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算术函数

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算术函数,也称为整数函数或数论函数,是一个函数
 (n)
为所有人定义正整数
n
,通常被认为复杂的-valued(Jones and Jones 1998,第143页);;一些作者(Atanassov 1985;Trott 2004,第28页)在非标准意义上使用这个术语来描述函数
ψ (n)
s、 t。
ψ (+n)  = ψ (ψ () +ψ (n))

ψ (n)  = ψ (ψ ()ψ (n)).

本页的其余部分使用这个定义。

乘法和加法函数

函数
 (n)
  • 完全加性如果
     (+n) = () + (n)
    对于所有正整数
    n
    ;
  • 完全乘法如果
     (n) = () (n)
    对于所有正整数
    n
    .
两个正整数
n
被称为互质如果他们最大公约数1如果没有质数然后是一个算术函数
 (n)
  • 添加剂如果
     (+n) = () + (n)
    所有互质正整数
    n
    ;
  • 乘法如果
     (n) = () (n)
    所有互质正整数
    n
    .

求和函数

给定一个算术函数
 (n)
,其求和函数
A ()
定义为
A ()  :=
⌊  
n  = 1
   (n)
.
A ()
可以看作是一个实变量的函数
x
. 给定一个正整数
,
A ()
沿开放间隔是恒定的
<<+1
,并且有一个跳跃间断每一个整数
 () 
.

因为这些函数通常用系列以及积分,为了实现点态收敛,通常将不连续点处的值定义为左、右值的平均值

A0()  :=
1
 2
n  <  
n  <  
  
 (n) +
n  ≤  
n  ≤  
  
 (n)
 = A () −  
1
 2
 ().
算术函数的单个值可能会有很大的波动,如上面大多数例子所示。求和函数“平滑”了这些波动。在某些情况下,可能会发现渐近行为对于大的求和函数
.

工具书类

  • 阿塔那索夫,K。,一种算术函数及其一些应用。牛。数字Th。相关主题9,18–27,1985年。
  • 琼斯,G.A.和琼斯,J.M。,算术函数。第八章初等数论。柏林:Springer Verlag,第143-1621998页。