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算术函数

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算术函数也称为整数函数或数论函数,是一个函数。
()N
为所有定义正整数
N
,通常被认为是复杂的值(琼斯和琼斯1998,第143页)。一些作者(Atasasov 1985;TROTT 2004,P 28)在非标准意义下使用这个术语来描述函数。
γ()N
S.T.

这个页面的剩余部分使用这个定义。

乘性与加性函数

算术函数
()N
  • 完全添加剂如果
    ()γ+N=()“+”()N
    对于所有正整数
    N
  • 完全乘法如果
    ()=()()N
    对于所有正整数
    N
两个正整数
N
被称为互质如果他们最大公约数是1;也就是说,如果没有质数这两种方法都是分开的。
()N
  • 添加剂如果
    ()γ+N=()“+”()N
    关于所有互质正整数
    N
  • 乘法的如果
    ()γN=()()N
    关于所有互质正整数
    N
    .

刺激功能

给定算术函数
()N
它的刺激功能
()X
定义为
()X
可以看作实变量的函数
X
. 给定正整数
()X
沿开区间是恒定的
<X<+ 1
并且有一个跳跃不连续性在每个整数上
()0)
.

因为这样的函数通常表示为系列和积分,为了实现逐点收敛,通常将间断点的值定义为向左和向右的值的平均值。

算术函数的单个值可能波动很大,如上述大多数例子一样。刺激功能“平滑”这些波动。在某些情况下,有可能找到渐近性态关于大容量的功能
X
.

推荐信

  • Atanassov,K.,一个算术函数及其应用。公牛。号码TH。相关主题9,18-27,1985。
  • 琼斯,G. A.和琼斯,J. M.,算术函数。初等数论中的CH 8。柏林:Springer Verlag,第143-162页,1998。