卡伦数

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卡伦数 ${\显示样式C_{n}}$是表格的数字${\显示样式n2^{n}+1}$前几位是1、3、9、25、65、161、385、897、2049、4609（参见A002064号). 詹姆斯·卡伦牧师注意到它们几乎都是合成的。下表给出了前几个复合Cullen数的主因子分解：

${\显示样式C_{n}}$	的素因式分解${\显示样式C_{n}}$
9	三 2
25	5 2
65	5 × 13
161	7 × 23
385	5 × 7 × 11
897	3 × 13 × 23
2049	3×683
4609	11 × 419

自从Cullen素数(A050920型)很快变大，很容易将它们写成$｛\displaystyle C_｛n｝｝$或${\显示样式n2^{n}+1}$（请参见A005849号对于相关${\显示样式n}$). 什么时候${\显示样式n}$甚至，有些人喜欢把它们写成${\显示样式{\frac{n}{2^{\alpha}}}2^{n+\alpha{+1}$，其中${\显示样式\alpha>0}$是因子分解中2的指数${\显示样式n=2^{\alpha}p^{\beta}q^{\gamma}\ldots}$例如18496×2 18496+ 1 = 17 2× 2 18502+ 1.

虽然卡伦断言几乎所有的卡伦数都是复合数是正确的，但是否存在无穷多的卡伦素数还有待证明。还不知道这两种情况是否都可能发生${\显示样式n}$和${\显示样式C_{n}}$成为第一流。

还有关于复合卡伦数的困惑。如果$｛\displaystyle C_｛n｝｝$是质数，那么这是事实${\显示样式\phi（C_{n}）\mid C_{n} -1个}{n} -1个}$（这称为Lehmer属性）。2011年的一篇论文声称，不存在具有Lehmer性质的复合Cullen数。

工具书类

• 克里斯·K·考德威尔Cullen素数，黄金页面。
• 何塞·玛丽亚·格劳·里巴斯和弗洛里安·卢卡，“具有Lehmer属性的Cullen数”，arXiv:1103.3578[math.NT]，2011年3月18日。