迈克尔·F·阿提亚。;歌手Isadore Manuel 椭圆算子的指数。一、。 （英语、俄语） Zbl 0164.24001号 安。数学。(2) 87, 484-530 (1968); 俄语翻译（Usp）。Mat.Nauk 23，第5号（143），99-142（1968）。 书中Atiyah-Singer指数定理的早期证明R.S.宫殿【Atiyah-Singer指数定理研讨会。由M.F.Atiyah、A.Borel、E.E.Floyd、R.T.Seeley、W.Shih和R.Solovay贡献。新泽西州普林斯顿：普林斯顿大学出版社（1965，Zbl 0137.17002号)]使用了配体理论，并在这方面模仿了评论家对Riemann-Roch定理的证明【代数几何中的新拓扑方法】。Berlin-Gottinge-Heidelberg:Springer-Verlag（1956；Zbl 0070.16302号)]. 这一证明不适用于某些推广（例如在等变情况下），因为相应的协边理论未知。本文的指数定理包括等变情况：假设紧致李群（G）在紧致可微流形（X）上可微操作，使得该作用与线性椭圆问题（X）相容。那么这个椭圆问题的指数就是表示环（R（G））的一个元素。在最简单的情况下，椭圆问题由椭圆线性方程组给出微分算子\（D:C^\infty（E）\到C^\infty（F）\），其中\（E\），\（F\）是\（X\）上的复向量丛。小组\（G\）操作内核和\（D\）的cokernel。因此我们有两个（G）的有限维表示。作为元素的两种表示的差异（R（G））是椭圆问题的指数。这种符号椭圆问题如果忘记了\（G\）-动作，则是\（K（BX，SX）\）的元素。（适用于符号见Palais书评。cit.）如果给出\（G\）-动作，则必须使用等变\（K\）理论，符号是\（K_G（BX，SX）\）的元素。作者将局部紧空间的\（K\）和\（K_6\）定义为相应的约化群空间的单点压缩。有了这样的理解，我们\（K_G（BX，SX）=K_G切线束。使用“足够的算子”（伪微分算子）与同伦属性，其中确保索引仅依赖于作者定义的符号分析的索引\（a\text{-ind}:K_G（TX）\到R（G）\）。这是一个同态of \（R（G）\）-模块正定义椭圆问题的指数等于的性质\（a \）-ind它的符号。中的\（R（G）\）-同态\（t\text{-ind}:K_G（TX）\到R（G拓扑项在§3中给出。“指数定理”是主要定理第6.7页，共页本文认为，（a）-ind和拓扑指数（t）-ind是一致的。对于定义\（t\）-ind并用于研究\（a \）-ind和\（t \）-id的属性以下结构是基本的。假设\（X，Y\）为\带（X\子集Y\）的（G\）-流形和\（X\）紧凑。则\（TX\subet TY\）和\（TX\subet TY\）的正规丛\（W\）等于\（N\oplus N\）提升至\（TX\），其中\（N\）是\（Y\）中\（X\）的正常束。由于\（N\oplus N\）具有复杂的结构，（W）也是如此。（W\）外幂的德拉姆复形可以张量为（TX\）上任意向量丛复形的张量，该复形在（TX_）中具有紧支撑。结果是一个紧支集上的veetor丛复合体，因为de Rham复合体在0部分（W）之外被规范化了。通过这种方法，我们得到了一个同态（K_G（TX）到K_ G（W））。由于\（W\）可以被看作\（TY\）中\（TX\）的管状邻域，并且由于\（TY\）的一点紧化映射到\（W\）的一点紧化上，我们有一个同态\（K_G（W）\到K_G（TY）\）。组成是一个\（R（G）\）-同态\（i_！：K_G（TX）\到K_G[TY）\），其中\（i:X\到Y\）表示嵌入。（当然，在这篇综述中省略了许多细节。使用外部幂的交替和的构造出现在Atiyah和其他人的一些早期论文中。）为了定义紧可微流形（X）的（t）-ind，我们将（X）嵌入到（G）的实表示空间（E）中。这总是可能的[R.S.宫殿，J.数学。机械。6, 73–678 (1957;Zbl 0086.02603号)]. 设（i）为嵌入。我们有\（i_！：K_G（TX）\至K_ G（TE）\）。在原点（P）嵌入（j）到（E）的情况下，我们得到了（j_！：K_G（TP）=K_G。这是Bott周期性定理等变形式的一个特殊形式[M.F.Atiyah先生{它是D.W.Anderson}，K理论。重印M.F.Atiyah：K理论中的功率操作。纽约-阿姆斯特丹：W.A.Benjamin，Inc.（1967；Zbl 0159.53302号);M.F.Atiyah先生，Q.J.数学。，牛津大学。二、。序列号。19, 113–140 (1968;Zbl 0159.53501号)]. \（t\）-ind由\（j_！\cdot（t\text{-ind}）=i_！\）定义。作者表明，定义与嵌入的选择无关\（t\）-ind是如果（X）是点（A1），则为（R（G）的恒等式\[\开始{矩阵}K_G（TX）和\重叠{i_！}\右箭头和K_G\underset{t\text{-ind}}{\qquad\searrow}&&&R（G）结束{矩阵}标记{A2}\]用（X，Y）紧（G）流形对任何包含的（i:X\到Y\）进行交换。如果我们对每个紧致可微流形\（X\）具有\（R（G）\）-同态\（K_G（TX）@>\text｛ind｝>R（G）\），则给出了索引函数ind。如果这样的索引函数ind满足（A1）和（A2），那么\（\text{ind}=t\text{ind}\）（命题4.1）。对于分析指数（A1）是微不足道的。为了证明主要定理，必须检查公理（A2）的分析指标。这并不容易，因为对于带有符号\（\gamma（D）\）的运算符\（D\）和\（X\），我们必须在\（Y\）上构造一个带有符号\。这个结构是主要定理证明的基本分析部分。“一旦完成了这一点，我们就可以将\（Y\）视为一个球体，并且将一般指数定理简化为球体上的算子的情况。对于这些问题，问题很容易解决。”在这一点上，人们认识到整个证明“至少在精神上”与Grothendieck对黎曼-罗奇定理的证明有很多共同之处。由于很难直接验证（A2），因此证明了某些公理（B1）、（B2”）和（B3）对任何指数函数都暗示（A2）。在§8中，证明了分析指数的公理（B1）和公理（B2“）；在§9中证明了公理（B3）。（B3）的一个特例是，如果取两个带椭圆问题的G流形的笛卡尔积，则指数函数的行为。在这种情况下，分析指数表现为乘法性。（B3）将此乘法性质推广到可微纤维束。在这种情况下，“沿纤维的指数”束在裸纤维上可能并不简单，基本上进入配方。（B1）是一个消去公理：设（U）是一（非紧）（G）-流形和（j:U到X），（j'：U到X’）两个开的嵌入到紧流形中。然后，下图进行了转换。\[\开始{矩阵}&&K_G（TX）\\&\overset{j^*}{\；\nearrow}&&\overs{\text{ind}}{\searrow\；\；}\\K_G\]观察到\（TX）和\（TX'）的单点压缩映射到\（TU）的单点压缩。通过这些映射，可以导出（j^*）和（j^{prime*}）。通过以下方法观察分析指数的切除特性R.T.西利【美国数学学会翻译117167-204（1965；Zbl 0135.37102号)]. 公理（B2“）是关于\（S^1\）和\（S^2\）上某些算子的规范化公理。关于其他球体上的运算符的信息通过使用消去和乘法性质来获得。分析指数本质性质（A2）的证明思路由作者勾勒如下（§1）：设（i:X~ Y~）是紧流形的包含（我们忘记了G作用）。设（U）是（X）的管状邻域，（Z）是它的双重邻域。然后，删除属性（B1）表明\（operatorname{ind}i_！A=\operatorname{ind}k_！A\）其中\（A\ in（TX）\）和\（k:X\ to Z\）是双精度数中的包含\（Z）通过球体在（X）上纤维。乘法属性和球体上的信息给出了所需的结果\（\operatorname{ind}i_！A=\operator name{ind{A\）。本文包含大量分析。伪微分算子理论（Hörmander，Kohn-Nirenberg，Seeley）对于拥有“足够的算子”来实现（K_G（TX））的所有元素作为符号并进行所有构造至关重要。本文利用拓扑项（由K理论定义的拓扑指数）“计算”分析指数。在接下来的论文II和III中，这个拓扑指数将分两步进行解释。在II中，拓扑指数表示为\（G\）的不动点集。这是在K理论中完成的。它导出了一个一般的“Lefschetz不动点定理”，其中\（G\）的元素的不动点集是子流形的不相交并集。对于孤立的不动点，这包含在M.F.Atiyah先生和R.博特【Ann.Math.（2）86374–407（1967年；Zbl 0161.43201号)]，关于具有孤立单不动点的可微映射（g）的一个定理，其中（g）不必是可逆的。在第三章中，用上同调术语重新表述了结果。如果\（G\）是恒等式，这给出了其众所周知的上同调形式的指数定理（Palais，loc.cit.）。一般来说，它给出了不动点定理的上同调形式。审核人：弗里德里希·赫泽布鲁（波恩） 页码：24/35−5 −4 −3 −2 −1 ±0 +1 +2 +3 +4 +5 显示扫描页面 引用于14评论引用于327文件 MSC公司： 58J20型 流形上的指数理论及相关不动点定理 关键词：拓扑 引文：Zbl 0137.17002号;Zbl 0070.16302号;Zbl 0086.02603号;Zbl 0159.53302号;Zbl 0159.53501号;Zbl 0135.37102号;Zbl 0161.43201号 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{M.F.Atiyah}和\textit{I.M.Singer}，Ann.数学。（2） 87、484--530（1968年；Zbl 0164.24001） 全文： 内政部 链接