通过考虑分数白噪声测度下的Fokker-Planck型方程，研究了相关噪声对动力系统的影响，该方程对应于分数布朗运动驱动的随机微分方程，具有Hurst参数首先，通过构造分数白噪声框架，证明了一个小噪声极限定理，它为随机解轨道与相应确定性轨道的偏差提供了一个估计。其次，通过数值实验研究了作为Hurst参数的两个特殊动力系统的概率密度演化变化。观察到概率密度函数的某些行为。
1.简介
金融、生物、物理或地球物理科学产生的动力系统经常受到随机影响。这些随机影响可以用各种随机过程建模，例如布朗运动、勒维运动或分数布朗运动。分数布朗运动,，在概率空间中，带有Hurst参数，是平均值为零的连续高斯过程，从零开始，具有以下相关函数：特别是，当这只是标准的布朗运动。分数布朗运动的时间导数，作为一个广义随机过程，具有非劣相关性[1,2]因此，它被称为相关噪声或有色噪声。在特殊情况下，此噪声是不相关的，因此称为白噪声[三]。某些地球物理系统建模中出现相关噪声[4–6].
对于分数布朗运动及其随机演算的系统讨论，我们参考[7–12]以及其中的参考文献。分数布朗运动具有平稳增量，且Hölder连续，指数小于，但它们不再是半鞅，甚至不再是马尔科夫。它们还具有一些其他重要特性，如长程相关性和自相似性，因此在水文、电信和数学金融等领域得到了广泛的应用。在过去十年左右的时间里，发展了几个关于分数布朗运动的合理随机积分。例如，林[13]，Duncan等人[14]Decreusefond和U stunel[15]以及其中提及的参考文献。由分数布朗运动驱动的随机微分方程（SDE）最近也受到了更多的关注[1,10,16–18].
本文考虑以下标量随机微分方程（SDE）：漂流的地方是上的Lipschitz连续函数,是噪声强度，是分数布朗运动，和初始状态值假设独立于天然过滤。由于该系统具有独特的解决方案[17,19]，这里我们打算了解相关噪声对作为Hurst参数的加性动力系统的一些影响变化。
本文的结构如下。在节中2我们建立了一个分数阶白噪声分析框架，将相关噪声作为标准白噪声的泛函，并证明了一个小噪声极限定理，该定理暗示了系统相对于噪声强度的随机连续性。在节中三，我们证明了满足关于分数白噪声测度的Fokker-Planck型偏微分方程。然后，我们通过数值实验来检验作为Hurst参数的概率密度演化变化。对于一个线性系统和一个双井系统，观察到概率密度函数的某些行为。
2.分析框架和小噪声限值
2.1. 分析框架
白噪声框架是一种自然灵活的随机分析思路，分数白噪声分析将相关噪声作为标准白噪声的泛函。这种方法在研究随机过程的分布和路径特性方面非常有效。在下文中，我们描述了分数白噪声分析框架。
让是上的快速递减光滑函数的Schwartz空间和回火分布的空间。并表示为上的对偶。对于，定义哪里是β函数；,,.
引理1。对于，让那么，对于,也就是说，是的双重映射.
现在我们只能证明线性映射从开始连续到.自不是连续的到（即使在)，我们无法从中获取双地图到通过二元性。通过使用Itós正则化定理，我们构造了一个唯一的-有值随机变量这样的话它延伸了地图鉴于(5).
定理2。让是对由图T导出。然后，对于任何，分布在下面与相同在下面特别是，是具有赫斯特常数的分数布朗运动此外，哪里是标准的布朗运动。（见中的证明[20].)
让和是由以下因素产生的过滤和分别是。然后，鉴于(8)，我们有(1)，对于所有人;(2)对于任何,美国。，其中因此，过滤后的概率空间是的扩展因此，关于测量的随机分析可以自然地降低到标准白噪声框架。因此，我们选择标准白噪声测量作为参考措施，而不是，这种处理方法更有用，应用更方便。有关更多详细信息，请参阅[20]以及其中的参考。
2.2。小噪音限制
现在，我们考虑SDE(2)在分数白噪声框架中并研究噪声对确定性动力系统的影响在任何有限时间间隔上都是可解的。我们得到了以下结果。
定理3。解决方案第页，共页(2)概率收敛于解第页，共页(10)在任何有限时间间隔上一致.
证明。首先，我们将方程式改写为然后，通过假设Lipschitz条件Lipschitz常数根据Gronwall不等式因此，对于任何足够小的，我们有当在最后一步中，我们使用了分数布朗运动的自相似性
该定理提供了随机解轨道与相应确定性轨道偏差的估计。请注意在上述定理中，对应于分数白噪声测度。从今往后，我们接受所有期望关于分数白噪声度量（即，为了简单起见，我们省略了下标上述）。
3.概率密度演化
对于SDE，例如(2)，解的概率密度函数携带重要的动力学信息。本文通过研究分数阶Fokker-Planck型方程来考虑这一点。推导Fokker-Planck型方程的关键步骤是在分数白噪声分析框架下应用Ito公式计算分数布朗运动驱动的SDE[1,10,16,20,21]。我们在这里简述了推导过程。
根据伊藤的公式[10]，定理6.3.6，对于二阶可微函数凭借紧凑的支持，我们对双方都抱有期望让是解的概率密度函数系统的(2). 回想一下; 通过部件集成和在，我们获得也就是说，在下文中，我们对两种特殊情况下的偏微分方程进行了数值模拟：和，噪声强度有限（为了简单起见，我们取). 通过这两种特殊情况，我们期望说明相关噪声对作为Hurst参数的加性动力系统的影响变化。
这里，我们在Matlab中执行流行的Crank-Nicolson方案(17)边界值为零；，网格大小为0.05，总网格点数为801，时间步长为0.01。初始概率密度函数取标准正态分布；也就是说，.
由于系统是三对角的，我们可以使用托马斯算法有效地求解它。此外，对于其他初始条件和其他漂移系数，例如，初始均匀分布或，该方法同样适用。
3.1. 数值模拟：
我们首先模拟概率密度函数的动力学演化对应的随机微分方程(2)双井漂移，对于各种值。双井动力学是一个丰富而典型的模型，用于理解许多物理或地球物理系统[22,23]，关注最大值（最小值）、对称性、峰度等。
如图所示1，概率密度函数对于各种Hurst参数值，从单峰（单峰）到平顶，再到双峰（双峰）形状，作为时间增加。同时，赫斯特参数的影响对动力学的研究意义重大。作为价值增加当时间超过.
3.2. 数值模拟：
现在，为了进行比较，我们研究了概率密度函数的动态演化对应的随机微分方程(2)具有线性漂移，这是一个理解动力学系统的丰富的玩具示例。
如图所示2，在给定的时间瞬间，的峰值随着增加。这说明了赫斯特参数的显著影响关于时间的动力学进化。更大的制定解决方案第页，共页(2)具有更集中的价值，但长期效应表明解决方案的价值更分散地分布。
利益冲突
作者声明，本论文的出版不存在利益冲突。
确认
李楚金感谢对HUST2013QN171自修复项目的支持。
