本文研究了安装有中心质量的非线性曲面板的响应频率转换特性和声辐射。建立了一组耦合的控制微分方程，用于产生非线性振动响应，并用于计算相应的辐射声。根据激励水平绘制了振动、声级和反对称与对称模态响应之比，并与一组实验数据进行了比较。从振动响应的频谱分析了其变频特性。
1.简介
过去几十年来，人们对各种非线性振动/振荡系统进行了研究[1–15]. 一些研究人员特别研究非线性弯曲/屈曲梁/板。Nayfeh和Mook的工作中详细讨论了两自由度梁-马系统的二次非线性响应[16]Schmidt和Tondl[17]. 此外，之前的一些研究[18,19]结果表明，由于二次非线性，曲面板的非线性反对称模态响应可以对称激发。结果发现，主响应频率远低于激励频率。然而，目前对非线性结构声辐射的研究较少。在本研究中，进一步详细研究了非线性弯曲面板振动的响应频率转换特性和声辐射。为了观察频率转换特性，必须将面板的第一对称和反对称模式的共振频率调得彼此接近。根据中记录的实验经验[20]，在面板表面增加质量可以更容易地在特定范围内调谐弯曲面板的共振频率。这就是为什么在本研究中考虑了中心质量并将其安装在面板上。
2.方法
图1显示了一个简单支撑的曲面板，该面板安装有一个受谐波激励的中心质量。假设沿宽度的弯曲弯曲被忽略。因此，将结构简化为梁式面板。中心质量受均布简谐压力作用的弯曲结构的控制微分方程[19]由提供哪里是面板弯曲引起的横向位移；和是横向位移相对于时间的一阶和二阶导数;、和是横向位移相对于空间变量的一阶、二阶和四阶导数;是初始横向位移；是中心的横向位移；是杨氏模量；是材料密度；是阻尼系数；是=横截面积；是宽度；为厚度；是长度；是;是中心质量；是狄拉克δ函数；是激励频率；是励磁参数；重力是9.81 毫秒−2横向位移用振型表示，并由下式给出哪里是th模式；是正弦函数模式形状（即。);是模式编号；是考虑的模式数（本研究仅考虑前三种模式）。根据[21]，利用单模方法可以精确地获得非线性同位素简支梁/板的共振频率。因此(2.1)可以很容易地简化为一个Duffing方程，该方程已经用各种方法求解（例如变分法[2]，哈密顿方法[三,4]，椭圆积分法[8]，谐波平衡法[8]，数值积分方法[18,19]等）。附录中显示了获得Duffing方程共振频率的程序。
通过替换可以找到残差(2.2)到(2.1)然后乘以，相对于梁长度积分，并将其设置为零。生成一组加权残差微分方程（参见(2.3)-(2.4)). 这些微分方程可以使用龙格-库塔数值积分进行求解，以获得模态响应哪里、和是第个振型，和是模式编号。，其中是模态阻尼系数然后，从th模式可以使用中采用的辐射效率公式进行计算[22,23]. 以下两个公式是[22]快速计算：哪里,=空气中的声速。
实验装置，与[19]，包含一块厚度为0.5的弯曲钢板 mm，弧长310 mm，宽度350 mm（见图2). 它的安装中心质量为20 g.第一对称和反对称模共振频率为和 分别为Hz（即。). 请注意，该结构并非完全由简单支撑。弧形面板由振动台正弦激励。使用放置在,、和另一个加速度计用于监测振动台的动态响应。
3.结果和讨论
在图中3（a），根据激励参数绘制相对总振动级，弯曲面板的尺寸与实验装置中的尺寸相同。模态阻尼系数等于.中心质量也等于20 g.通过调整曲率或初始中心偏转，将第一对称模式和反对称模式的共振频率之比调整为2。以下情况下的振动级( 毫米)归一化为零。在所有情况下，总振动级均单调增加。激励频率等于第一模式的共振频率。一般来说，面板越薄，振动水平越高。图3（b）显示了图中标记的点A的频谱3（a）可以看出，主振型（第一个反对称振型）的响应频率远低于激励频率（只有一半！）。这种现象被描述为“高频激励输入-低频响应输出”。第一和第二对称模式的响应频率与激励频率相同，但第一对称模态和第二对称模态的模态振幅远低于第一反对称模态（即使激励和结构是对称的）。在图中3（c），三种情况下的相对总辐射声级相对于归一化激励进行了绘制。实线的声级呈指数递减且几乎恒定。虚线的音量呈指数下降，底部周围，并缓慢增加类似地，虚线的声级在以下情况下呈指数下降，底部周围，并缓慢增加发现尽管实线的声级最高，相应的振动水平总是最低的；相反，虚线的声级最高，相应的振动水平总是最高的。这是因为第一个反对称模的辐射效率远低于其他模，因此总的声辐射较小。
图4（a）显示了谐振频率比率未调谐为2的其他3种情况。在这3种情况下不考虑中心质量。最薄梁的振动水平单调下降。对于图中的其他两种情况4（a），振动级从至0.02，峰值约为到0.03，然后降低至0.2。图4（b）显示了图中标记的点B的频谱4（a）可以看出，第一个反对称模式并不像图中的模式那样占主导地位3（b）这是因为共振频率的比率没有调到2。第一对称模态和反对称模态的振动级几乎相等，远高于第二对称模态。在图中4（c），图中三种情况的相对总辐射声级4（a）根据标准化激励绘制。虚线的音量呈指数下降。实线和虚线的音量在增加，峰值约为，并减少.实线的音量较低和更高的分别比虚线的要多。我们发现，尽管虚线的声级最低，相应的振动水平始终是图中最高的4（a）; 相反，破折号和虚线的音量更高，相应的振动水平始终低于实线的振动水平。此外，图中每种情况的振动水平4（a）始终高于图中相同厚度的外壳3（a）这是因为谐振频率比没有被调谐到2。向反对称模态传递的能量越小，整体振动越高。
图5显示了不同共振频率比下反对称模与对称模振动水平的比值。可以看出，如果共振频率比接近2，则反对称模态振动水平较高。当共振频率比等于或接近2时，反对称模态振动水平相对于激励水平增加，周围为峰值，并减少当共振频率比远离2时，反对称模态振动水平相对于激励水平单调增加。实验数据是使用谐振频率比接近2的曲面板获得的。结果表明，实验反对称模态振动水平随激励水平单调增加；它只与共振比为1.66的理论情况吻合得很好。由于面板不是完全简单支撑和对称的，这将导致较小的能量传递到反对称模式。因此，实验数据看起来像谐振频率比未调谐为2的情况。
4.结论
研究了安装在中心质量上的非线性曲面板及其声辐射。结果表明，如果共振频率比大于2，且激励与结构对称，则需要较高的激励水平才能诱发反对称模态振动。在频谱中，可以看出，在某些研究案例中，主振型（第一个反对称振型）的响应频率远低于激励频率。这可以被视为“高频激励输入-低频响应输出”。此外，由于反对称模式的辐射效率远低于其他模式，因此整体声辐射要小得多。
附录
谐波平衡法
在先前的研究中，采用谐波平衡法求解代表梁的大振幅自由振动的Duffing方程，结果与椭圆解吻合良好[24]. 因此，此处选择该方法。如上所述，采用了单模方法。然后(2.3)可以简化为以下形式：哪里,、和是线性、二次、三次非线性模态系数，取决于质量、初始挠度、线性刚度、非线性刚度和模态贡献因子；是模式编号。
假设非线性系统的解为傅里叶级数形式：哪里等等是谐波分量的振幅；是初始振幅；是谐振频率。
例如，在(A.2款). 输出二次项和三次项的傅里叶展开英寸(A.1款)当保留2个谐波分量时，可以表示为哪里替换(A.2款)进入(A.1款)将与每个谐波分量相关联的系数等式得出如下3个方程：有四个方程式(答3), (答6)还有四个未知数因此谐振频率，可以找到。
哈密顿方法
如果初始中心偏移，英寸(2.3)（即，它是一个平板）(A.1款)可以以下列形式重写：哈密顿方法现在用于求解(A.1款)以获得共振频率。
哈密顿量(答7)可以很容易地获得，它读取正在集成(答8)关于从0到产量考虑解决方案可以表示为并将其替换为(答9)如下：根据[三,4]，设置通过求解(A.11节)，唯一未知的由提供
致谢
本文所述的工作得到了中国香港研究资助委员会的资助[项目编号9041496（CityU 116209）]。作者谨对WY Poon博士、CF Ng博士和CK Hui女士的实验硬件调试和数据采集表示衷心感谢和赞赏。
