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用户:Antti Karttunen/A074679-A074680轨道注释

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(几乎准备好了,但还不完全……)

自同构的定义A074679号&A074680号

加泰罗尼亚双射(或自同构)*A074679号定义为按以下方式作用于二叉树:

BinTree-d2-标记的abc.svg BinTree-d3-标记-abc.svg
如果可能,请向左旋转二叉树。
BinTree-d1-labeled-a和-0.svg BinTree-d1-标签-0-and.a.svg
否则,互换其侧面。

在这个符号中,,引用任意子树从标记的顶点萌芽。它们可以是空树或任何有限大小的树。这个意思是,隐含地说,在那个顶点上有一棵空树,即顶点是一片叶子。应该清楚的是,上面的定义产生了一个双射

  • 上述操作都不会改变二叉树的总大小,
  • 非空二叉树集按域划分为两个不相交的子集:
    • 右侧子树不为空的树,以及
    • 那些树上空无一人。
  • 它们的范围也是不相交的:
    • 左侧子树不为空的树,以及
    • 那些空无一人的树。

此外,我们采用了一种约定,即空树总是自动映射到自身。很明显,逆自同构(*A074680号)由以下人员提供:

BinTree-d3-标记abc.svg BinTree-d2-标记的abc.svg
如果可能,请向右旋转二叉树。
BinTree-d1-标签-0-and.a.svg BinTree-d1-labeled-a和-0.svg
否则,互换其侧面。

请注意,上述定义对于未标记和标记的根平面二叉树都同样适用。此外,与其考虑后面的操作*A074679号在交换双方的存在时,我们可以思考传递空的右侧(叶节点)根部以下左侧,旧的左手边的树为它腾出了空间,它自己向右手边移动。

四个内部顶点的二叉树上的自同构作用示例

A074679-A074680-图14循环-节点-内部.svg

提议

二叉树的不同轨道数内部顶点(包括根),它们被自同构划分为*A074679号和*A074680号由提供A001683号(n+1),即与加泰罗尼亚自同构相同的序列*A057161号& *A057162号,但右移了一次。


证明如下。

让我们先看看自同构是如何实现的*A057161号& *A057162号,其中根据定义旋转欧拉多边形三角剖分,影响相应的三价平面树和二叉树,多边形三角剖分映射到其中:

A057161-A057162变电站图.svg


定义:硼树

A类三价树硼树简而言之,是非平面的,非根树,其中所有内部节点的化合价为3。也就是说,它是一个二叉树,其中根的方向和位置都没有固定。(也就是说,没有“根”)。

序列A000672号给出了这样的数量带有的树(未标记的)叶子。

定义:Cameron的四元关系

卡梅隆[1]引入了四元关系为了树叶。关系当限制在硼树上时对于任何给定的四片不同的叶子都是如此放弃所有其他节点和边后,如果除了那些躺在连接这些树的小路上的树四个叶子,以及抑制所有二价节点在这些路径上,结果的形式如下:A074679-证明图表Camerons Quaternary.svg

卡梅隆注意到,在硼树中,任何四片叶子,按照某种顺序,都满足了这种关系。


定义:未标记平面三价树(flexagons)

无标记平面三价树是平面的,非根树,其中所有内部节点的化合价为3。也就是说,它是一个二叉树,其中树的方向已经确定,但根的位置尚未确定。序列A001683号给出了此类的数量带有的树(未标记的)叶子或等效物内部节点。

注意,硼树可以映射为平面三价树通过在叶子上固定一个循环顺序。


引理1

当作用于带有标记叶子的二叉树时自同构*A074679号和*A074680号 保持叶子的循环顺序(当根节点被计为内部节点,而不是叶节点时)。

证明。二叉树的旋转不会改变叶子的循环顺序。另一方面,如果*A074679号交换而不是旋转,那么它将有效地旋转最后一个叶子(按深度顺序排列)朝向另一个的前面叶子,这也保持了循环顺序的完整性。


引理2

当作用于带有标记叶子的二叉树时自同构*A074679号和*A074680号 保留卡梅隆的四元关系(当根节点被计算为内部节点,而不是叶)。

证明。很明显,将一片叶子换到另一边不会改变任意四片叶子的四元关系。对于二叉树旋转,我们可以看到这两棵树:

BinTree-d2-标记的abc.svgBinTree-d3-标记-abc.svg

当它们被系列化时,映射到同一个平面硼树:

硼三合一树叶标签-abc.svg

其中,标签,指从这些顶点萌芽的任意子树。因此,二叉树旋转都不会改变四元关系在树的任何顶点之间,因此两者*A074679号及其反向*A074680号保持三价平面树的等价类……胡说八道。。。

因此*A074679号保持三价平面树的等价类当二叉树被系列化时(以及位置其根源在该过程中被遗忘)。然而,我们仍然需要证明三价平面树及其轨道*A074679号,也就是说,所述等价类从未被划分通过*A074679号.

下面的两个引理正是为了这个。

引理3

给定任何有限二叉树,自同构的一个或多个连续应用*A074679号最终将其左侧和右侧交换为:

BinTree-d1-标记的L和R.svg BinTree-d1-标签-RL.svg

证据是通过归纳右侧树的大小得出的。对于形状的树BinTree-d1-labeled-a和-0.svg由于引理立即得到满足(这是我们的基本情况),没有什么可证明的,所以让我们专注于那些右手边不空的树,但不是形式BinTree-d1-labeled-RL和RR.svg,所以整棵树都是这样的BinTree-d2-标记的L-RL-RR.svg.作为我们的归纳假设,我们假设

BinTree-d3-标签-L-RL-RR.svg BinTree-d2-标签-RR-L-RL.svgBinTree-d3-标记的RR-L-RL.svg BinTree-d2-标记的RL-RR-L.svg

hold加在一起意味着

BinTree-d2-标记的L-RL-RR.svg BinTree-d3-标记-RL-RR-L.svg

同样适用。在这里指一次申请,以及自同构的一个或多个应用*A074679号.

要了解其工作原理,让我们逐步进行:自同构*A074679号首先将树向左旋转为:

BinTree-d2-标记的L-RL-RR.svg BinTree-d3-标签-L-RL-RR.svg

现在,根据上述归纳假设的第一部分,我们假设*A074679号最终将交换生成树的左侧和右侧,从而为我们提供:

BinTree-d3-标签-L-RL-RR.svg BinTree-d2-标签-RR-L-RL.svg

这反过来会向左旋转,如下所示:

BinTree-d2-标签-RR-L-RL.svg BinTree-d3-标签-RR-L-RL.svg

现在,通过归纳假设的第二部分,我们假设*A074679号最终将交换生成树的左侧和右侧,给出:

BinTree-d3-标签-RR-L-RL.svg BinTree-d2-标记的RL-RR-L.svg

其依次向左旋转为:

BinTree-d2-标记的RL-RR-L.svg BinTree-d3-标记-RL-RR-L.svg

我们确实得到了一个二叉树,其中原始树(BinTree-d2-标记的L-RL-RR.svg)左侧和右侧已交换。这证明了归纳假说和整个引理。

为什么这样有效?右侧树的大小随着每一次连续的使用*A074679号,尽管在很多情况下会比原来的右手边的树长得更大(BinTree-d1-labeled-RL和RR.svg),我们看到我们需要注意/规定rhs树的大小仅在点(2)和(4)处,其中子树保证小于BinTree-d1-labeled-RL和RR.svg自身。这些依次分解为&&等,每个分支进一步分解左右两侧,只要树枝上有空树(叶子),然后由基本案例处理。明确地,原来左手边的树没有叶子,,会从下面经过,在我们完成上述过程的最后一步之前,其中终于独自在右手边了。

引理4

作为前面引理的推论,我们有:

标记的有限二叉树的每一片叶子都将访问根节点右子节点在自同构轨道上某个点的位置*A074679号发送所述树。

证明:根据前面引理的详细证明的步骤(2)和(4),我们看到*A074679号将带来每一个右手边树的叶子最终给了右边的孩子根目录,在交换之前(穿过树根下面)将成为根的左边子。在第五步(最后一步)之后左侧树,,已经轮回成为新的右手边树,而它所有的叶子也会有同样的命运。

工具书类

  1. 彼得·卡梅隆,一些树状物体,夸脱。数学杂志。牛津,(2)38(1987),155-183。