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二项式级数

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有几个相关的级数称为二项式级数。

最一般的是

（x+a）^nu=sum_（k=0）^infty（nu；k）x^ka^（nu-k），
（1）

哪里（努；k）是一个二项式系数和努是一个实数。此序列收敛于nu>=0整数，或|x/a |<1（格雷厄姆等。1994年，第162页）。何时努是一个积极的整数 n个,该系列终止于n=nu可以写在表格中

（x+a）^n=sum_（k=0）^n（n；k）x^ka^（n-k）。
（2）

其中任何一种（或其他几种相关形式）适用的定理是已知的作为二项式定理.

特殊情况下泰勒级数

（1+x）^r=sum_（k=0）^（infty）（（-r）_k）/（k！）（-x）^k
(3)
=1+rx+1/2r（r-1）x^2+1/6r（r-l）（r-2）x^3+。。。。
(4)

哪里（r） k（_k）是一个Pochhammer符号和|x |<1同样，

（1-x）^（-r）=sum_（k=0）^（infty）（（r）_k）/（k！）x^k
(5)
=1+rx+1/2r（r+1）x^2+1/6r（r+1）（r+2）x^3+。。。，
(6)

这就是所谓的负二项级数.

特别是，本案r=1/2给予

（1-x）^（-1/2）=sum_（k=0）^（infty）（（2k-1）！）/（（2k）！！）x ^k个
(7)
=sum_（k=0）^（infty）（-1）^k（-1/2；k）x^k
(8)
=1+1/2x+3/8x^2+5/（16）x^3+（35）/（128）x^4+。。。
(9)

（组织环境信息系统A001790号和A046161号)，其中x！！是一个双阶乘和（n；k）是一个二项式系数.

二项式序列具有连分数表示

（1+x）^n=1/（1-（nx）/（1+（1·（1+n））/（1.2）x）/
(10)

（1948年《华尔街日报》，第343页）。

另请参见

二项式,二项式恒等式,二项式定理,多项式系列,负二项级数

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工具书类

M.Abramowitz和I.A.Stegun。（编辑）。带公式、图形和数学表的数学函数手册，第9版。纽约：多佛，第14-15页，1972年。格雷厄姆·R·L。；Knuth，D.E。；和O.Patashnik。混凝土数学：计算机科学基础，第二版。马萨诸塞州雷丁：Addison-Wesley，1994Pappas，T.“帕斯卡三角，斐波那契数列&二项式公式。"这个数学的乐趣。加利福尼亚州圣卡洛斯：Wide World Publ/利乐，第40-41页，1989新泽西州斯隆。答：。序列A001790号/M2508型和A046161号在线百科全书整数序列的。"

参考Wolfram | Alpha

二项式级数

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“二项式级数。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/BinomiumSeries.html

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