ポリ対数関数(多重対数関数)：特殊関数グラフィックスライブラリー特殊功能

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ポリ対数関数（多重対数関数）

罗杰斯の二重対数関数

　罗杰斯の二重対数関数は、対数関数を拡張したもので

で定義される。後述のポリ対数関数とは

の関係にある。また、関数等式

を満たし、特殊値

を持つことで知られる。複素関数としての罗杰斯の二重対数関数は、複素平面上

に特異点を持ち、通常は区間

及び

に分枝切断線を置く。罗杰斯の二重対数関数は、特に量子力学や統計力学の可積分模型に用いられる。

　実変数および複素変数の罗杰斯の二重対数関数のグラフ。

ポリ対数関数

日：ポリ対数関数，多重対数関数
英：多对数，仏：函数多对数，独：多对数

　冪級数で定義された

を、収束範囲の外部にも解析接続して得られる関数を、ポリ対数関数、または多重対数関数という。その名称は、特別な

のときに

となり、他方で一般の

に関する漸化式が、逐次積分･微分によって

となることから、

が対関を拡

に微分漸化式を適用すれば、

のポリ対数関数はすべて有理関数になることが分かる。
　

を複素変数とするポリ対数関数は、

に特異点を持つ (ただし

とする。特異点の種類は、前述の有理関数になる場合に極、その他は一般に対数分岐点となり、後者の場合は実軸上の区間

）
　

を変数とするポリ対数関数は迪里克莱級数の一種であり、特別な

のときに、黎曼のゼータ関数

に還元される。また、

の分枝切断線を超える解析接続の公式

を介して、赫尔维茨のゼータ関数とも関係がある。
ポリ対数関数は

等、多くの積分表示式が知られており、応用分野ではそれらの表示形が重要になる (例えば、国家统计局の25.12（三）など)。
また、無限級数表示

等等

で収束する (ただし、

および

方向への和は、それぞれ同じ項数までの部分和に対する極限と考える。収束はやや遅い)。
　ポリ対数関数は、後述する莱奇の超越関数の特別な場合であり、

とわわわわわ
　ポリ対数関数は、1889年に A.琼奎尔が、経路積分を用いて複素関数としての

を研究したことに因み、琼奎尔関数と呼ばれることもある。特殊な場合は、もっと古くから研究されており、特に

2010年G.W.莱布尼茨がL.Euler（1768年年)、W.Spence（1809年年) 等、多くの数学者がこれを手掛けた※1。前述の罗杰斯の二重対数関数もこのような研究の一端として現れた。

は簡潔な関数等式

を満りりりを、諸、現する頻がより

も

に次いで詳しく研究され、よく似た関数等式を満たすが、記述は省略する。
　ポリ対数関数の数学における応用分野として、数論、コホモロジー（上同调）を用いる群論、代数的K（K）理論等が知られている。諸科学では、電気回路設計、量子電磁気学における费曼ダイアグラムでの積分等の応用事例がある。

【註記】
※1：

2010年斯彭斯の寄与に因んで｢斯彭斯函数と呼ばれることもあるが、英語･日本語ともに｢双对数(ディ･ロガリズム：二重対数)｣と呼ぶことの方が多い。後者の名称は、1828年に C.J.希尔が初めて使用した。また、これに準じて

を｢三倍(トリ･ロガリズム：ン対）と（）

を実2変数とするポリ対数関数

のグラフ。①

では複素数になるので描画されない。②実部と虚部のグラフ。

を実変数とするポリ対数関数

のグラフ。①

＝0～9 (+0.2)，②

＝－9～0 (+0.2) 。

　複素変数のポリ対数関数

のグラフ。

　複素変数のポリ対数関数

のグラフ。

　複素変数のポリ対数関数

のグラフ。

を実変数とするポリ対数関数

のグラフ。ともに、

＝－10～1 (+0.2)。②は、①の絶対値が小さい範囲を拡大したグラフ。

　複素変数のポリ対数関数

のグラフ。

　複素変数のポリ対数関数

のグラフ。

　複素変数のポリ対数関数

のグラフ。

アニメーション（5.10MB）
　複素変数のポリ対数関数

のグラフ。

克劳森関数

日：克劳森関数，クラウゼン関数
英：克劳森函数，仏：克劳森函数，独：克劳森膨胀

　簡単な形の傅里叶級数が初等関数にならない具体例として、1832年に T.克劳森は

を研究した。これに因み、関数

は克劳森関数と呼ばれるようになった。

韩国

によって定義されることも多いので、しばしば｢克劳森積分｣とも呼ばれる。
　克劳森関数は奇関数で、周期性

を持つが、複素関数としての

2010年

に対数分岐点を持ち、直線

上に分枝切断線が引かれる。
　このため当サイトでは、実軸上の区間

および

のみに分枝切断線が引かれ、１枚の単連結な分枝になるよう解析接続された克劳森関数

を別途導入する。すなわち、

となるが、もはや周期性を持たず、実変数のときは区間

のみで定義される。
　現在では、前述の傅里叶級数表示式を一般化した

も定義されており、｢一般克劳森関

となることに注意する。
次数

が特別な自然数のとき、一般克劳森関数は対数関数および伯努利多項式によって、

と表わされ、初等関数に還元される。
　一般克劳森関数は、ポリ対数関数を用いて

と表わされる。つまり、これは欧拉の公式の類似であり、

は

の実部と虚部に相当する。このポリ対数関数を用いる表示式は、より広い

および

領おける一\克劳森関数を計算するのに適している (ただし、ポリ対数関数を解析接続する必要がある)。また、

の一般克劳森関数も初等関数になることが従う。
　

は偶関数、

は奇関数であり、ともに周期性

を持つ。複素関数としては両者とも

を一般に対数分岐点とし、直線

上に分枝切断線が引かれる。
　このため当サイトでは、

に対しても

と同様の解析接続を施した

を導入する。すなわち、

となるが、もはや周期性を持たず、実変数のときは区間

のみで定義される。
　N.I.洛巴切夫斯基は（J.Bolyai、J.C.F.Gauss等と独立に) 双曲的非欧几里得幾を構築する過欧几里得空間内の理想四面体

の "双曲的な体積"

を求めるため、

を1829年に導入した。現在では、これと若干形が異なる

を、洛巴切夫斯基関数と呼ぶことが多い。実際、前述の体積は

を用いて

と表わした方が簡潔になる。(しかしながら、当サイトでは

を洛巴切夫斯基関数として扱う。)

理想四面体

の図

①双曲的非欧几里得上半空間内部の場合。　②双曲的非欧几里得《内定论》

　実変数および複素変数の克劳森関数

のグラフ。

　実変数および複素変数の克劳森関数

のグラフ。
実軸

で極大･極小値をとる。また、

すなわち

となる (この定積分の値は欧拉が初めて求めた)。

を実変数とする一般克劳森関数

のグラフ。

＝0.2～5 (+0.2) 。

が整数のとき太線。

を実2変数とする一般克劳森関数

のグラフ。

　複素変数の一般克劳森関数

のグラフ。

　複素変数の一般克劳森関数

のグラフ。

　複素変数の一般克劳森関数

のグラフ。
因みに、この例は

忘我

でもある。

　複素変数の一般克劳森関数

のグラフ。

　複素変数の一般克劳森関数

のグラフ。

　複素変数の一般克劳森関数

のグラフ。

　複素変数の一般克劳森関数

のグラフ。

を実変数とする一般克劳森関数

のグラフ。

＝0.2～5 (+0.2) 。

が整数のとき太線。

を実2変数とする一般克劳森関数

のグラフ。

　複素変数の一般克劳森関数

のグラフ。

　複素変数の一般克劳森関数

我的爱人

　複素変数の一般克劳森関数

のグラフ。
因みに、この例は

に該当するので、

でもある。

　複素変数の一般克劳森関数

のグラフ。

　複素変数の一般克劳森関数

のグラフ。

　複素変数の一般克劳森関数

のグラフ。

　複素変数の一般克劳森関数

のグラフ。

　実変数の洛巴切夫斯基関数

のグラフ。

　複素変数の洛巴切夫斯基関数

のグラフ。

積分逆正接関数

日：積分逆正接関数，逆正接積分
英：逆切线积分，仏：弧切线积分，独：积分Arkustangens

　ポリ対数関数を用いて定義された

を、積

を、(本来の) 積分逆正接関数という。
　一般積分逆正接関数が、逐次積分･微分による

の漸化式

を満たすこと、および特別な

のときに

等

の一般積分逆正接関数はすべて有理関数になる。
　

を複素変数とする一般積分逆正接関数は、

(ただし

)に特異点を持つ。特異点の種類はポリ対数関数に由来するが、それが対数分岐点となる場合は、虚軸上の区間

に分枝切断線が置かれる。
　一般積分逆正接関数は、後述する莱奇我的爱人

と表わされる。
　一般積分逆正接関数は L.Lewin（1958年年) の研究によって、ほぼ現在の形に整備されたが、同種の関数はもっと古くから研究されていたと思われる。実際、

は現在、勒让德のカイ関数と呼ばれている (グラフの描画は省略する)。

実変積

のグラフ。

　複素変数の積分逆正接関数

のグラフ。

を実変数とする一般積分逆正接関数

のグラフ。

＝－5～5 (+0.2) 。

が整数のとき太線。

を実2変数とする一般積分逆正接関数

のグラフ。

　複素変数の一般積分逆正接関数

のグラフ。

　複素変数の一般積分逆正接関数

のグラフ。

　複素変数の一般積分逆正接関数

のグラフ。

　複素変数の一般積分逆正接関数

のグラフ。

德拜関数

日：德拜関数，デバイ関数，不完全ゼータ関数
英：德拜函数，仏：德拜教堂，独：脱毛

　德拜関数とは、積分

で定義される関数の総称で、前者は第1種- 、後者は第2種- を冠して呼ばれる。(定数因子

を持たない定義、

で割る定義等もあり、一定していない。)
両者は互いに

の関係にあるが、これは不完全ガンマ関数のそれと類似しており、しかも、右辺が黎曼ゼータ関数になるので、德拜※1。また、冒頭の積分表示式から、正則化不完全ガンマ関数を係数とする迪里克莱級数

に展開できることが分かる。すなわち、德拜関数は

を変数と見ればゼータ関数の類似になっている。実際、第1種德拜関数は

で１位の極を持ち、

が負の整数のときは

の値に係わらず恒等的に定数関数

となる。第2種德拜関数の場合は

となり、特に

でも一般に有界となることに注意する。
　

が正の整数である德拜関数が応用等で最も現れ、ポリ対数関数による閉形式

で表わすことができる。一般の

に対する德拜関数は、前述の迪里克莱級数のほか、やや収束は遅いが

『』『』『』『』『』『』『』『』『』『』『』『』『』『』『』『』『』超幾何関数部分は、註記(※2)で説明している分枝切断線処理に応じて解析接続が必要になる。なお、分枝切断線が｢タイプ２｣となる解析接続は、代わりに

を用いても実現できる。
　

を複素変数とする德拜関数は、

を一般に対数分岐点とする無限多価関数で、各々の分岐点から無限遠点に延びる分枝切断線を引くことができる※2。ただし、

に限り

に由来する特異性を持つ。すなわち、

の値が有理数ならば代数分岐点に変わり、正の整数ならば特異点でなくなる。
　德拜関数は、種々の積分計算に用いられるほか、物理学では黒体放射や固体の温度に関する量子力学などに現れる (多くは

が特定の正整数である場合)。関数の名称も、熱力学における德拜模型の熱容量を求める過程で、1912年に物理学者の P.德拜がこの積分を扱ったことに因む。
　他にも、德拜関数に関連した積分関数として、E.格里内森による種々の温度下における物質の電気抵抗率を評価する研究から格吕内森関数

、1932年の B.G.D.斯特罗姆格伦による天体物理学での平均不透明度の研究から斯特罗姆格伦関数（斯特罗姆格伦積分)

、

が導入されている。
　ここでは、次の一般的な形で第1種格吕内森関数

および第1種斯特罗姆格伦関数

を独自に定義する。(それぞれ第2種も併せて定義する。)

　ただし、これらの関数は德拜関数と初等関数を用いて、

と表わせる。この事は、積分表示式に部分積分法を適用すれば容易に確認できる。

【註記】
※1：次の論文では、不完全ゼータ関数 (すなわち德拜関数) の詳しい数値計算結果、特に

を複素変数とする場合の結果が載っている (ただし、関数記号等は当サイトと異なる)。

① 不完全黎曼-泽塔函数和不完全伽马函数的K.S.Kölbig｣复零点计算数学，第24卷，第111期，（1970）第679-696页

② 两个不完全黎曼-泽塔函数的K·S·Kölbig｣复零点计算数学，第26卷，第118期，（1972）第551-565页

※2：コード｢泽塔。米｣では、次の３種類の分枝切断線が選択できる (グラフは

の場合)。当サイトでは、タイプ１の分枝切断線を採用する。

　実変数の第1種德拜関数

のグラフ。太線は

がおき

　複素変数の第1種德拜関数

のグラフ。

　複素変数の第1種德拜関数

のグラフ。

　複素変数の第1種德拜関数

のグラフ。

アニメーション（15.8MB）
　複素変数の第1種德拜関数

のグラフ。

＝－3～3 (+0.025, ただし

は除く)。
　（功能图。米のカラーリングを使用しています。）

を実変数とする第1種德拜関数

のグラフ。太線は

が正の整数のとき。
　公式からも明らかなように、

が負の整数ならば常に零点または固定点になる。したがって、

が実数ならば負の実軸上には

以外の (位置が動く) 零点も存在することが、次のグラフから分かる。

　複素変数の第1種德拜関数

のグラフ。

　複素変数の第1種德拜関数

のグラフ。

が正の実数を動くときの、

の複素零点

の推移図。同等の図が、K·S·Kölbigの論文①の682頁、論文②の559頁にある (↑註記※1)。

　実変数の第2種德拜関数

のグラフ。太線は

が整数のとき。

　複素変数の第2種德拜関数

のグラフ。

　複素変数の第2種德拜関数

のグラフ。

　複素変数の第2種德拜関数

のグラフ。

を実変数とする第2種德拜関数

のグラフ。太線は

が正の整数のとき。

　複素変数の第2種德拜関数

のグラフ。

　複素変数の第2種德拜関数

のグラフ。

　実変数の第1種格吕内森関数

のグラフ。太線は

が正の整数のとき。
また、

が2个以上の偶数 (奇数) のとき、第1種格吕内森関数は奇関数 (偶関数) になる。

　実変数の格吕内森関数

のグラフ。偶関数になる。

　複素変数の第1種格吕内森関数

のグラフ。
　（もし、タイプ2个の分枝切断線を採用したならば、描画領域全体で

を満たす。）

　複素変数の第1種格吕内森関数

のグラフ。

　複素変数の第1種格吕内森関数

のグラフ。

を実変数とする第1種格吕内森関数

のグラフ。太線は

が正の整数のとき。

を複素変数とする第1種格吕内森関数のグラフは、第1種德拜関数のそれと概形が非常に似ており、僅かな違いしかないので、描画を省略する。

　実変数の第2種格吕内森関数

のグラフ。太線は

が整数のとき。
また、

が2个以上の奇数のとき、第2種格吕内森関数は偶関数になる。

なる非負整数のとき、

でも実数値となる。

　複素変数の第2種格吕内森関数

のグラフ。
　（もし、タイプ2个の分枝切断線を採用したならば、描画領域全体で

を満す）

　複素変数の第2種格吕内森関数

のグラフ。

　複素変数の第2種格吕内森関数

のグラフ。

を実変数とする第2種格吕内森関数

のグラフ。太線は

が正の整数のとき。

を複素変数とする第2種格吕内森関数のグラフは、第2種德拜関数のそれと概形が非常に似ており、僅かな違いしかないので、描画を省略する。

　実変数の第1種斯特罗姆格伦関数

のグラフ。太線は

が正の整数のとき。

　複素変数の第1種斯特罗姆格伦関数

のグラフ。

　複素変数の第1種斯特罗姆格伦関数

のグラフ。

　複素変数の第1種斯特罗姆格伦関数

のグラフ。

を実変数とする第1種斯特罗姆格伦関数

のグラフ。太線は

が正の整数のとき。

　複素変数の第1種斯特罗姆格伦関数

のグラフ。

　複素変数の第1種斯特罗姆格伦関数

のグラフは、第1種德拜関数

と概形が非常に似ており、僅かな違いしかないので描画を省略する。

　実変数の第2種斯特罗姆格伦関数

のグラフ。太線は

が整数のとき。
　第2種斯特罗姆格伦関数は、

なる非負整数のとき、

でも実数値となる。

　複素変数の第2種斯特罗姆格伦関数

のグラフ。

　複素変数の第2種斯特罗姆格伦関数

のグラフ。

　複素変数の第2種斯特罗姆格伦関数

のグラフ。

を実変数とする第2種斯特罗姆格伦関数

のグラフ。太線は

が正の整数のとき。

を複素変数とする第2種斯特罗姆格伦関数のグラフは、第2種德拜関数のそれと概形が非常に似ており、僅かな違いしかないので、描画を省略する。

莱奇の超越関数

日：莱奇の超越関数，レルヒ超越関数，莱奇のゼータ関数
英：超验教父，仏：功能超越了Lerch，独：勒舍·齐塔芬克提（Lerchsche Zetafunktion）

ポリ対数関数と赫尔维茨のゼータ関数を統合・一般化した、

を莱奇の超越関数、あるいは単に莱奇関数という。さらに、莱奇の超越関数はポリガンマ関数の一般化にもなっていて、

となる。
　迪里克莱のＬ関数2010年莱奇の超越関数を用いて表わすことができる。例えば、加泰罗尼亚语のベータ関数とも呼ばれる迪里克莱のＬ関数の例は

である。
　莱奇【解说词】【解说词】【解说词】【解说词】【解说词】【解说词】【解说词】【解说词】【解说词】【解说词】【解说词】【解说词】【解说词】【解说词】【解说词】【解说词】【解说词】【解说词】【解说词】【解说词】【解说词】【解说词】【解说词】【解说词】【解说词】【解说词】【解说词】【解说词】【解说词】【解说词】【解说词】