新安排条款，我们得到

$$\开始{对齐}和N^{*}（u）+d^{\nu}u^{\nu}N^{*.}（u）\\&\quad=N_{0}\sum_{r=0}^{\infty}\frac{（-c）^{r}}{\Gamma{\mathtt{k}}（r\mathtt}+\mu+\frac}{3}{2}\matht{k}）\Gamma（r+\frac{3}}{2}）}\biggl（\frac{d^{nu}}{2}\biggr）^{2r+\frac}\mu}{\mathtt{k}}+1}\\&\quad\quad{}\times\int_{0}^{\infty}e^{-t}（ut）^{（2r+\frac{\mu}{\mathtt{k}+1）}\，dt\\&\quad=N_{0}\sum_{r=0}^{\infty}\frac}（-c）^{r}\Gamma[\nu{2}\mathtt{k}）\Gamma（r+\frac{3}{2}）}\biggl（\frac{u^{nu}d^{nu{}{2{biggr）^{2r+\frac{mu}{\mathtt{k}}+1}。\结束{对齐}$$

因此

$$\开始{对齐}N^{*}（u）&=N_{0}\sum_{r=0}^{\infty}\frac{（-c）^{r}\Gamma[\nu（2r+\frac{\mu}{\mathtt{}k}+1）+1]}{\Gamma{\mathtt{k}}c{3}{2}）}\biggl（\frac{d^{nu}{2{biggr）^{2r+\frac}\mu}{\mathtt{k}}+1}\\&\times\biggl\{u^{nu（2r+\frac{mu}{mathtt}k}}+1）}\sum_{N=0}^{\infty}\bigl[-（du）^{\nu}\bigr]^{n}\Biggr\}。\结束{对齐}$$

（26）

求逆Sumudu变换(26)和通过使用

$$\开始{对齐}S^{-1}\bigl\{u^{nu}；t\bigr\}=\frac{t^{\nu-1}}{\Gamma（\nu）}，\quad\Re（\nu）>0，\end{aligned}$$

(27)

我们有

$$\开始{对齐}S^{-1}\bigl\{N^{*}（u）\bigr\}&=N_{0}\sum_{r=0}^{\infty}\frac{（-c）^{r}\Gamma[\nu（2r+\frac}{\mu}{\mathtt{}k}+1）+1]}{\Gamma_{\mathtt{k}}（r\mathtt{k}+\mu+\frac{3}{2}\mathtt{k}）\Gamma（r+\frac{3}{2}）}\biggl（\frac{d^{nu}}{2{biggr）^{2r+\frac{mu}{mathtt}}+1}\\&\quad\times S^{-1}\biggl\{\sum_{N=0}^{infty}（-1）^{n}（d）^{nun}u^{nu（2r+\frac{\mu}{\mathtt{k}}+n+1）}\Biggr\}，\end{aligned}$$

它给出了

$$\开始{对齐}N（t）&=N_{0}\sum_{r=0}^{\infty}\frac{（-c）^{r}\Gamma[\nu（2r+\frac}\mu}{\mathtt{k}}+1）+1]}{\Gamma{\mathtt{k{}}（r\mathtt}+\mu+\frac{3}{2}\matht{k}）\Gamma（r+\frac{3}{2}）}\biggl（\frac{d^{nu}}{2}\bigr）^{2r+\frac}\mu}{\mathtt{k}}+1}\\&\quad{}\times\biggl\{sum_{N=0}^{infty}（-1）^{N}（d）^{nun}\frac｛t^｛\nu（2r+\frac｛\mu｝｛\mathtt｛k｝+n+1）-1｝｝｛\Gamma[\nu（2r+\frac｛\mu｝｛\mathtt｛k｝+n+1）]｝\Biggr\｝\&=n_｛0｝\sum_｛r=0｝^｛\infty｝\frac｛（-c）^｛r｝\Gamma[\nu（2r+\frac｛\mu｝｛\mathtt｛k｝+1）+1｝｛k｝｝（r\mathtt｛k｝+\mu+\frac｛3｝｛2｝\mathtt｛k｝）\Gamma（r+\frac｛3｝｛2｝）｝\frac｛1｝｛t｝\biggl（\frac｛d^｛\nu｝t^｛\nu｝}{2} \biggr）^{2r+\frac{\mu}{\mathtt{k}}+1}\\&\quad{}\times\Biggl\{\sum_{n=0}^{\infty}（-1）^{n}（d）0}\sum_{r=0}^{\infty}\frac{（-c）^{r}\Gamma[\nu\矩阵{k}）\Gamma（r+\frac{3}{2}）}\frac}{t}\biggl（\fracneneneeg d^{nu}t^{nu{2}\bigr）^{2r+\frac{mu}{\mathtt{k}}+1}\\&\quad\times E_{nu，\nu（2r+\frac{mu}{mathtt}k}}）+1}\bigl（-d^{\nu}t^{\nu}\bigr），\end{对齐}$$

这是期望的结果。 □

推论1

如果我们把 \（\mathtt{k}=1\） 在里面(22),然后我们得到包含经典Struve函数的解，如下所示:如果 \（d>0，\nu>0，\mu，c，t\in\mathbb{c}\） 和 \（\mu>-\frac{3}{2}\）,然后是方程式

$$N（t）=N_{0}~\mathtt{宋体}_｛\mu，c｝^｛1｝\bigl（d^｛\nu｝t^｛\nu｝\bigr）-d^｛\nu｝\text｛｝_{0}D_{t} ^{-\nu}N（t）$$

(28)

有解决方案

$$\开始{对齐}N（t）&=N_{0}\sum_{r=0}^{\infty}\frac{（-c）^{r}\Gamma[\nu（2r+\mu+1）+1]}{\Gamma（r+\mo+\frac}3}{2}）\Gamma（r+\frac{3}{2]）}\frac{1}\biggl}\biggr）^{2r+\mu+1}\\&\quad{}\乘以E_{nu，\nu（2r+\ mu）+1}\bigl（-d^{nu}t^{\nu}\bigr）。\结束{对齐}$$

(29)

定理2

如果 \（\mathfrak{a}>0，d>0，nu>0，c，\mu，t\in\mathbb{c}，\mathfrak{a}\neq d\） 和 \（\mu>-\frac{3}{2}\mathtt{k}\）,然后方程的解

$$N（t）=N_{0}~\mathtt{宋体}_{\mu，c}^{\mathtt{k}}\bigl（{d}^{nu}t^{nu}\biger）-{\mathfrak{a}}^{nu{text{}_{0}D_{t} ^{-\nu}N（t）$$

(30)

由提供

$$\开始{对齐}N（t）&=N_{0}\sum_{r=0}^{\infty}\frac{（-c）^{r}\Gamma[\nu（2r+\frac}\mu}{\mathtt{k}}+1）+1]}{\Gamma{\mathtt{k{}}（r\mathtt}+\mu+\frac{3}{2}\matht{k}）\Gamma（r+\frac{3}{2}）}\frac{1}{t}\biggl（\frac{d^{nu}t^{nu{2}\bigr）^{2r+\frac{mu}{mathtt{k}}+1}\\&\四{}\times E_{nu，\nu（2r+\frac}\mu}{\mathtt{k}}）+1}\bigl（-{\mathfrak{a}}^{\nu}t^{\nu}\bigr），\end{aligned}$$

(31)

哪里 \（E_{\nu，\nu（2r+\frac{\mu}{\mathtt{k}}）+1}（\cdot）\） 在中给出(20).

证明

定理2可以与定理证明并行证明1因此，省略了证明的细节。 □

推论2

通过放置 \（\mathtt{k}=1\） 在定理中 2,我们得到了包含经典Struve函数的分数阶动力学方程的解:如果 \（\mathfrak{a}>0，d>0，nu>0，c，\mu，t\in\mathbb{c}，\mathfrak{a}\neq d\） 和 \（\mu>-\frac{3}{2}\）,然后是方程式

$$N（t）=N_{0}~\mathtt{宋体}_｛\mu，c｝^｛1｝\bigl（｛d｝^｛\nu｝t^｛\nu｝\bigr）-｛\mathfrak｛a｝｝^｛\nu｝\text｛｝_{0}D_{t} ^{-\nu}N（t）$$

(32)

由以下公式给出:

$$\开始{对齐}N（t）&=N_{0}\sum_{r=0}^{\infty}\frac{（-c）^{r}\Gamma[\nu（2r+\mu+1）+1]}{\Gamma（r+\mo+\frac}3}{2}）\Gamma（r+\frac{3}{2]）}\frac{1}\biggl}\biggr）^{2r+\mu+1}E_{nu，\nu（2r+\ mu）+1}\bigl（-{\mathfrak{a}}^{\ nu}t^{\nu}\bigr）。\结束{对齐}$$

(33)

定理3

如果 \（d>0，\nu>0，c，\mu，t\in\mathbb{c}\） 和 \（\mu>-\frac{3}{2}\mathtt{k}\）,然后解决

$$N（t）=N_{0}~\mathtt{宋体}_{\mu，c}^{\mathtt{k}}\bigl（t^{nu}\biger）-d^{nu{}{}_{0}D_{t} ^{-\nu}N（t）$$

(34)

由提供

$$\begin｛aligned｝N（t）&=N_｛0｝\sum_｛r＝0｝^｛infty｝\frac｛（-c）^｛r｝\Gamma[\nu（2r+\frac｛\mu｝｛\mathtt｛k｝+1）+1]｝t｝｛2｝\biggr）^｛2r+\frac｛\mu｝｛\mathtt｛k｝｝+1｝\&&\fquad｛｝\times E_｛\nu，\nu（2r+\frac｛\mu｝｛\mathtt｛k｝｝）+1} \bigl（-{{d}}^{nu}t^{nu}\bigr），\end{aligned}$$

(35)

哪里 \（E_{\nu，\nu（2r+\frac{\mu}{\mathtt{k}}）+1}（\cdot）\） 在中给出(20).

证明

定理的证明三与定理平行1. □

推论3

如果我们设置 \（\mathtt{k}=1\）,然后(35)减少如下:如果 \（d>0，\nu>0，c，\mu，t\in\mathbb{c}\） 和 \（\mu>-\frac{3}{2}\）,然后求解以下方程

$$N（t）=N_{0}~\mathtt{宋体}_{\mu，c}^{1}\bigl（t^{\nu}\bigr）-d^{\nu}{}_{0}D_{t} ^{-\nu}N（t）$$

(36)

由公式给出

$$\开始{对齐}N（t）&=N_{0}\sum_{r=0}^{\infty}\frac{（-c）^{r}\Gamma[\nu（2r+\mu+1）+1]}{\Gamma（r+\mo+\frac}{3}{2}）\Gamma（r+\frac{3}}{2{）}\frac{1}\biggl（\frac{t}{2neneneep）^{2r+\ mu+1}\\&\quad{}\乘以E_{nu，\nu（2r+\mu）+1}\bigl（-{{d}}^{\nu}t^{nu}\bigr）。\结束{对齐}$$

(37)

三图形解释

在本节中，首先我们绘制分数动力学方程的解的图形，该方程在(22). 在每个图中，我们在为参数分配不同值的基础上给出了结果的三个解。在图中1，我们采取\（\mathtt{k}=1\）和\（nu=0.5,0.7,0.9,1,1.5\）类似地，图2,三分别通过以下方式绘制\（\mathtt{k}=2\）和3。数字4,5,6通过考虑(35)通过采取\（nu=0.5,0.7,0.9,1,1.5\）和\（\mathtt{k}=1,2,3\）。除ν和k个，所有其他参数均固定为1。观察这些数字，我们可以看到\（N{（t）}>0\）对于\（t>0）并且可以非常容易地研究和观察不同参数和时间间隔的解的行为。在本研究中，我们选择了Mittag-Lefler函数的前50项和我们解的前50项来绘制图形。此外，涉及广义贝塞尔函数（实线绿线）和k-Struve函数（虚线红线）的广义分数阶动力学方程的解之间的比较如图所示7.

图1

解决方案( 22 )对于 \（\pmb{N（t），\mathtt{k}=1}\） .

图2

解决方案( 22 )对于 \（\pmb{N（t），\mathtt{k}=2}\） .

图3

解决方案( 22 )对于 \（\pmb{N（t），\mathtt{k}=3}\） .

图4

解决方案( 35 )对于 \（\pmb{N（t），\mathtt{k}=1}\） .

图5

解决方案( 35 )对于 \（\pmb{N（t），\mathtt{k}=2}\） .

图6

解决方案( 35 )对于 \（\pmb{N（t），\mathtt{k}=3}\） .

图7

解决方案之间的比较( 22 )和第（18）页，共页[ 51 ].

4结论

在这项工作中，我们建立了包含k个-借助Sumudu变换构造函数并提供其图形解释。从k个-用其他特殊函数构造函数，可以很容易地构造各种已知的和新的分数阶动力学方程。