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完全非自相似路径:分析:Longest CNSAPs

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在由不同维度的矩形所限定的正方形格子中最长的CNSAPS的长度。

让L2(a,b)表示对于a和b的不同值的最长CNSAPS的长度,矩形的尺寸。

经验发现的L2(a,b)值见下表:

a  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
 b
 2     3  5  6  8  9 11 12 14 15 17 18 20 21 23 24 26 27 29 30 32 33 35 36 38
 3     5  7  9 11 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 52
 4     6  9 11 14 17 20 22 25 28 30 33 36 38 41 44 46 49 52 54
 5     8 11 14 17 21 24 27 30 34 37 40 43 46 49 52
 6     9 14 17 21 24 29 32 36 40 44 47 51
 7    11 16 20 24 29 33 38 42 46 50
 8    12 18 22 27 32 38 42 48 52
 9    14 20 25 30 36 42 48 53 58
10    15 22 28 34 40 46 52 58 64
11    17 24 30 37 44 50
12    18 26 33 40 47
13    20 28 36 43 51
14    21 30 38 46
15    23 32 41 49
16    24 34 44 52
17    26 36 46
18    27 38 49
19    29 40 52
20    30 42 54
21    32 44
22    33 46
23    35 48
24    36 50
25    38 52

注意,L2(a,b)已在所有起始节点上计算,除了L2(10,9)和L2(10,10)。L2(10,9)=58,起始节点0, 1, 2,3, 4, 10,20, 30, 40,一组完整的非对称晶格边界节点。L2(10,10)的运行没有完成。

让SL2(n)=和(L2(a,b))对于所有A,B::a+b= n),即每个反对角线上的值之和。

nSL2(n)D1 D2,4,3,5,10,7,6,19,9,2,7,34,34,15,15,α,α,α,α,β,ε,ε,ε,ε,β,34,7,34,34,15,μ,15,15,π,ε,β,ε,β,34,7,34,15,π,ε,β,ε,ε,β,34,7,34,34,15,π,β,ε,β,ε,β,34,7,34,34,15,π,β,ε,β,ε,ε,ε,β,34,7,34,34,15,μ,15,15,π,μ,15,34,15,π,μ,15,34,15,π

第一个差异表,L2(A,B)-L2(A-1,B):

a  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
 b
 2     2  1  2  1  2  1  2  1  2  1  2  1  2  1  2  1  2  1  2  1  2  1  2
 3     2  2  2  3  2  2  2  2  2  2  2  2  2  2  2  2  2  2  2  2  2  2  2
 4     3  2  3  3  3  2  3  3  2  3  3  2  3  3  2  3  3  2
 5     3  3  3  4  3  3  3  4  3  3  3  3  3  3
 6     5  3  4  3  5  3  4  4  4  3  4
 7     5  4  4  5  4  5  4  4  4
 8     6  4  5  5  6  4  6  4
 9     6  5  5  6  6  6  5  5
10     7  6  6  6  6  6  6  6
11     7  6  7  7  6
12     8  7  7  7
13     8  8  7  8
14     9  8  8
15     9  9  8
16    10 10  8
17    10 10
18    11 11
19    11 12
20    12 12
21    12
22    13
23    13
24    14
25    14

领先对角线差异表,L2(A,B)-L2(A-1,B-1)。

a  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
 b
 3     4  4  5  6  7  7  8  8  9  9 10 10 11 11 12 12 13 13 14 14 15 15 16
 4     4  4  5  6  6  6  7  8  8  9 10 10 11 12 12 13 14 14
 5     5  5  6  7  7  7  8  9  9 10 10 10 11 11
 6     6  6  7  7  8  8  9 10 10 10 11
 7     7  6  7  8  9  9 10 10 10
 8     7  6  7  8  9  9 10 10
 9     8  7  8  9 10 10 11 10
10     8  8  9 10 10 10 10 11
11     9  8  9 10 10
12     9  9 10 10
13    10 10 10 11
14    10 10 10
15    11 11 11
16    11 12 11
17    12 12
18    12 13
19    13 14
20    13 14
21    14
22    14
23    15
24    15
25    16

领先的对角线差(D)的频率(f)。

D F 4,4,5,4,6,9,7,13,8,14,9,16,16,不完整。

反对角差绝对值表,L2(A-1,B)-L2(A,B-1)。

a  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
 b
 3     0  1  1  2  3  4  4  5  5  6  6  7  7  8  8  9  9 10 10 11 11 12 12
 4     1  0  0  0  1  2  2  3  4  4  5  6  6  7  8  8  9 10 10
 5     1  0  0  0  1  2  2  2  4  4  4  5  5  5  6
 6     2  0  0  0  0  2  2  2  3  4  4  5
 7     3  1  1  0  0  1  2  2  2  3
 8     4  2  2  2  1  0  0  2  2
 9     4  2  2  2  2  0  0  1
10     5  3  2  2  2  2  1  0
11     5  4  4  3  2  2
12     6  4  4  4  3
13     6  5  4  4
14     7  6  5  5
15     7  6  5
16     8  7  5
17     8  8  6
18     9  8
19     9  9
20    10 10
21    10 10
22    11
23    11
24    12
25    12

反对角线差(D)绝对值的频率(f)。

f随a和b增加。

D F 0,18,1,12,2,28,3,8

每个对角线上的对角线差异的绝对值之和。

在A和B的所有值上,让SAD(n)=和L2(A-1,B)-L2(A,B-1)>A+B=n,其中A>3,B>3,然后L2(CEIL(n/2),Lead(n/2))=L2(n-2,2)+SAD(n)/2。

n SAD(n)/2 D1 L2(n-2,2)L2(CEIL(n/2),Lead(n/2)),4,3,3,5,0,0,5,5,6,5,α,α,α,α,α,β,ε,0,5,5,5,6,5,α,α,α,α,β,ε,0,5,5,5,6,π,α,α,α,α,α,β,ε,5,5,5,5,6,6,π,α,α,α,α,β,π,ε,5,0,5,5,6,6,π,α,α,α,α,β,ε,β,5,5,5,5,6,6,π,α,α,α,β,π,β,π,β,π,α,α,α,β,π,α,α,β,π,n,4,3,3,5,0,0,5,5,6,6,α,α,α,α,α,β,π,ε,β,5,5,5,5,6,6,π,α,α,β,π,π,π,π,π,π,π,α,π,π,α,β,π,α,β,π,α,α,π,α,β,π,n,4,3,3,5,0,0,5,5

这表明序列可能继续:

19,33,4,26,59,58是正确的,20,37,4,27,64,64是下界。

其中n==7的第一个差(d1)具有序列:一个0,两个1,三个2,四个3,五个4,六个5,六个等。

1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5…CeIL((SRT(1+8n)- 1)/2)。CIEL((SRT(1 +8N)- 1)/2)-1。作为起始节点0, 1, 2、3, 4, 10、20, 30, 40和L2(10,10)=64的起始节点0的L2(10,9)=58,可以推测,SAD(n)/2近似等于和(CEIL((RSRT(1+1(K -x))-y)/y)-y,k=α,n)+y,n>=α。

L2(A,B)的上界似乎是CEIL(3AB/4)。

L2(A,B)抗CELL表(3AB/4)。

a  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
 b
 2     3  5  6  8  9 11 12 14 15 17 18 20 21 23 24 26 27 29 30 32 33 35 36 38     L2(a,2) = ceil(3a/2)
       3  5  6  8  9 11 12 14 15 17 18 20 21 23 24 26 27 29 30 32 33 35 36 38     ceil(3a/2)

 3     5  7  9 11 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 52     L2(a,3) = 2(a + 1), a > 5
       5  7  9 12 14 16 18 21 23 25 27 30 32 34 36 39 41 43 45 48 50 52 54 57     ceil(9a/4)

 4     6  9 11 14 17 20 22 25 28 30 33 36 38 41 44 46 49 52 54                    L2(a,4) = ceil(3a) - floor((a - 2)/3), a > 4
       6  9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 48 51 54 57 60                    ceil(3a) = 3a

 5     8 11 14 17 21 24 27 30 34 37 40 43 46 49 52                                L2(a,5) = 3(a + 1) + 1, a > 9
       8 12 15 19 23 27 30 34 38 42 45 49 53 57 60                                ceil(15a/4)

 6     9 14 17 21 24 29 32 36 40 44 47 51                                         L2(a,6)
       9 14 18 23 27 32 36 41 45 50 54 59                                         ceil(9a/2)

 7    11 16 20 24 29 33 38 42 46 50
      11 16 21 27 32 37 42 48 53 58

 8    12 18 22 27 32 38 42 48 52
      12 18 24 30 36 42 48 54 60

 9    14 20 25 30 36 42 48 53 58
      14 21 27 34 41 48 54 61 68

10    15 22 28 34 40 46 52 58 64
      15 23 30 38 45 53 60 68 75

11    17 24 30 37 44 50
      17 25 33 42 50 58

12    18 26 33 40 47
      18 27 36 45 54

13    20 28 36 43 51
      20 30 39 49 59

14    21 30 38 46
      21 32 42 53

15    23 32 41 49
      23 34 45 57

16    24 34 44 52
      24 36 48 60

17    26 36 46
      26 39 51

18    27 38 49
      27 41 54

19    29 40 52
      29 43 57

20    30 42 54
      30 45 60

21    32 44
      32 48

22    33 46
      33 50

23    35 48
      35 52

24    36 50
      36 54

25    38 52
      38 57

CEIL表(3AB/4)-L2(a,b)。

a  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
 b
 2     0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0
 3     0  0  0  1  0  0  0  1  1  1  1  2  2  2  2  3  3  3  3  4  4  4  4  5
 4     0  0  1  1  1  1  2  2  2  3  3  3  4  4  4  5  5  5  6
 5     0  1  1  2  2  3  3  4  4  5  5  6  7  8  8
 6     0  0  1  2  3  3  4  5  5  6  7  8
 7     0  0  1  3  3  4  4  6  7  8
 8     0  0  2  3  4  4  6  6  8
 9     0  1  2  4  5  6  6  8 10
10     0  1  2  4  5  7  8 10 11
11     0  1  3  5  6  8
12     0  1  3  5  7
13     0  2  3  6  8
14     0  2  4  7
15     0  2  4  8
16     0  2  4  8
17     0  3  5
18     0  3  5
19     0  3  5
20     0  3  6
21     0  4
22     0  4
23     0  4
24     0  4
25     0  5

(CeIL(3Ab/4)-L2(a,b))(d)的值的频率(f)。

D f=0 O 1,17,2,17,3,21,4,23,5 16 + 6?从这里开始不完整。6?11 + 12?7 6±14?8 11±14?10±2+?11±1+?

A和B不同值的最长CNSAP的最小值起始节点。

a  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
 b
 2     0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0
 3     0  0  0  0  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1
 4     0  0  0  0  0  1  0  0  1  0  0  1  0  0  1  0  0  1  0
 5     0  0  0  0  0  0  0  0  1  1  1  1  1  1  0
 6     0  1  0  0  0  1  0  0  1  2  0  0
 7     0  1  1  0  1  1  1  1  1  0
 8     0  1  0  0  0  1  1  1  1
 9     0  1  0  0  0  1  1  2  0
10     0  1  1  1  1  1  1  0
11     0  1  0  1  2  0
12     0  1  0  1  0
13     0  1  1  1  0
14     0  1  0  1
15     0  1  0  1
16     0  1  1  0
17     0  1  0  
18     0  1  0
19     0  1  1
20     0  1  0
21     0  1
22     0  1
23     0  1
24     0  1
25     0  1
由不同维数的长方体所限定的立方晶格中最长CNSAPS的长度。

让L3(a,b,c)表示对于a、b和c的不同值的最长CNSAPS的长度,矩形长方体的尺寸。

L3(a,b,c)的经验值在下面的一组表中给出:

c = 2

    a  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
 b
 2     5  8 10 13 15 18 20 23 25 28 30 33 35 38 40 43 45 48 50
 3     8 11 14 18 22 25 28 32 35 39 42 45
 4    10 14 19 24 28 33 37 42 46
 5    13 18 24 30 35 41 46
 6    15 22 28 35 41
 7    18 25 33 41
 8    20 28 37 46
 9    23 32 42
10    25 35 46
11    28 39
12    30 42
13    33 45
14    35
15    38
16    40
17    43
18    45
19    48
20    50

c = 3

    a  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13
 b
 2     8 11 14 18 22 25 28 32 35 39 42 45
 3    11 16 21 27 31 36 41 47
 4    14 21 28 34 40
 5    18 27 34 42
 6    22 31 40
 7    25 36
 8    28 41
 9    32 47
10    35
11    39
12    42
13    45

c = 4

    a  2  3  4  5  6  7  8  9 10
 b
 2    10 14 19 24 28 33 37 42 46
 3    14 21 28 34 40
 4    19 28 36 44
 5    24 34 44
 6    28 40
 7    33
 8    37
 9    42
10    46

c = 5

    a  2  3  4  5  6  7  8
 b
 2    13 18 24 30 35 41 46
 3    18 27 34 42
 4    24 34 44
 5    30 42
 6    35
 7    41
 8    46

反对角差绝对值表,L3(A-1,B,2)-L3(A,B-1,2)。

A 3 4 5 5 7 8 8 9 12 12 13 14 b 14,x,1,1,1,2,1,2,13,2,13,2,13,2,13,2,13,2,13,2,13,2,13,2,13,2,13,2,13,2,13,2,13,2,13,2,13,2,13,2,13,2,13,2,13,2,13,2,13,2,13,2,13,2,13,2,13,2,13,2,13,2,13,2,13,2,13,13,14,B,2,12,13,12,13,13,14,b,π),

每个对角线上的对角线差异的绝对值之和。

让A(B,2,2)-L3(A-1,B,2)-L3(A,B,1,2)超过A和B的所有值,使得A+B=N,其中A>=3,B>3,然后L3(CEIL(n/2),Lead(n/2),2)=L3(n-2,2,2)+SAD(n,2)/2。

n SAD(n)/2 D1 L3(n-2,2,2)L3(CEIL(n/2),Lead(n/2),2)4,5,5,5,0,0,8,8,8,α,α,α,α,β,ε,ε,ε,ε,0,8,0,8,0,8,0,8,8,μ,8,8,8,8,μ,0,0,8,8,8,π,α,α,α,β,ε,ε,α,ε,α,ε,α,ε,α,ε,α,ε,α,α,ε,β,(n/2),底(n/2),2,4,5,5,5,0,0,8,8,8,α,α,α,α,α,α,α,α,π,ε,β,8,0,0,8,0,8,0,8,0,8,8,μ,8,8,μ,0,0,8,8,μ,8,8,μ,8,π,μ,0,0,8,8,8,

L3(A,B,C)的上界似乎是CEIL(5ABC/8)。

L3(A,B,C)抗CELL表(5ABC/8)。

c = 2

    a  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
 b
 2     5  8 10 13 15 18 20 23 25 28 30 33 35 38 40 43 45 48 50     L3(a,2,2) = ceil(5a/2)
       5  8 10 13 15 18 20 23 25 28 30 33 35 38 40 43 45 48 50     ceil(5a/2)

 3     8 11 14 18 22 25 28 32 35 39 42 45                          L3(a,3,2)
       8 12 15 19 23 27 30 34 38 42 45 49                          ceil(15a/4)

 4    10 14 19 24 28 33 37 42 46                                   L3(a,4,2)
      10 15 20 25 30 35 40 45 50                                   ceil(5a) = 5a

 5    13 18 24 30 35 41 46                                         L3(a,5,2)
      13 19 25 32 38 44 50                                         ceil(25a/4)

 6    15 22 28 35 41                                               L3(a,6,2)
      15 23 30 38 45                                               ceil(15a/2)

 7    18 25 33 41                                                  L3(a,7,2)
      18 27 35 44                                                  ceil(35a/4)

 8    20 28 37 46                                                  L3(a,8,2)
      20 30 40 50                                                  ceil(10a) = 10a

 9    23 32 42                                                     L3(a,9,2)
      23 34 45                                                     ceil(45a/4)

10    25 35 46                                                     L3(a,10,2)
      25 38 50                                                     ceil(25a/2)

11    28 39                                                        L3(a,11,2)
      28 42                                                        ceil(55a/4)

12    30 42                                                        L3(a,12,2)
      30 45                                                        ceil(15a) = 15a

13    33 45                                                        L3(a,13,2)
      33 49                                                        ceil(65a/4)

14    35
      35

15    38
      38

16    40
      40

17    43
      43

18    45
      45

19    48
      48

20    50
      50

c = 3

    a  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13
 b
 2     8 11 14 18 22 25 28 32 35 39 42 45                          L3(a,2,3)
       8 12 15 19 23 27 30 34 38 42 45 49                          ceil(15a/4)

 3    11 16 21 27 31 36 41 47                                      L3(a,3,3)
      12 17 23 29 34 40 45 51                                      ceil(45a/8)

 4    14 21 28 34 40                                               L3(a,4,3)
      15 23 30 38 45                                               ceil(15a/2)

 5    18 27 34 42                                                  L3(a,4,3)
      19 29 38 47                                                  ceil(75a/8)

 6    22 31 40                                                     L3(a,4,3)
      23 34 45                                                     ceil(45a/4)

 7    25 36                                                        L3(a,4,3)
      27 40                            CEIL(105A/8)×8,28,41 L3(A,8,3),30,45,CEL(15A)=15A,9,32,47,L3(A,9,3)34 51,CEL(135A/8)。

CEIL表(5ABC/8)-L3(a,b,c)。

c = 2

    a  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
 b
 2     0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0
 3     0  1  1  1  1  2  2  2  3  3  3  4
 4     0  1  1  1  2  2  3  3  4
 5     0  1  1  2  3  3  4
 6     0  1  2  3  4
 7     0  2  2  3
 8     0  2  3  4
 9     0  2  3
10     0  3  4
11     0  3
12     0  3
13     0  4
14     0
15     0
16     0
17     0
18     0
19     0
20     0

c = 3

    a  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13
 b
 2     0  1  1  1  1  2  2  2  3  3  3  4
 3     1  1  2  2  3  4  4  4
 4     1  2  2  4  5
 5     1  2  4  5
 6     1  3  5
 7     2  4
 8     2  4
 9     2  4
10     3
11     3
12     3
13     4

如果a= b=c= n,

n CEIL(5ABC/8)L3(N,N,N)D1 FRQ CEIL(5ABC/8)-L3(n,n,n)2,5,5,48,0,3,17 16 11 11 192?31?11?6 135?118?51?17?

对于n>5,L3(n,n,n)=2×L3(n-1,n-1,n-1)-L3(n-3,n-3,n-3)吗?

L3(A,5,5)2,30,3,42,4,>54,5>64