カタストロフィー理論に関連する関数：特殊関数グラフィックスライブラリー特殊功能

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カタストロフィー理論の特殊関数

皮尔西積分関数

2変数

の関数としての積分

は、1946年に T.皮尔西によって初めて考察されたので、現在は、皮尔西積分関数 (または、皮尔西積分) と呼ばれる。ここに、関数

については後述の｢余次元4の尖点正準積分関数｣を参照。
　皮尔西積分関数を

の冪級数に展開すると

となる。また、

我的爱人

のように贝塞尔関数に還元される。
　皮尔西積関

に関して、

なる対称性を有する。
　皮尔西積分関数は、カタストロフィー理論における尖点（尖峰灾难）と呼ばれる分岐現象に関連する※1。これは、後述の｢余次元

の尖点正準積分関数｣において、

となる場合から得られる、パラメータ表示の代数曲線

${x，y}={8t^3，-6t^2$

の形状で説明される。またこの場合は、

を座標に含めて代数曲面にした

を用いて、このカタストロフィーが説明されることもある※2。
　カタストロフィー理論自体は、微分方程式や差分方程式などによって記述される力学系が、パラメーターの連続変化に応じて定性的に異なる複数の解空間へ分岐する現象を説明するために、R.F.托姆によって導入された。托姆は、このような分岐を生ずる曲面構造をカタストロフィーと呼び、(｢初等カタストロフィー｣の場合は) 7種類の分岐点形状｢折り目，尖点，燕尾点，蝶点，楕円的臍点，双曲的臍点，放物的臍点｣に分類できることを示した。

【註記】
※1　取りあえず、この頁で扱う関数を｢カタストロフィー理論の～｣としたが、実際にカタストロフィー理論でどのように用いられるかは、ここでは触れない (（日本）
　内容は、｢NIST数学函数手册｣を参考にしているので、正確な意味はそちらを参照願います。また、皮尔西積分関数を別にすれば、ここでの各関数の英語名は恐らく通称ではなく（尼斯特）にも、標準的な命名法は無い旨の記述がある)、日本語名もまだ存在しないため、さらにこれを意訳したものである。

※2　この場合視覚的には、構造安定性が｢破綻｣する分岐点が、原点になることが分かる。

　実1変数の皮尔西積分関数

我的爱人

　実2変数の皮尔西積分関数

我的爱人

燕尾点正準積分関数

三変数

の関数としての積分

を、燕尾点正準積分関数（Swallotteil正则积分函数）という。(関数

については「余次元4の尖点正準積分関数”を参照。)
この関数は、

の冪級数に展開すると

となる。
　燕尾点正準積分関数は

失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言

なる対称性を有する。
準積（燕鸥灾难）と呼ばれる分岐現象に関連する。これは、後述の｢余次元

の尖点正準積分関数｣において、

となる場合から得られる、パラメータ表示の代数曲面

の形状で説明される。

　実1変数の燕尾点正準積分関数のグラフ。順に、①

, ②

, ③

。

　実2変数の燕尾点正準積分関数

我的爱人

　実2変変

我的爱人

　実2変数の燕尾点正準積分関数

我的爱人

　実2変数の燕尾点正準積分関数

我的爱人

アニメーション（823 MB）
　実2変数の燕尾点正準積分関数

我的爱人

＝0～10 (+0.2)。

楕円的臍点正準積分関数

三変数

の関数としての積分

を、楕円的臍点正準積分関数（椭圆脐正则积分函数）という。
この関数を、

物语冪およ

の艾里関数項の級数に展開すると、

となる。
　楕円的臍点正準積分関数は

平面において、原点中心の120

回転に関して不変である。また、

なる対称性も有する。
　楕円的臍点正準積分関数は、カタストロフィー理論において楕円的臍点（椭圆脐灾难）と呼ばれる分岐現象に関連する。その形状を説明する三次元代数曲面は、代数方程式

によって得られるパラメータ表示式

で表わされる。

　実1変数の楕円的臍点正準積分関数のグラフ。順に、①

, ②

。

　実2変楕円臍準積関

我的爱人

　実2変数の楕円的臍点正準積分関数

我的爱人

　実2変数の楕円的臍点正準積分関数

我的爱人

　実2変数の楕円的臍点正準積分関数

我的爱人

　実2変楕円臍準積関

我的爱人

双曲的臍点正準積分関数

三変数

の関数としての積分

を、双曲的臍点正準積分関数（双曲脐正则积分函数）という。
この関数を、

の冪級数に展開すると、

となる。
　双曲的臍点正準積分関数は

平面において、直線

(

の交換) に関して不変である。また、

なる対称性も有する。また、

の場合は

の艾里関数に還元される。
　双曲的臍点正準積分関数は、カタストロフィー理論において双曲的臍点（双曲脐突变）と呼ばれる分岐現象に関連する。その形状を説明する三次元代数曲面は、代数方程式

によって得られるパラメータ表示式

で表わされる。

　実1変数の双曲的臍点正準積分関数のグラフ。順に、①

, ②

。

　実2変数の双曲的臍点正準積分関数

我的爱人

　実2変数の双曲的臍点正準積分関数

我的爱人

　実2変

我的爱人

　実2変数の双曲的臍点正準積分関数

我的爱人

　実2変数の双曲的臍点正準積分関数

我的爱人

余次元4の尖点正準積分関数

　余次元（余维※1）を

とするとき、

個の変数

の関数としての積分

を、余次元

我的爱人
この関数は、

変冪級

となる。
余次元

の尖点正準積分関数は、カタストロフィー理論において｢余次元

我的爱人

次元代数曲面は、代数方程式

によって得られるパラメータ表示式

で表わされる。
特に、

の場合は皮尔西積分関数、

の場合は燕尾点正準積分関数になる。ここでは

、すなわち

である場合（蝴蝶灾难と呼ばれる) を扱う。このとき、先のパラメータ表示式は具体的に

（①

，②

，③

とと三次元内の曲面にした場合。）

となる。

【註記】
※1完NIST数学函数手册にある用語を使用。同著の第36章与聚合鞍座集成｣を参照。

　実2変数の余次元4尖点正準積分関数

我的爱人

　実2変数の余次元4尖点正準積分関数

我的爱人

　実2変数の余次元4尖点正準積分関数

我的爱人

　実2変数の余次元4尖点正準積分関数

我的爱人

　実2変数の余次元4尖点正準積分関数

我的爱人

　実2変数の余次元4尖点正準積分関数

我的爱人

开尔文船型

　充分な水深のある水面上を一定速度

で直線航行する船舶は、その後方に歪三角形状の表面波を生ずる。この波の模様は、开尔文船波型と呼ばれ、その名称は、19世紀末に水面の振動現象を研究した上帝。开尔文に因む。
極座標

において、船舶 (に相当する擾乱点) の位置を常に原点

に固定し、船舶の航行と逆方向に始動径

があるようにすると、任意の位置における开尔文船型の波の高さ

は、次式で与えられる。

　この積分は変数を実数に限れば、中点法等による数値計算が可能である※1。なお、変換

によって直交座標

に移行してもよい。(以下のグラフもこれを採用している。)
　开尔文船型の積分は、余次元

の尖点正準積分関数をさらに一般化した

に含まれ、その実部とみなすことができる。
　开尔文船型は船舶と水面との相互作用以外にも、例えば、対流圏において山頂等が擾乱点となる場合に形成される雲の模様にも現れることで知られている。(そのような事例は、谷歌等。）

【註記】
※1 ：我的意思是：“我的意思是，我的意思是，我的意思是，我的意思是，我的意思是，我的意思是，我的意思是，我的意思是，我的意思是，我的意思是，我的意思是，我的意思是，我的意思是，我的意思是，我的意思是，我的意思是，我的意思是，我的意思是，我的意思是，我的意思是，我的意思是。”(真性特異点を持つ) ので、若干計算が難しい。ここでの計算は、改良された中点法に基づいて凯·赫伯特が工作Mathematica公司コード (http://demonstrations.wolfram.com/KelvinShipWavePattern/) を用いた。

　开尔文船型我的爱人2番目は｢NIST手册第791页にあるグラフとほとんど同等である。

　开尔文船型を用いて、夕刻 (または夜明？) の海上の風景を構成する。

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