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广义双曲函数

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1757年，V.Riccati首次记录了双曲线的功能由定义

F_（n，r）^α（x）=sum_（k=0）^infty（α^k）/（（nk+r）！）x^（nk+r），
(1)

对于r=0,...,n-1个,哪里阿尔法是复杂的，值为x=0由定义

F_（n，0）^α（0）=1。
(2)

这称为阿尔法-双曲阶函数n个的第页第种。功能F_（n，r）^α满足

f^（（k））（x）=字母f（x），
(3)

哪里

f^（（k））（0）＝｛0 k！＝r，0＜＝k＜＝n-1，；1 k＝r。
(4)

此外，

d/（dx）F_（n，r）^α。
(5)

这些函数给出了一个广义欧拉公式

e ^（RadicalBox[alpha，n]）=总和_（r=0）^（n-1）（Radical Box[alpha，n]）^rF_（n，r）^alpha（x）。
(6)

既然有n个 n个的第个根阿尔法，这提供了一个系统n个线性方程组。解决F_（n，r）^α给予

F_（n，r）^α（x）=1/n（RadicalBox[alpha，n]）^（-r）sum_（k=0）^，
(7)

哪里

ωn=经验（（2pii）/n）
(8)

是一个统一的原始根。

这个拉普拉斯变换是

int_0^inftye^（-st）F_（n，r）^alpha（at）dt=（s^（n-r-1）a^r）/（s^n-alpha^n）。
(9)

广义双曲函数也与Mittag-Lefler函数 E_n（x）通过

F_（n，0）^1（x）=E_n（x^n）
(10)
=sum_（k=0）^（输入）（x^（kn））/（（kn）！）。
(11)

价值观n=1和n=2给出指数函数和循环/双曲函数（取决于签署阿尔法)分别是。

F_（1，r）^α（x）=（e^（alphax）x^r）/（（xalpha）^r）（γ（r）-γ（r，alphax
(12)
F_（2，r）^α（x）=（x^r）/（r！）_1F_2（1；1/2（1+r），1+1/2r；1/4α^2）。
(13)

特别地

F_（1,0）^α（x）=e^（字母）
(14)
F_（2,0）^α（x）=cosh（平方（α）x）
(15)
F_（2,1）^α（x）=（sinh（平方（α）x））/（平方（alpha））。
(16)

对于α=1,前几个函数是

F_（1,0）^1（x）=电子^x
(17)
F_（2,0）^1（x）=coshx公司
(18)
F_（2,1）^1（x）=辛克斯
(19)
F_（3,0）^1（x）=1/3[e^x+2e^（-x/2）cos（1/2sqrt（3）x）]
(20)
F_（3,1）^1（x）=1/3[e^x+2e^（-x/2）cos（1/2sqrt（3）x+1/3pi）]
(21)
F_（3,2）^1（x）=1/3[e^x+2e^（-x/2）cos（1/2sqrt（3）x-1/3pi）]
(22)
F_（4,0）^1（x）=1/2（coshx+cosx）
(23)
F_（4,1）^1（x）=1/2（正弦x+正弦x）
(24)
F_（4,2）^1（x）=1/2（coshx-cosx）
(25)
F_（4,3）^1（x）=1/2（sinhx-sinx）。
(26)

另请参见

双曲函数,Mittag-Lefler函数

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工具书类

考夫曼，H.“关于高正弦函数的传记”脚本数学。 28, 29-36, 1967.马尔登，机械工程师。和Ungar，A.A。“超越罪恶和罪恶。”数学。美格。 69,3-14, 1996.佩特科夫舍克，M。；Wilf，H.S。；和D.泽尔伯格。A=B。马萨诸塞州韦尔斯利：A K Peters，1996年。http://www.cis.upenn.edu/~wilf/AeqB.html。安加，A.“广义双曲函数”阿默尔。数学。每月 89,688-691, 1982.Ungar，A.“高阶Alpha-Hyperbolic函数”印度J.Pure。申请。数学。 15, 301-304, 1984.

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广义双曲函数

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。《广义双曲函数》摘自数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/GeneralizedHyperbolicFunctions.html

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