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Riemann-Siegel函数

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对于真实的 积极的 t吨,Riemann-SiegelZ轴函数由定义

Z（t）=e^（itheta（t））zeta（1/2+it）。
(1)

此函数有时也称为Hardy函数或HardyZ轴-功能（Karatsuba and Voronin 1992，Borwein等。1999).顶部绘图叠加Z（吨）（粗线条）打开|泽塔（1/2+it）|，其中泽塔（z）是黎曼ζ功能.

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真的t吨,Riemann-Siegelθ函数θ（t）定义为

θ（t）=I[lnGamma（1/4+1/2 it）]-1/2tlnpi
(2)
=arg[伽马（1/4+1/2it）]-1/2tlnpi。
(3)

功能θ（t）具有局部极值（t，θ（t））=（∓6.289835…，+/-3.5309728…）（组织环境信息系统A114865号和A114866号).

值g（名词）这样的话

θ（gn）=引脚
(4)

对于n=0,1。。。被称为克点（爱德华兹2001年，第125-126页）。

的系列扩展θ（t）大约0由以下公式给出

θ（t）=-1/2tlnpi+sum_（k=0）^（infty）（（-1）^k）/（（4k+2）！）psi_（2k）（1/4）t^（2k+1）
(5)
=1/2[-lnpi+psi（1/4）]t-1/（48）psi_2（1/4）t^3+1/（3840）psi_4
(6)
=-1/4[2伽马+pi+2ln（8pi）]t+1/（24）[pi^3+28zeta（3）]t^3-[（pi^5）/（96）+（31zeta（5））/（10）]+。。。
(7)

（组织环境信息系统A067626号)、和关于英菲通过

θ（t）=-t/2ln（（2pi）/t）-t/2-pi/8+1/（48t）+7/（5760t^3）+（31）/（80640t^5）+。。。
(8)

（组织环境信息系统A036282号和114721英镑；爱德华兹2001年，第120页）。

这些功能在Wolfram语言作为Riemann SiegelZ公司[z（z）]和Riemann SiegelTheta公司[z（z）].

另请参见

格拉姆定律,克氏点,黎曼-西格尔公式,黎曼Zeta函数,Xi-功能

相关Wolfram站点

http://functions.wolfram.com/ZetaFunctionsandPolylographics/RiemannSiegelTheta/,http://functions.wolfram.com/ZetaFunctionsandPolylographs/RiemannSiegelZ/

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M.V.贝里。“Zeta函数的Riemann-Siegel扩展：高阶和剩余。”程序。罗伊。伦敦证券交易所A 450,439-462, 1995.Borwein，J.M。；Bradley，医学博士。；和克兰德尔，R.E.公司。“黎曼-泽塔函数的计算策略。”J。计算。申请。数学。 121, 247-296, 2000.布伦特，R.P。“关于临界带中Riemann-Zeta函数的零点。”数学。计算。 33, 1361-1372, 1979.爱德华兹，H.M。黎曼氏Zeta函数。纽约：多佛，2001年。卡拉津巴，A.A。和沃罗宁，S.M。这个黎曼齐塔函数。纽约州山楂：de Gruyter，1992年。奥德利兹科，上午。“10^(20)黎曼-泽塔函数的零点和7000万它的邻居。“预打印。新泽西州斯隆。答：。序列A036282号,114721英镑,A114865号、和A114866号在“整数序列在线百科全书”中蒂奇马什，欧洲委员会。这个黎曼-泽塔函数理论，第二版。纽约：克拉伦登出版社，1987年。厢式货车de Lune，J。；te Riele，H.J。J。；和D.T.Winter。“关于零临界带中的Riemann-Zeta函数。四、 “”数学。计算。 46,667-681, 1986.瓦尔迪，I。计算型数学娱乐。马萨诸塞州雷丁：Addison-Wesley，第143页，1991年。

引用的关于Wolfram | Alpha

Riemann-Siegel函数

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“Riemann-Siegel函数。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/Riemann-SiegelFunctions.html

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