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雅各比関数

雅各比関数

日：雅各比関数，ヤコビ関数
英：雅可比函数，仏：雅各比教堂，独：雅各布斯功能

　2階の線形常微分方程式
  • 雅各比の微分方程式
は超幾何微分方程式の別表現であって、z=±1，∞を確異とする雅各比の微分方程式といい、その解の基本系w=a*P[ν，（α，β）]（z）＋b*Q[ν（a，b∈C）を成す二つの関数を超幾何関数で表わせば、
  • 第1種, 第2種雅各比関数
となる。これを順に、第1種および第2種雅各比関数という※1。第2種でα∈Zの場合は、上記の式に l’Hópital酒店の定理を適用する等、別の定義式が必要になる。
　このうち第1種は、常に
z=1での第1種雅各比関数の値
となる特別な解であって、z=－1，∞を一般に対数分岐点とし、実軸上の区間(－∞, －1]に分枝切断線が置かれる。次数がν∈Z＜0のときはP[ν，（α，β）]（z）=0となる。
第2種はz=±1，∞を一般に対数分岐点とし、実軸上の区間（－∞，－1]および[1，∞）に分枝切断線が置かれる。ただしνが半奇数ならば、z=－1の分岐点は消える。また、ν＋α∈Z＜0νν＋β∈Z＞0のときはQ[ν，（α，β）]（z）=∞となる。
　雅各比関数は、ν中国
  • 次数νに関する準反転性
を持っている。
　雅各比関数は、νに関する線形漸化式および微分漸化式
  • 次数νに関する漸化式
を満たす。ここにa（ν，α，β），b（νは、ν, α, βの三変数について1を周期とする任意の周期関数である。同様に、α, βに関しても漸化式
  • α, βに関する漸化式
を満たし、さらに、ν, α, βに関する簡易な形の漸化式
  • 簡易な形の漸化式
も満たす。
　雅各比関数はα, βが特別な値の組合せのとき、盖根鲍尔関数,勒让德陪関,および冪関数
  • 特別なα, βにおける雅各比関数の還元
に還元され、それらの式でさらにα = 0またはα = ±1/2とすると、勒让德関数や切比雪夫関数が現れる。一方、α, βに対して極限を取ると、拉盖尔陪関数または埃尔米特関数
  • 雅各比関数のα, βに対する極限
に近付く。
　第1種 雅各比関数は次数がν=n∈n≥0ならば、多項式
  • 雅各比多項式
に還元される。これは 雅各比多項式 (希に、超幾何多項式) と呼ばれ、応用で 雅各比関数が使用されるのは、ほとんどこの場合に限られる。雅各比多項式は、母関数表示式および 罗德里格斯日本
  • 母関数表示式および罗德里格斯の公式
でも表わすことができ、種々の性質を導くのに便利である。雅各比多項式は古典的直交多項式の系統上で頂点に位置するが、その直交性についての詳細は次節で触れる。なお、雅各比多項式は特別なα, βをををを
しばしばP[ν，（α，β）]（z）に代わる第1種 雅各比関数として、
  • 第1種雅各比関数（G）
を定義していることがある※2。ただし、雅各比のそれとは異なる (若干簡単な) 形の微分方程式
  • 第1種雅各比関数（G）が満たす微分方程式
を満たす。
　第2種 雅各比関数についても、当サイトと違う様々な定義が存在する。例えば ｢高等先验函数卷2｣の171頁では、
  • 第2種雅各比関数（费雷尔斯型)
が掲載されている。この関数は 雅各比[美][美][美][美][美][美][美][美][美][美][美][美][美][美][美][美][美](－∞, －1]および[1, ∞)に分枝切断線が置かれる※三。
　また、同著の170頁または Wolfram数学世界の記事 ｢第二类雅可比函数｣ では、第2種雅各比関数版の霍布森完とも言うべく、実軸上の区間(－∞, 1]に分枝切断線が置かれた、
  • 第2種雅各比関数（霍布森型)
が掲載されている。この関数も 雅各比の微分方程式を満たす。
　雅各比関数 (多項式) は、主に回転群が関係する剛体力学や量子力学で応用される。例えば、独楽などの回転運動、正の曲率を持つ空間内での 薛定谔方程式の解、各種の拡張された球面調和関数および维格纳のD类行列に現れる。この他にも、可積分系の特殊解など応用範囲は他の古典的直交多項式と共通する部分もあるが、雅各比多項式で扱う内容はより高度になることが多い。さらにα, βが複素数、z（z）が純虚数となる 雅各比（日本）
  • 罗曼诺夫斯基多項式
も応用事例があり、これは 罗曼诺夫斯基多項式と呼ばれる※4。粒子ポテンシャルが余接関数となった 薛定谔方程式の解、ランダム行列理論が事例として知られている。
　雅各比多項式は、1859年に C.G.J.雅各比が導入したことから、その名で呼ばれるようになった。また、1870年には P.L.切比雪夫が一般の多項式論を展開した際に、併せて 雅各比多項式を論じた。罗曼诺夫斯基多項式は、1929年に V.I.罗曼诺夫斯基（Romanovski）がある種の確率分布を研究した際に導入した。

【註記】
　※1：第2種 雅各比関数Q[ν，（α，β）]（z）は当サイトが独自に定義したものであって、P[ν，（α，β）]（z）が余弦関数に相当すると見たとき、Q[ν，（α，β）]（z）は正弦関数に相当する。(この事は、後にグラフでも確認する。また、第2種関数の定義に対する当サイトの方針は、別頁问题に掲示している。)
　なお、第2種雅各比関数の定義として広く採用されているのはQh[ν，（α，β）]（z）である。

　※2：G[ν]（p，q，z）のグラフは全て省略する。(実変数も、概形の関心領域が決定しづらいので省略する。)

　※三：Qf[ν，（α，β）]（z）のグラフはQ[ν，（α，β）]（z）と似ているので、z（z）を変数とする場合のみ掲載し、個数も削減する。

　※4：R[γ，（α，β）]（z）のグラフも全て省略する。(同じく、概形の制御が難しいことに因る。)

P[ν，（α，β）]（z）

　x个を実変数とする、第1種 雅各比関数のグラフ。①整数次P[n，（2.7,0.4）]（x）（雅各比多項式)。②実数次P[ν，（2.7，0.4）]（x）。
  • 第1種雅各比関数のグラフ(実変数)
  • 第1種雅各比関数のグラフ(実変数)

　ν、 x个を実2変数とする、第1種 雅各比関数P[ν，（2.7，0.4）]（x）我的爱人Γ=-3.7，-4.7，-5.7…では関数が定義されない。
　2番目は、ν ≦ －3の範囲を拡大した場合。
  • 第1種雅各比関数のグラフ(実2変数)
  • 第1種雅各比関数のグラフ(実2変数)
  • 第1種雅各比関数のグラフ(実2変数)

　x个を実変数とする、第1種 雅各比関数のグラフ。①整数次P[编号，（－0.4，2.7）]（x）（雅各比多項式)。②実数次P[ν，（－0.4，2.7）]（x）。
  • 第1種雅各比関数のグラフ(実変数)
  • 第1種雅各比関数のグラフ(実変数)

　ν、 x个を実2変数とする、第1種 雅各比関数P[γ，（-0.4，2.7）]（x）のグラフ。ν = －0.6, －1.6, －2.6, …では関数が定義されない。
　2番目は、－7 ≦ ν ≦ 0の範囲を拡大した場合。
  • 第1種雅各比関数のグラフ(実2変数)
  • 第1種雅各比関数のグラフ(実2変数)
  • 第1種雅各比関数のグラフ(実2変数)

　x个を実変数とする、第1種 雅各比関数のグラフ。①整数次P[n，（0.4，－2.7）]（x）（雅各比多項式)。②実数次P[ν，（0.4，－2.7）]（x）。
  • 第1種雅各比関数のグラフ(実変数)
  • 第1種雅各比関数のグラフ(実変数)

　ν、 x个を実2変とする、1種雅各比関数P[ν，（0.4，－2.7）]（x）のグラフ。ν = －1.4, －2.4, －3.4, …では関数が定義されない。
　2番目は、－8 ≦ ν ≦－1の範囲を拡大した場合。
  • 第1種雅各比関数のグラフ(実2変数)
  • 第1種雅各比関数のグラフ(実2変数)
  • 第1種雅各比関数のグラフ(実2変数)

　x个を実変数とする、第1種 雅各比関数のグラフ。①整数次P[编号，（-2.7，-0.4）]（x）（雅各比多項式)。②実数次P[ν，（-2.7，-0.4）]（x）。
  • 第1種雅各比関数のグラフ(実変数)
  • 第1種雅各比関数のグラフ(実変数)

　ν、 xを実2変数とする、第1種 雅各比関数P[ν，（-2.7，-0.4）]（x）のグラフ。ν = 1.7, 0.7, －0.3, －1.3, …では関数が定義されない。
　2番目は、－6 ≦ ν ≦ 2の範囲を拡大した場合。
  • 第1種雅各比関数のグラフ(実2変数)
  • 第1種雅各比関数のグラフ(実2変数)
  • 第1種雅各比関数のグラフ(実2変数)

アニメーション（270兆字节）
　x个を実変数とする、第1種 雅各比関数P[ν，（α，β）]（x）のグラフ。ただし実数α, βの組は、2番目の図の経路に沿って動く。
  • 第1種雅各比関数のグラフ(実変数:動画)
  • α,β経図

　z（z）を複変1種 雅各比関数P[2.7，（6.1，9.2）]（z）のグラフ。
  • 第1種雅各比関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種雅各比関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種雅各比関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種雅各比関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種雅各比関数のグラフ(複素変数)

　z（z）を複素変数とする、第1種 雅各比関数P[-5.9，（4.4，-5.3）]（z）のグラフ。
  • 第1種雅各比関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種雅各比関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種雅各比関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種雅各比関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種雅各比関関関関(複素変数)

　z（z）を複素変数とする、第1種 雅各比関数P[4.3＋3i，（－3.4＋7i，－3＋6i）]（z）のグラフ。
  • 第1種雅各比関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種雅各比関関関関(複素変数)
  • 第1種雅各比関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種雅各比関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種雅各比関数のグラフ(複素変数)

　z（z）を複素変数とする、第1種 雅各比関数P[－4.4＋5i，（6－3i，2.7－4i）]（z）のグラフ。
  • 第1種雅各比関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種雅各比関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種雅各比関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種雅各比関関関関(複（変）
  • 第1種雅各比関数のグラフ(複素変数)

　z（z）を複素変数とする、第1種 雅各比関数P[-7.7i，（-7i，-2.4＋8i）]（z）のグラフ。
  • 第1種雅各比関数のグラフ(複（変）
  • 第1種雅各比関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種雅各比関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種雅各比関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種雅各比関数のグラフ(複素変数)

アニメーション（17.8MB）
　z（z）を複素変数とする、第1種 雅各比関数P[2.7，（α，β）]（z）のグラフ。ただし実数α, βの組は、2番目の図の経路に沿って動く。
  • 第1種雅各比関数のグラフ(複素変数:動画)
  • α、 β経図

P[ν，（α，β）]（z）(変数ν)

　νを実変数とする、第1種 雅各比関数のグラフ。①P[ν，（1.6，3.3）]（x）。②P[ν，（-5.7，-0.8）]（x）。
  • 第1種雅各比関数のグラフ(実変ν)
  • 第1種雅各比関数のグラフ(実変数ν)

　νを複素変数とする、第1種 雅各比関数P[ν，（1.6，3.3）]（0.5）のグラフ。
  • 第1種雅各比関数のグラフ(複素変数ν)
  • 第1種雅各比関数のグラフ(複素変数ν)
  • 第1種雅各比関数のグラフ(複素変数ν)
  • 第1種雅各比関数のグラフ(複素変数ν)
  • 第1種雅各比関数のグラフ(複素変数ν)

　νを複素変数とする、第1種 雅各比関数P[ν，（-5.7，-0.8）]（0.1）のグラフ。
  • 第1種雅各比関数のグラフ(複変ν)
  • 第1種雅各比関数のグラフ(複素変数ν)
  • 第1種雅各比関数のグラフ(複素変数ν)
  • 第1種雅各比関数のグラフ(複素変数ν)
  • 第1種雅各比関数のグラフ(複素変数ν)

　νを複素変数とする、第1種 雅各比関数P[ν，（－5－i，－1＋3i）]（－0.5i）のグラフ。
  • 第1種雅各比関数のグラフ(複素変数μ）
  • 第1種雅各比関数のグラフ(複素変数ν)
  • 第1種雅各比関数のグラフ(複素変数ν)
  • 第1種雅各比関数のグラフ(複素変数μ）
  • 第1種雅各比関数のグラフ(複素変数ν)

P[ν，（α，β）]（z）(変数α)

　αを実変数とする、第1種 雅各比関数P[6.7，（α，4.6）]（x）のグラフ。
  • 第1種雅各比関数のグラフ(実変数α)

　α、 x个を実2変数とする、第1種 雅各比関数P[6.7，（α，4.6）]（x）のグラフ。α = －7.7, －8.7, －9.7, …では関数が定義されない。
  • 第1種雅各比関数のグラフ(実2変数α、 x）
  • 第1種雅各比関数のグラフ(実2変数α、 x）

　αを実変数とする、第1種 雅各比関数P[－3.2，（α，－3.7）]（x）のグラフ。
  • 第1種雅各比関数のグラフ(実変数α)

　α、 x个を実2変数とする、第1種 雅各比関数P[－3.2，（α，－3.7）]（x）のグラフ。α = 2.2, 1.2, 0.2, －0.8, －1.8, …では関数が定義されない。
  • 第1種雅各比関数のグラフ(実2変数α、 x）
  • 第1種雅各比関数のグラフ(実2変数α、 x）

　αを複素変数とする、第1種 雅各比関数P[6.7，（α，4.6）]（-0.8）のグラフ。
  • 第1種雅各比関数のグラフ(複素変数α)
  • 第1種雅各比関数のグラフ(複素変数α)
  • 第1種雅各比関数のグラフ(複素変数α)
  • 第1種雅各比関数のグラフ(複素変数α)
  • 第1種雅各比関数のグラフ(複素変数α)

　αを複素変数とする、第1種 雅各比関数P[－3＋i，（α，6－3i）]（－i）のグラフ。
  • 第1種雅各比関数のグラフ(複素変数α)
  • 第1種雅各比関数のグラフ(複素変数α)
  • 第1種雅各比関数のグラフ(複素変数α)
  • 第1種雅各比関数のグラフ(複素変数α)
  • 第1種雅各比関数のグラフ(複素変数α)

P[ν，（α，β）]（z）(変数β)

　βを実変数とする、第1種 雅各比関数P[5.3，（3.6，β）]（x）のグラフ。
  • 第1種雅各比関数のグラフ(実変数β)

　β、 x个を実2変数とする、第1種 雅各比関数P[5.3，（3.6，β）]（x）のグラフ。
  • 第1種雅各比関数のグラフ(実2変数β、 x）
  • 第1種雅各比関数のグラフ(実2変数β、 x）

　βを実変数とする、第1種 雅各比関数P[－1.2，（－7.7，β）]（x）のグラフ。
  • 第1種雅各比関数のグラフ(実変数β)

　β、 x个を実2変数とする、第1種 雅各比関数P[－1.2，（－7.7，β）]（x）のグラフ。
  • 第1種雅各比関関関関(実2変数β、 x）
  • 第1種雅各比関数のグラフ(実2変数β、 x）

　βを複素変数とする、第1種 雅各比関数P[－1.2，（－7.7，β）]（－0.3）のグラフ。
  • 第1種雅各比関数のグラフ(複素変数β)
  • 第1種雅各比関数のグラフ(複素変数β)
  • 第1種雅各比関数のグラフ(複素変数β)
  • 第1種雅各比関数のグラフ(複素変数β)
  • 第1種雅各比関数のグラフ(複素変数β)

　βを複素変数とする、第1種 雅各比関数P[5＋i，（－3＋8i，β）]（－1＋i）のグラフ。
  • 第1種雅各比関関関関(複素変数β)
  • 第1種雅各比関数のグラフ(複素変数β)
  • 第1種雅各比関数のグラフ(複素変数β)
  • 第1種雅各比関数のグラフ(複素変数β)
  • 第1種雅各比関数のグラフ(複素変数β)

P[ν，（α，β）]（z）(変数ν,α)

　ν, αを実2変数とする、第1種 雅各比関数P[γ，（α，2.3）]（0.5）のグラフ。
  • 第1種雅各比関数のグラフ(実2変数ν,α)
  • 第1種雅各比関数のグラフ(実2変数ν,α)

　ν, αを実2変とする、1種 雅各比関数P[ν，（α，2.3）]（-0.3）のグラフ。
  • 第1種雅各比関数のグラフ(実2変数ν,α)
  • 第1種雅各比関数のグラフ(実2変数ν,α)

　ν, αを実2変数とする、第1種 雅各比関数P[ν，（α，－2.3）]（0.5）のグラフ。
  • 第1種雅各比関数のグラフ(実2変数ν,α)
  • 第1種雅各比関数のグラフ(実2変数ν,α)

　ν, αを実2変数とする、第1種 雅各比関数P[ν，（α，－2.3）]（－0.3）のグラフ。
  • 第1種雅各比関数のグラフ(実2変数ν、 α）
  • 第1種雅各比関数のグラフ(実2変数ν,α)

P[ν，（α，β）]（z）(変数ν,β)

　ν, βを実2変数とする、第1種 雅各比関数P[ν，（1.2，β）]（0.5）のグラフ。
  • 第1種雅各比関数のグラフ(実2変数ν,β)
  • 第1種雅各比関数のグラフ(実2変数ν,β)

　ν, βを実2変数とする、第1種 雅各比関数P[ν，（1.2，β）]（-0.3）のグラフ。
  • 第1種雅各比関数のグラフ(実2変数ν,β)
  • 第1種雅各比関数のグラフ(実2変数ν,β)

　ν, βを実2変数とする、第1種 雅各比関数P[ν，（-1.2，β）]（0.5）のグラフ。
  • 第1種雅各比関数のグラフ(実2変数ν,β)
  • 第1種雅各比関数のグラフ(実2変数ν,β)

　ν, βを実2変数とする、第1種 雅各比関数P[ν，（-1.2，β）]（-0.3）のグラフ。
  • 第1種雅各比関数のグラフ(実2変数ν,β)
  • 第1種雅各比関数のグラフ(実2変数ν,β)

Q[ν，（α，β）]（z）

　x个を実変数とする、第2種 雅各比関数のグラフ。①整数次Q[n，（2.7,0.4）]（x）。②実数次Q[ν，（2.7,0.4）]（x）。
  • 第2種雅各比関数のグラフ(実変数)
  • 第2種雅各比関数のグラフ(実変数)

　ν、 x个を実2変数とする、第2種 雅各比関数Q[ν，（2.7,0.4）]（x）のグラフ。ν = －3.7, －4.7, －5.7, …およびν = －1.4, －2.4, －3.4, …では関数が定義されない。
　2番目は、－8 ≦ ν ≦－1の範囲を拡大した場合。
  • 第2種雅各比関数のグラフ(実2変数)
  • 第2種雅各比関数のグラフ(実2変）
  • 第2種雅各比関数のグラフ(実2変数)

　x个を実変数とする、第2種 雅各比関数のグラフ。①整数次Q[n，（－0.4，2.7）]（x）。②実数次Q[ν，（－0.4，2.7）]（x）。
  • 第2種雅各比関数のグラフ(実変数)
  • 第2種雅各比関数のグラフ(実変数)

　ν、 x个を実2変数とする、第2種 雅各比関数Q[ν，（－0.4，2.7）]（x）のグラフ。ν = －0.6, －1.6, －2.6, …およびν = －3.7, －4.7, －5.7, …では関数が定義されない。
　2番目は、－7 ≦ ν ≦ 0の範囲を拡大した場合。
  • 第2種雅各比関数のグラフ(実2変数)
  • 第2種雅各比関数のグラフ(実2変数)
  • 第2種雅各比関数のグラフ(実2変数)

　x个を実変数とする、第2種 雅各比関数のグラフ。①整数次Q[n，（0.4，－2.7）]（x）。②実Q[ν，（0.4，－2.7）]（x）。
  • 第2種雅各比関数のグラフ(実変数)
  • 第2種雅各比関数のグラフ(実変数)

　ν、 x个を実2変数とする、第2種 雅各比関数Q[ν，（0.4，－2.7）]（x）のグラフ。ν = －1.4, －2.4, －3.4, …およびν = 1.7, 0.7, －0.3, －1.3, …では関数が定義されない。
　2番目は、－5 ≦ ν ≦ 2の範囲を拡大した場合。
  • 第2種雅各比関数のグラフ(実2変数)
  • 第2種雅各比関関関関(実2変数)
  • 第2種雅各比関数のグラフ(実2変数)

　x个を実変数とする、第2種 雅各比関数のグラフ。①整数次Q[n，（-2.7，-0.4）]（x）。②実数次Q[ν，（-2.7，-0.4）]（x）。
  • 第2種雅各比関数のグラフ(実変数)
  • 第2種雅各比関数のグラフ(実変数)

　ν、 x个を実2変数とする、第2種 雅各比関数Q[ν，（-2.7，-0.4）]（x）のグラフ。ν = －0.6, －1.6, －2.6, …およびν = 1.7, 0.7, －0.3, －1.3, …では関数が定義されない。
　2番目は、－5 ≦ ν ≦ 2の範囲を拡大した場合。
  • 第2種雅各比関数のグラフ(実2変数)
  • 第2種雅各比関数のグラフ(実2変数)
  • 第2種雅各比関数のグラフ(実2変数)

　z（z）を複素変数とする、第2種 雅各比関数Q[2.7，（6.1，9.2）]（z）我的爱人
  • 第2種雅各比関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種雅各比関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種雅各比関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種雅各比関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種雅各比関数のグラフ(複素変数)

　z（z）を複素変数とする、第2種 雅各比関数Q[-5.9，（4.4，-5.3）]（z）のグラフ。
  • 第2種雅各比関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種雅各比関数のグラフ(複（変）
  • 第2種雅各比関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種雅各比関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種雅各比関数のグラフ(複素変数)

　z（z）を複素変数とする、第2種 雅各比関数Q[4.3＋3i，（－3.4＋7i，－3＋6i）]（z）のグラフ。
  • 第2種雅各比関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種雅各比関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種雅各比関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種雅各比関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種雅各比関数のグラフ(複素変数)

　z（z）を複素変数とする、第2種 雅各比関数Q[－4.4＋5i，（6－3i，2.7－4i）]（z）のグラフ。
  • 第2種雅各比関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種雅各比関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種雅各比関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種雅各比関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種雅各比関数のグラフ(複素変数)

　z（z）を複変2種 雅各比関数Q[-7.7i，（-7i，-2.4＋8i）]（z）のグラフ。
  • 第2種雅各比関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種雅各比関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種雅各比関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種雅各比関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種雅各比関数のグラフ(複素変数)

アニメーション（185MB）
　z（z）を複素変数とする、第2種 雅各比関数Q[2.7，（α，β）]（z）のグラフ。ただし実数α、 βの組は、2番目の図の経路に沿って動く。
  • 第2種雅各比関数のグラフ(複素変数:動画)
  • α,βの経路図

Q[ν，（α，β）]（z）(変数ν)

　νを実変数とする、第2種 雅各比関数のグラフ。①Q[ν，（1.6，3.3）]（x）。②Q[ν，（-5.7，-0.8）]（x）。
  • 第2種雅各比関数のグラフ(実変数ν)
  • 第2種雅各比関数のグラフ(実変数ν)

　νを複素変数とする、第2種 雅各比関数Q[ν，（1.6，3.3）]（0.5）のグラフ。
  • 第2種雅各比関数のグラフ(複素変数ν)
  • 第2種雅各比関数のグラフ(複素変数ν)
  • 第2種雅各比関数のグラフ(複素変数ν)
  • 第2種雅各比関数のグラフ(複素変数ν)
  • 第2種雅各比関数のグラフ(複素変数ν)

　νを複素変数とする、第2種 雅各比関数Q[ν，（-5.7，-0.8）]（0.1）のグラフ。
  • 第2種雅各比関数のグラフ(複素変数ν)
  • 第2種雅各比関数のグラフ(複素変数ν)
  • 第2種雅各比関数のグラフ(複素変数ν)
  • 第2種雅各比関数のグラフ(複素変数ν)
  • 第2種雅各比関数のグラフ(複素変数ν)

　νを複素変数とする、第2種 雅各比関数Q[ν，（－5－i，－1＋3i）]（－0.5i）のグラフ。
  • 第2種雅各比関数のグラフ(複素変数ν)
  • 第2種雅各比関数のグラフ(複素変数ν)
  • 第2種雅各比関数のグラフ(複素変数ν)
  • 第2種雅各比関数のグラフ(複素変数ν)
  • 第2種雅各比関数のグラフ(複素変数ν)

Q[ν，（α，β）]（z）(変数α)

　αを実変数とする、第2種 雅各比関数Q[6.7，（α，4.6）]（x）のグラフ。
  • 第2種雅各比関数のグラフ(実変数α)

　α、 x个を実2変数とする、第2種 雅各比関数Q[6.7，（α，4.6）]（x）のグラフ。α = －7.7, －8.7, －9.7, …では関数が定義されない。
  • 第2種雅各比関数のグラフ(実2変数α、 x）
  • 第2種雅各比関数のグラフ(実2変数α、 x）

　αを実変数とする、第2種 雅各比関数Q[－3.2，（α，－3.7）]（x）のグラフ。
  • 第2種雅各比関数のグラフ(実変数α)

　α、 x个を実2変数とする、第2種 雅各比関数Q[－3.2，（α，－3.7）]（x）のグラフ。α = 2.2, 1.2, 0.2, －0.8, －1.8, …では関数が定義されない。
  • 第2種雅各比関数のグラフ(実2変数α、 x）
  • 第2種雅各比関数のグラフ(実2変数α、 x）

　αを複素変数とする、第2種 雅各比関数Q[6.7，（α，4.6）]（-0.8）のグラフ。
  • 第2種雅各比関数のグラフ(複素変数α)
  • 第2種雅各比関数のグラフ(複素変数α)
  • 第2種雅各比関数のグラフ(複素変数α)
  • 第2種雅各比関数のグラフ(複素変数α)
  • 第2種雅各比関数のグラフ(複素変数α)

　αを複素変数とする、第2種 雅各比関数Q[－3＋i，（α，6－3i）]（－i）のグラフ。
  • 第2種雅各比関数のグラフ(複素変数α)
  • 第2種雅各比関数のグラフ(複素変数α)
  • 第2種雅各比関数のグラフ(複素変数α)
  • 第2種雅各比関数のグラフ(複素変数α)
  • 第2種雅各比関数のグラフ(複素変数α)

Q[ν，（α，β）]（z）(変数β)

　βを実変数とする、第2種 雅各比関数Q[5.3，（3.6，β）]（x）のグラフ。
  • 第2種雅各比関数のグラフ(実変数β)

　β、 x个を実2変数とする、第2種 雅各比関数Q[5.3，（3.6，β）]（x）のグラフ。β = －6.3, －7.3, －8.3, …では関数が定義されない。
  • 第2種雅各比関数のグラフ(実2変数β、 x）
  • 第2種雅各比関数のグラフ(実2変数β、 x）

　βを実変数とする、第2種 雅各比関数Q[－1.2，（－7.7，β）]（x）のグラフ。
  • 第2種雅各比関数のグラフ(実変数β)

　β、 x个を実2変数とする、第2種 雅各比関数Q[－1.2，（－7.7，β）]（x）のグラフ。β = 0.2, －0.8, －1.8, …では関数が定義されない。
  • 第2種雅各比関数のグラフ(実2変数β、 x）
  • 第2種雅各比関数のグラフ(実2変数β、 x）

　βを複素変数とする、第2種 雅各比関数Q[－1.2，（－7.7，β）]（－0.3）のグラフ。
  • 第2種雅各比関数のグラフ(複素変数β)
  • 第2種雅各比関数のグラフ(複素変数β)
  • 第2種雅各比関数のグラフ(複素変数β)
  • 第2種雅各比関数のグラフ(複素変数β)
  • 第2種雅各比関数のグラフ(複素変数β)

　βを複素変数とする、第2種 雅各比関数Q[5＋i，（－3＋8i，β）]（－1＋i）のグラフ。
  • 第2種雅各比関数のグラフ(複素変数β)
  • 第2種雅各比関数のグラフ(複素変数β)
  • 第2種雅各比関数のグラフ(複素変数β)
  • 第2種雅各比関数のグラフ(複素変数β)
  • 第2種雅各比関数のグラフ(複素変数β)

Q[ν，（α，β）]（z）(変数ν,α)

　ν, αを実2変数とする、第2種 雅各比関数Q[ν，（α，2.3）]（0.5）のグラフ。
  • 第2種雅各比関数のグラフ(実2変数ν,α)
  • 第2種雅各比関数のグラフ(実2変数ν,α)

　ν, αを実2変数とする、第2種 雅各比関数Q[ν，（α，2.3）]（-0.3）のグラフ。
  • 第2種雅各比関数のグラフ(実2変数ν,α)
  • 第2種雅各比関数のグラフ(実2変数ν,α)

　ν, αを実2変数とする、第2種 雅各比関数Q[ν，（α，－2.3）]（0.5）のグラフ。
  • 第2種雅各比関数のグラフ(実2変数ν,α)
  • 第2種雅各比関数のグラフ(実2変数ν,α)

　ν, αを実2変数とする、第2種 雅各比関数Q[ν，（α，－2.3）]（－0.3）のグラフ。
  • 第2種雅各比関数のグラフ(実2変数ν,α)
  • 第2種雅各比関数のグラフ(実2変数ν,α)

Q[ν，（α，β）]（z）(変数ν,β)

　ν, βを実2変数とする、第2種 雅各比関数Q[ν，（1.2，β）]（0.5）のグラフ。
  • 第2種雅各比関数のグラフ(実2変数ν,β)
  • 第2種雅各比関数のグラフ(実2変数ν,β)

　ν, βを実2変数とする、第2種 雅各比関数Q[ν，（1.2，β）]（-0.3）のグラフ。
  • 第2種雅各比関数のグラフ(実2変数ν,β)
  • 第2種雅各比関数のグラフ(実2変数ν,β)

　ν, βを実2変数とする、第2種 雅各比関数Q[ν，（-1.2，β）]（0.5）のグラフ。
  • 第2種雅各比関数のグラフ(実2変数ν,β)
  • 第2種雅各比関数のグラフ(実2変数ν,β)

　ν, βを実2変数とする、第2種 雅各比関数Q[ν，（-1.2，β）]（-0.3）のグラフ。
  • 第2種雅各比関数のグラフ(実2変数ν,β)
  • 第2種雅各比関数のグラフ(実2変数ν,β)

P[ν，（α，β）]（z）とQ[ν，（α，β）]（z）の関係

　余弦･正弦関数に類似したP[ν，（α，β）]（x）とQ[ν，（α，β）]（x）の関係。このとき、両者の包絡線は±平方[P[ν，（α，β）]（x）^2＋Q[νとなる。
  • 第1種･第2種雅各比関数の関係(実変数)
  • 第1種･第2種雅各比関数の関係(実変数)
  • 第1種･第2種雅各比関数の関係(実変数)
  • 第1種･第2種雅各比関数の関係(実変数)
  • 第1種･第2種雅各比関数の関係(実変数ν)
  • 第1種･第2種雅各比関数の関係(実変数α)
  • 第1種･第2種雅各比関数の関係(実変数β)
  • 第1種･第2種雅各比関数の関係(実2変数ν、 x）
  • 第1種･第2種雅各比関数の関係(実2変数ν、 x）
  • 第1種･第2種雅各比関数の関係(実2変数ν、 x）
  • 第1種･第2種雅各比関数の関係(実2変数ν、 x）
  • 第1種･第2種雅各比関数の関係(実2変数ν,α)
  • 第1種･第2種雅各比関数の関係(実2変数ν,β)

Qf[ν，（α，β）]（z）

　x个を実変数とする、第2種 雅各比関数のグラフ。①整数次Qf[n，（2.7,0.4）]（x）。②実数次Qf[ν，（2.7,0.4）]（x）。
  • 第2種雅各比関数のグラフ(実変数)
  • 第2種雅各比関数のグラフ(実変数)

　x个を実変数とする、第2種 雅各比関数のグラフ。①整数次Qf[n，（－0.4，2.7）]（x）。②実数次Qf[ν，（-0.4,2.7）]（x）。
  • 第2種雅各比関数のグラフ(実変数)
  • 第2種雅各比関数のグラフ(実変数)

　x个を実変数とする、第2種 雅各比関数のグラフ。①整数次Qf[n，（0.4，－2.7）]（x）。②実数次Qf[ν，（0.4，－2.7）]（x）。
  • 第2種雅各比関数のグラフ(実変数)
  • 第2種雅各比関数のグラフ(実変数)

　x个を実変数とする、第2種 雅各比関数のグラフ。①整数次Qf[n，（-2.7，-0.4）]（x）。②実数次Qf[ν，（-2.7，-0.4）]（x）。
  • 第2種雅各比関数のグラフ(実変数)
  • 第2種雅各比関数のグラフ(実変数)

　z（z）を複素変数とする、第2種 雅各比関数Qf[2.7，（6.1，9.2）]（z）のグラフ。
  • 第2種雅各比関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種雅各比関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種雅各比関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種雅各比関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種雅各比関数のグラフ(複素変数)

　z（z）を複素変数とする、第2種 雅各比関数Qf[-4.4＋5i，（6－3i，2.7－4i）]（z）のグラフ。
  • 第2種雅各比関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種雅各比関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種雅各比関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種雅各比関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種雅各比関数のグラフ(複素変数)

Qh[ν，（α，β）]（z）

　x个を実変数とする、第2種 雅各比関数のグラフ。いずれも実数次であって、①Qh[ν，（2.7,0.4）]（x）。②Qh[ν，（-0.4,2.7）]（x）。③Qh[ν，（0.4，－2.7）]（x）。④Qh[ν，（-0.4，-2.7）]（x）。
  • 第2種雅各比関数のグラフ(実変数)
  • 第2種雅各比関数のグラフ(実変数)
  • 第2種雅各比関数のグラフ(実変数)
  • 第2種雅各比関数のグラフ(実変数)

　z（z）を複素変数とする、第2種 雅各比関数Qh[2.7，（6.1，9.2）]（z）のグラフ。
  • 第2種雅各比関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種雅各比関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種雅各比関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種雅各比関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種雅各比関数のグラフ(複素変数)

　z（z）を複素変数とする、第2種 雅各比関数Qh[-5.9，（4.4，-5.3）]（z）のグラフ。
  • 第2種雅各比関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種雅各比関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種雅各比関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種雅各比関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種雅各比関数のグラフ(複素変数)

　z（z）を複素変数とする、第2種 雅各比関数Qh[－4.4＋5i，（6－3i，2.7－4i）]（z）のグラフ。
  • 第2種雅各比関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種雅各比関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種雅各比関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種雅各比関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種雅各比関数のグラフ(複素変数)

アニメーション（204MB）
　z（z）を複素変数とする、第2種 雅各比関数Qh[2.7，（α，β）]（z）のグラフ。ただし実数α, βの組は、2番目の図の経路に沿って動く。
  • 第2種雅各比関数のグラフ(複素変数:動画)
  • α,βの経路図

Qh[ν，（α，β）]（z）(変数ν)

　νを複素変数とする、第2種 雅各比関数Qh[ν，（-5.7，-0.8）]（0.1）のグラフ。
  • 第2種雅各比関数のグラフ(複素変数ν)
  • 第2種雅各比関数のグラフ(複素変数ν)
  • 第2種雅各比関数のグラフ(複素変数ν)
  • 第2種雅各比関数のグラフ(複素変数ν)
  • 第2種雅各比関数のグラフ(複素変数ν)

　νを複素変数とする、第2種 雅各比関数Qh[ν，（－5－i，－1＋3i）]（－0.5i）のグラフ。
  • 第2種雅各比関数のグラフ(複素変数ν)
  • 第2種雅各比関数のグラフ(複素変数ν)
  • 第2種雅各比関数のグラフ(複素変数ν)
  • 第2種雅各比関数のグラフ(複素変数ν)
  • 第2種雅各比関数のグラフ(複素変数ν)

Qh[ν，（α，β）]（z）(変数α)

　αを複素変数とする、第2種 雅各比関数Qh[6.7，（α，4.6）]（-0.8）のグラフ。
  • 第2種雅各比関数のグラフ(複素変数α)
  • 第2種雅各比関数のグラフ(複素変数α)
  • 第2種雅各比関数のグラフ(複素変数α)
  • 第2種雅各比関数のグラフ(複素変数α)
  • 第2種雅各比関数のグラフ(複素変数α)

　αを複素変数とする、第2種 雅各比関数Qh[－3＋i，（α，6－3i）]（－i）のグラフ。
  • 第2種雅各比関数のグラフ(複素変数α)
  • 第2種雅各比関数のグラフ(複素変数α)
  • 第2種雅各比関数のグラフ(複素変数α)
  • 第2種雅各比関数のグラフ(複素変数α)
  • 第2種雅各比関数のグラフ(複素変数α)

Qh[ν，（α，β）]（z）(変数β)

　βを複素変数とする、第2種 雅各比関数Qh[－1.2，（－7.7，β）]（－0.3）のグラフ。
  • 第2種雅各比関数のグラフ(複素変数β)
  • 第2種雅各比関数のグラフ(複素変数β)
  • 第2種雅各比関数のグラフ(複素変数β)
  • 第2種雅各比関数のグラフ(複素変数β)
  • 第2種雅各比関数のグラフ(複素変数β)

　βを複素変数とする、第2種 雅各比関数Qh[－2－3i，（－8＋2i，β）]（－0.7＋0.1i）のグラフ。
  • 第2種雅各比関数のグラフ(複素変数β)
  • 第2種雅各比関数のグラフ(複素変数β)
  • 第2種雅各比関数のグラフ(複素変数β)
  • 第2種雅各比関数のグラフ(複素変数β)
  • 第2種雅各比関数のグラフ(複素変数β)

雅各比関数（正規化）

　雅各比多項式P[n，（α，β）]（x）は、直交区間を[－1, 1]とする直交多項式であり、重み関数を伴う直交性
  • 雅各比多項式の直交性
を持っている。拡張された球面調和関数などの応用事例では、上記にx=cos（θ）の置換積分を施した
  • 雅各比多項式の直交性(余弦関数置換)
がしばしば必要になる。
もし、前節で触れたG[n]（p，q，x）を 雅各比多項式とするならば、その直交区間は[0, 1]となり、
  • 雅各比多項式（G）の直交性
なる直交性を持つ直交多項式となる。
　雅各比\38917年(次数n个以外のパラメーター) が２個ある唯一のものである。
　当サイトでは 雅各比関数に対しても、独自に
  • 正規化雅各比関数
を導入し、正規化 雅各比関数と呼ぶ※1。よって、{Pn[n，（α，β）]（x）}（n∈n≥0）は正規直交関数系を成すとともに、重み関数が現れない直交性
  • 正規化雅各比多項式の直交性
を満たす。

【註記】
　※1：関数記号は正規化 （规范化）に基づく。また、当サイトではν, α, βおよびz（z）を複素数まで許容する。他の直交多項式と同様に、A（ν，α，β）を対数ガンマ関数で表示しているのは、ν, α, βを複素変数とする場合に解析接続が考慮されるようにするためである。

Pn[ν，（α，β）]（z）

　x个を実変数とする、正規化 雅各比関数のグラフ。①整数次Pn【n，（2.7，0.4）】（x）。②実数次Pn[ν，（2.7,0.4）]（x）。
  • 正規化雅各比関数のグラフ(実変数)
  • 正規化雅各比関数のグラフ(実変数)

　ν、 x个を実2変数とする、正規化 雅各比関数Pn[ν，（2.7,0.4）]（x）のグラフ。ν ＜ －1では関数が実数値を取らない帯状領域がある。
  • 正規化雅各比関数のグラフ(実2変数)
  • 正規化雅各比関数のグラフ(実2変数)

　x个を実変数とする、正規化 雅各比関数のグラフ。①整数次Pn[n，（－0.4，2.7）]（x）。②実数次Pn[ν，（-0.4,2.7）]（x）。
  • 正規化雅各比関数のグラフ(実変数)
  • 正規化雅各比関数のグラフ(実変数)

　ν、 x个を実2変数とする、正規化 雅各比関数Pn[ν，（-0.4,2.7）]（x）我的爱人ν ≦ －0.6では関数が実数値を取らない帯状領域がある。
  • 正規化雅各比関数のグラフ(実2変数)
  • 正規化雅各比関数のグラフ(実2変数)

　x个を実変数とする、正規化 雅各比関数のグラフ。①整数次Pn[n，（0.4，－2.7）]（x）。②実数次Pn[ν，（0.4，－2.7）]（x）。
  • 正規化雅各比関数のグラフ(実変数)
  • 正規化雅各比関数のグラフ(実変数)

　ν、 x个を実2変数とする、正規化 雅各比関数Pn[ν，（0.4，－2.7）]（x）のグラフ。ν ＜ 1.7では関数が実数値を取らない帯状領域がある。
  • 正規化雅各比関数のグラフ(実2変数)
  • 正規化雅各比関数のグラフ(実2変数)

　x个を実変数とする、正規化 雅各比関数のグラフ。①整数次Pn[n，（-2.7，-0.4）]（x）。②実数次Pn[ν，（-2.7，-0.4）]（x）。
  • 正規化雅各比関数のグラフ(実変数)
  • 正規化雅各比関数のグラフ(実変数)

　ν、 x个を実2変数とする、正規化 雅各比関数Pn[ν，（-2.7，-0.4）]（x）のグラフ。ν ≦ 2.1では関数が実数値を取らない帯状領域がある。
  • 正規化雅各比関数のグラフ(実2変数)
  • 正規化雅各比関数のグラフ(実2変数)

　z（z）を複素変数とする、正規化 雅各比関数Pn[2.7，（6.1，9.2）]（z）のグラフ。
  • 正規化雅各比関数のグラフ(複素変数)
  • 正規化雅各比関数のグラフ(複素変数)
  • 正規化雅各比関数のグラフ(複素変数)
  • 正規化雅各比関数のグラフ(複素変数)
  • 正規化雅各比関数のグラフ(複素変数)

　z（z）を複素変数とする、正規化 雅各比関数Pn[-5.9，（4.4，-5.3）]（z）のグラフ。
  • 正規化雅各比関数のグラフ(複素変数)
  • 正規化雅各比関数のグラフ(複素変数)
  • 正規化雅各比関数のグラフ(複素変数)
  • 正規化雅各比関数のグラフ(複素変数)
  • 正規化雅各比関数のグラフ(複素変数)

　z（z）を複素変数とする、正規化 雅各比関数Pn[4.3＋3i，（－3.4＋7i，－3＋6i）]（z）のグラフ。
  • 正規化雅各比関数のグラフ(複素変数)
  • 正規化雅各比関数のグラフ(複素変数)
  • 正規化雅各比関数のグラフ(複素変数)
  • 正規化雅各比関数のグラフ(複素変数)
  • 正規化雅各比関数のグラフ(複素変数)

　z（z）を複素変数とする、正規化 雅各比関数Pn[-7.7i，（-7i，-2.4＋8i）]（z）のグラフ。
  • 正規化雅各比関数のグラフ(複素変数)
  • 正規化雅各比関数のグラフ(複素変数)
  • 正規化雅各比関数のグラフ(複素変数)
  • 正規化雅各比関数のグラフ(複素変数)
  • 正規化雅各比関数のグラフ(複素変数)

Pn[ν，（α，β）]（z）(変数ν)

　νを実変数とする、正規化 雅各比関数のグラフ。①Pn[ν，（1.6，3.3）]（x）。②Pn[ν，（-5.7，-0.8）]（x）。
  • 正規化雅各比関数のグラフ(実変数ν)
  • 正規化雅各比関数のグラフ(実変数ν)

　νを複素変数とする、正規化 雅各比関数Pn[ν，（1.6，3.3）]（0.5）のグラフ。
  • （印度）雅各比関数のグラフ(複素変数ν)
  • 正規化雅各比関数のグラフ(複素変数ν)
  • 正規化雅各比関数のグラフ(複素変数ν)
  • 正規化雅各比関数のグラフ(複素変数ν)
  • 正規化雅各比関数のグラフ(複素変数ν)

　νを複素変数とする、正規化 雅各比関数Pn[ν，（-5.7，-0.8）]（0.1）のグラフ。
  • 正規化雅各比関数のグラフ(複素変数ν)
  • 正規化雅各比関数のグラフ(複素変数ν)
  • 正規化雅各比関数のグラフ(複素変数ν)
  • 正規化雅各比関数のグラフ(複素変数ν)
  • 正規化雅各比関数のグラフ(複素変数ν)

　νを複素変数とする、正規化 雅各比関数Pn[ν，（－5－i，－1＋3i）]（－0.5i）のグラフ。
  • 正規化雅各比関数のグラフ(複素変数ν)
  • 正規化雅各比関数のグラフ(複素変数ν)
  • 正規化雅各比関数のグラフ(複素変数ν)
  • 正規化雅各比関数のグラフ(複素変数ν)
  • 正規化雅各比関数のグラフ(複素変数ν)

Pn[ν，（α，β）]（z）(変数α)

　αを実変数とする、正規化 雅各比関数Pn[6.7，（α，4.6）]（x）のグラフ。
  • 正規化雅各比関数のグラフ(実変数α)

　α、 x个を実2変数とする、正規化 雅各比関数Pn[6.7，（α，4.6）]（x）のグラフ。α ≦ －7.7では関数が実数値を取らない帯状領域がある。
  • 正規化雅各比関数のグラフ(実2変数α)
  • 正規化雅各比関数のグラフ(実2変数α)

　αを実変数とする、正規化 雅各比関数Pn[-3.2，（α，-3.7）]（x）のグラフ。α ＞ 9.1では関数が実数値を取らない。
  • 正規化雅各比関数のグラフ(実変数α)

　α、 x个を実2変数とする、正規化 雅各比関数Pn[-3.2，（α，-3.7）]（x）のグラフ。α ≦ 5.9では関数が実数値を取らない帯状領域がある。
  • 正規化雅各比関数のグラフ(実2変数α)
  • 正規化雅各比関数のグラフ(実2変数α)

　αを複素変数とする、正規化 雅各比関数Pn[6.7，（α，4.6）]（-0.8）のグラフ。
  • 正規化雅各比関数のグラフ(複素変数α)
  • 正規化雅各比関数のグラフ(複素変数α)
  • 正規化雅各比関数のグラフ(複素変数α)
  • 正規化雅各比関数のグラフ(複素変数α)
  • 正規化雅各比関数のグラフ(複素変数α)

　αを複素変数とする、正規化 雅各比関数Pn[－3＋i，（α，6－3i）]（－i）のグラフ。
  • 正規化雅各比関数のグラフ(複素変数α)
  • 正規化雅各比関数のグラフ(複素変数α)
  • 正規化雅各比関数のグラフ(複素変数α)
  • 正規化雅各比関数のグラフ(複素変数α)
  • 正規化雅各比関数のグラフ(複素変数α)

Pn[ν，（α，β）]（z）(変数β)

　βを実変数とする、正規化 雅各比関数Pn[5.3，（3.6，β）]（x）のグラフ。
  • 正規化雅各比関数のグラフ(実変数β)

　β、 x个を実2変数とする、正規化 雅各比関数Pn[5.3，（3.6，β）]（x）のグラフ。β ＜ －6.3では関数が実数値を取らない帯状領域がある。
  • 正規化雅各比関数のグラフ(実2変数β)
  • 正規化雅各比関数のグラフ(実2変数β)

　βを実変数とする、正規化 雅各比関数Pn[－1.2，（－7.7，β）]（x）のグラフ。β ＞ 9.1では関数が実数値を取らない。
  • 正規化雅各比関数のグラフ(実変数β)

　β、 x个を実2変数とする、正規化 雅各比関数Pn[－1.2，（－7.7，β）]（x）のグラフ。β ＜ 7.9では関数が実数値を取らない帯状領域がある。
  • 正規化雅各比関数のグラフ(実2変数β)
  • 正規化雅各比関数のグラフ(実2変数β)

　βを複素変数とする、正規化 雅各比関数Pn[－1.2，（－7.7，β）]（－0.3）のグラフ。
  • 正規化雅各比関数のグラフ(複素変数β)
  • 正規化雅各比関数のグラフ(複素変数β)
  • 正規化雅各比関数のグラフ(複素変数β)
  • 正規化雅各比関数のグラフ(複素変数β)
  • 正規化雅各比関数のグラフ(複素変数β)

　βを複素変数とする、正規化 雅各比関数Pn[5＋i，（－3＋8i，β）]（－1＋i）のグラフ。
  • 正規化雅各比関数のグラフ(複素変数β)
  • 正規化雅各比関数のグラフ(複素変数β)
  • 正規化雅各比関数のグラフ(複素変数β)
  • 正規化雅各比関数のグラフ(複素変数β)
  • 正規化雅各比関数のグラフ(複素変数β)

Pn[ν，（α，β）]（z）(変数ν,α)

　ν, αを実2変数とする、正規化 雅各比関数Pn[ν，（α，2.3）]（0.5）のグラフ。
  • 正規化雅各比関数のグラフ(実2変数ν,α)
  • 正規化雅各比関数のグラフ(実2変数ν,α)

　ν, αを実2変数とする、正規化 雅各比関数Pn[ν，（α，2.3）]（-0.3）のグラフ。
  • 正規化雅各比関数のグラフ(実2変数ν、 α）
  • 正規化雅各比関数のグラフ(実2変数ν,α)

　ν, αを実2変数とする、正規化 雅各比関数Pn[ν，（α，－2.3）]（0.5）のグラフ。
  • 正規化雅各比関数のグラフ(実2変数ν,α)
  • 正規化雅各比関数のグラフ(実2変数ν,α)

　ν, αを実2変数とする、正規化 雅各比関数Pn[ν，（α，－2.3）]（－0.3）のグラフ。
  • 正規化雅各比関数のグラフ(実2変数ν,α)
  • 正規化雅各比関数のグラフ(実2変数ν,α)

Pn[ν，（α，β）]（z）(変数ν,β)

　ν, βを実2変数とする、正規化 雅各比関数Pn[ν，（1.2，β）]（0.5）のグラフ。
  • 正規化雅各比関数のグラフ(実2変数ν,β)
  • 正規化雅各比関数のグラフ(実2変数ν,β)

　ν, βを実2変数とする、正規化 雅各比関数Pn[ν，（1.2，β）]（-0.3）のグラフ。
  • 正規化雅各比関数のグラフ(実2変数ν,β)
  • 正規化雅各比関数のグラフ(実2変数ν,β)

　ν, βを実2変数とする、正規化 雅各比関数Pn[ν，（-1.2，β）]（0.5）のグラフ。
  • 正規化雅各比関数のグラフ(実2変数ν,β)
  • 正規化雅各比関数のグラフ(実2変数ν、 β）

　ν, βを実2変数とする、正規化 雅各比関数Pn[ν，（-1.2，β）]（-0.3）のグラフ。
  • 正規化雅各比関数のグラフ(実2変数ν,β)
  • 正規化雅各比関数のグラフ(実2変数ν,β)

泽尼克関数

日：泽尼克関数，ゼルニケ関数
英：Zernike函数，仏：泽尼克功能，独：Zernikesche funktion公司

　泽尼克関数は、第1種 雅各比関数を用いた表示式
  • 泽尼克関数
で定義される※1。一般に 泽尼克関数は、ρ = ±1, ∞を第1種 雅各比関数に由来する対数分岐点、ρ = 0をρ^μに由来する分岐点とし、実軸上の区間(－∞, 0)および[1, ∞)に分枝切断線が置かれる (特にμ∈Zのときは、実軸上の区間(－∞, －1]および[1, ∞)に分枝切断線が置かれる)。
　泽尼克関数は、νに関する線形漸化式および微分漸化式
  • 泽尼克関数の次数νに関する漸化式
を満たす。また、ν、 μ，ρ∈Rとするとき、積分表示式
  • 泽尼克関数の積分表示式
で表わせる。
　後述のとおり、応用ではR[ν，μ]（ρ）を動径方向の関数と考え、方位角φ方向の因子を三角関数とした、
  • 円板上の泽尼克関数
が定義される。当サイトでは、これを ｢円板上の 泽尼克関数｣ と呼ぶことにする。
　R[ν，μ]（ρ）およびZ[ν，μ]（ρ，φ）のうち、実際に応用面で重要となるのは、専らν=n∈Z,μ=m∈Zで、しかもn－m∈偶数≥Abs（m）となる場合に限られる。このとき、R[n，m]（ρ）は前述の分枝切断線が消失して多項式となるので、泽尼克多項式と呼ばれる。また、Z[n，m]（ρ，φ）を ｢円板上の 泽尼克多項式｣ と呼ぶことにする。
　泽尼克多項式は、母関数表示式および 罗德里格斯岛の公式※2
  • 泽尼克多項式の母関数表示式および罗德里格斯の公式
で表わせる他、超幾何関数表示式および明示的な多項式
  • 泽尼克多項式の明示式
によっても表わせる。(実は、冒頭に掲げた定義式に現れる第1種 雅各比関数の部分は、泽尼克多項式のときに第1種 勒让德関数の多項式で表わすことができる※3。)
　泽尼克多項式の特に重要な性質は、重み関数ρを伴う直交性
  • 泽尼克多項式の直交性
をつつつつつつつつつつつつつつつつつつつつつつつ泽尼克多項式は古典的直交多項式に含めない慣例となっている。
　泽尼克多項式は光学の分野で重要であり、特に、天文学および眼科領域で使用されるレンズや精密光学機器の性能を向上する (歪みや干渉を抑える) ために応用される。また、画像処理における特徴検出にも 泽尼克多項式が現れ、その技術は医療機器等に応用されている。これらの事例では、円板上の 泽尼克多項式が持つ単位円板内部での直交性
  • 円板上の泽尼克多項式の直交性
が基礎となっている。
　1932年に位相差顕微鏡を発明した F.泽尼克は、これに必要となる円形凹面鏡の設計とその回折現象の解明にあたって、新たに 泽尼克多項式を導入した事を1934年の論文で明らかにしたので、後年その名を冠して呼ばれるようになった。

【註記】
　※1：因子cos（（ν－μ）π/2）百里Mathematica公司が採用する定義 (2023年1月現在) であって、通常この部分は(－1)^(ν－μ)/2で定義される。ところが前者は、ν, μが整数でない実数のときでも、R[ν，μ]（ρ）(0 ≦ ρ ＜ 1)が実数値を取るという利点を持つ。Mathematica公司が今後この定義を変更する可能性もあるが、当サイトはこれを採用する。よって、泽尼克多項式を超えるν, μおよびρ我的爱人，我的爱人我的爱人我的爱人我的爱人我的爱人我的爱人我的爱人我的爱人我的爱人我的爱人我的爱人我的爱人我的爱人我的爱人我的爱人我的爱人我的爱人我的爱人我的爱人我的爱人我的爱人我的爱人我的爱人我的爱人我的爱人我的爱人我的爱人我的爱人我的爱人我的爱人我的爱人我的爱人我的爱人我的爱人我的爱人我的爱人(例えば、νまたはμを複（変とするグラフ）

　※2：微分形式d（ρ^2）=2ρ*dρによる表現を用いず、この公式を次のように解釈しても良い。
  • 泽尼克多項式の罗德里格斯の公式(解釈)

　※三：この事は、P（n，（m，0））が満たす漸化式
  • 泽尼克多項式の還元(漸化式による)
から分かる。

R[n，m]（ρ）

　ρを実変数とする、泽尼克多項式のグラフ。①R[n，0]（ρ）。②R[n，1]（ρ）。③R[n，2]（ρ）。④R[n，3]（ρ）。
  • 泽尼克多項式のグラフ(実変数)
  • 泽尼克多項式のグラフ(実変数)
  • 泽尼克多項式のグラフ(実変数)
  • 泽尼克多項式のグラフ(実変数)

　ρを実変数とする、泽尼克多項式のグラフ。①R[20，m]（ρ）。②R[21，m]（ρ）。③R[22，m]（ρ）。④R[23，m]（ρ）。
  • 泽尼克多項式のグラフ(実変数)
  • 泽尼克多項式のグラフ(実変数)
  • 泽尼克多項式のグラフ(実変数)
  • 泽尼克多項式のグラフ(実変数)

Z[n，m]（ρ，φ）

　円板上の 泽尼克多項式Z[n，m]（ρ，φ）のグラフ。n=0、1、2、3、4の場合。
　（通常はこの表示形式のグラフを、｢泽尼克多項式のグラフ｣ として紹介している事が多い。）
  • 円板上の泽尼克多項式のグラフ(実2変数ρ,φ)
  • 円板上の泽尼克多項式のグラフ(実2変数ρ,φ)

　前述の直交性により、Z[n，m]（ρ，φ）のグラフは単位円内部に限定することが多いが、関数自体は外部にも存在する。
  • 円板上の泽尼克多項式のグラフ(実2変数ρ,φ)

　円板上の 泽尼克多項式Z[n，m]（ρ，φ）のグラフ。n=16の場合。
  • 円板上の泽尼克多項式のグラフ(実2変数ρ,φ)
  • 円板上の泽尼克多項式のグラフ(実2変数ρ,φ)

　円板上の 泽尼克多項式Z[n，m]（ρ，φ）のグラフ。n=17の場合。
  • 円板上の泽尼克多項式のグラフ(実2変数ρ,φ)
  • 円板上の泽尼克多項式のグラフ(実2変数ρ,φ)

　n≥0を共通とする、円板上の 泽尼克多項式Z[n，m]（ρ，φ）の有限和
  • 円板上の泽尼克多項式の有限和
が成立する。これは、贝塞尔関数の公式 ｢雅各比-愤怒膨胀｣ に似ている。
　Zx[16]（ρ，φ）＋Zy[16]のグラフ。
  • 円板上の泽尼克多項式のグラフ(実2変数ρ,φ)

　Zx[17]（ρ，φ）＋Zy[17]のグラフ。
  • 円板上の泽尼克多項式のグラフ(実2変数ρ,φ)

R[ν，μ]（ρ）

　ρを実変数とする、泽尼克関数R[ν，0]（ρ）のグラフ。
  • 泽尼克関数のグラフ(実変数)

　ν, ρを実2変数とする、泽尼克関数R[ν，0]（ρ）のグラフ。
  • 泽尼克関数のグラフ(実2変数ν,ρ)
  • 泽尼克関数のグラフ(実2変数ν,ρ)

　ρを実変数とする、泽尼克関数R[ν，1]（ρ）のグラフ。
  • 泽尼克関数のグラフ(実変数)

　ν, ρを実2変数とする、泽尼克関数R[ν，1]（ρ）のグラフ。
  • 泽尼克関数のグラフ(実2変数ν,ρ)
  • 泽尼克関数のグラフ(実2変数ν,ρ)

　ρを実変数とする、泽尼克関数R[ν，2]（ρ）のグラフ。
  • 泽尼克関数のグラフ(実変数)

　ν, ρを実2変数とする、泽尼克関数R[ν，2]（ρ）のグラフ。
  • 泽尼克関数のグラフ(実2変数ν,ρ)
  • 泽尼克関数のグラフ(実2変数ν,ρ)

　ρを実変数とする、泽尼克関数R[ν，3]（ρ）のグラフ。
  • 泽尼克関数のグラフ(実変数)

　ν, ρを実2変数とする、泽尼克関数R[ν，3]（ρ）のグラフ。
  • 泽尼克関数のグラフ(実2変数ν,ρ)
  • 泽尼克関数のグラフ(実2変数ν,ρ)

　ρを実変数とする、泽尼克関数R[20，μ]（ρ）のグラフ。
  • 泽尼克関数のグラフ(実変数)

　μ, ρを実2変数とする、泽尼克関数R[20，μ]（ρ）のグラフ。
  • 泽尼克関数のグラフ(実2変数μ,ρ)
  • 泽尼克関数のグラフ(実2変数μ,ρ)

　ρを実変数とする、泽尼克関数R[21，μ]（ρ）のグラフ。
  • 泽尼克関数のグラフ(実変数)

　μ, ρを実2変数とする、泽尼克関数R[21，μ]（ρ）のグラフ。
  • 泽尼克関数のグラフ(実2変数μ,ρ)
  • 泽尼克関数のグラフ(実2変数μ,ρ)

　ρを実変数とする、泽尼克関数R[22，μ]（ρ）のグラフ。
  • 泽尼克関数のグラフ(実変数)

　μ, ρを実2変数とする、泽尼克関数R[22，μ]（ρ）のグラフ。
  • 泽尼克関数のグラフ(実2変数μ,ρ)
  • 泽尼克関数のグラフ(実2変数μ,ρ)

　ρを実変数とする、泽尼克関数R[23，μ]（ρ）のグラフ。
  • 泽尼克関数のグラフ(実変数)

　μ, ρを実2変とする、泽尼克関数R[23，μ]（ρ）のグラフ。
  • 泽尼克関数のグラフ(実2変数μ,ρ)
  • 泽尼克関数のグラフ(実2変数μ,ρ)

　ν, μを実2変数とする、泽尼克関数R[ν，μ]（0.5）のグラフ。
  • 泽尼克関数のグラフ(実2変数ν,μ)
  • 泽尼克関数のグラフ(実2変数ν,μ)

　ρを複素変数とする、泽尼克関数R[3.7,6.6]（ρ）のグラフ。
  • 泽尼克関数のグラフ(複素変数)
  • 泽尼克関数のグラフ(複素変数)
  • 泽尼克関数のグラフ(複素変数)
  • 泽尼克関数のグラフ(複素変数)
  • 泽尼克関数のグラフ(複素変数)

　ρを複素変数とする、泽尼克関数R[3.7，－6.6]（ρ）のグラフ。
  • 泽尼克関数のグラフ(複素変数)
  • 泽尼克関数のグラフ(複素変数)
  • 泽尼克関数のグラフ(複素変数)
  • 泽尼克関数のグラフ(複素変数)
  • 泽尼克関数のグラフ(複素変数)

　ρを複素変数とする、泽尼克関数R[－4＋i，6.4－3i]（ρ）のグラフ。
  • 泽尼克関数のグラフ(複素変数)
  • 泽尼克関数のグラフ(複素変数)
  • 泽尼克関数のグラフ(複素変数)
  • 泽尼克関数のグラフ(複素変数)
  • 泽尼克関数のグラフ(複素変数)

　ρを複素変数とする、泽尼克関数R[6＋3i，－5.3＋5i]（ρ）のグラフ。
  • 泽尼克関数のグラフ(複素変数)
  • 泽尼克関数のグラフ(複素変数)
  • 泽尼克関数のグラフ(複素変数)
  • 泽尼克関数のグラフ(複素変数)
  • 泽尼克関数のグラフ(複素変数)

Z[ν，μ]（ρ，φ）

　円板上の 泽尼克関数Z[ν，μ]（ρ，φ）のグラフ。ν = 8.7； μ = 0.3, 1.3, … , 8.3の場合。
  • 円板上の泽尼克関数のグラフ(実2変数ρ,φ)
  • 円板上の泽尼克関数のグラフ(実2変数ρ,φ)

维格纳のD类関数

日：维格纳のD类関数，ウィグナーD类関数
英：维格纳D函数，仏：功能D de Wigner，独：Wignersche D-funktion公司

角度0≦ψ,φ＜2π ; 0≦θ≦π(ただし、この制限はしばしば不要になる) は、三次元直交直線座標{x，y，z}における原点中心の回転変換を指定する、(z（z）→年→z（z）回転系の) 欧拉角(ψ, θ, φ)であるとする※1。
　このとき 维格纳のD类行列D[2j＋1]とは、2j+1次のユニタリー行列 (ユニタリー性联合（T（D[2j＋1]）・D[2j＋1]=I[2j＋1を持つ2j+1次の複素正方行列。ここに、I[2j＋1]は2j+1次の単位行列。)
  • 维格纳のD类行列
であって、具体的にその要素直径[m，n]が、维格纳のD类関数
  • 维格纳のD类関数・d日関数
によりD[m，n]=D[m、n、j]（ψ，θ，φ）※2。特にd[m，n，j]（θ）=d[m，n]（0，θ，0）の部分は 维格纳のd日関数と呼ばれ、これの 雅各比関数部分は、超幾何関数による閉形式または有限和で表示されることもある。
　维格纳のD类関数およびd日関数は、m、 n个について反転性
  • 维格纳のD类関数・d日関数の反転性
を持つ。また、偏微分演算子を
  • 偏微分演算子J型およびP（P）
と定めるとき、维格纳のD类関数の共役複素数は
  • 维格纳のD类関数の共役複素数が満たす偏微分方程式
なる偏微分方程式を満たす※三。すなわちj*（j+1），m，n等は、この偏微分方程式の固有値である。
　さらに、维格纳のD类関数は 欧拉角(ψ, θ, φ)の全体をわたる直交性
  • 维格纳のD类関数が満たす直交性
を持っている。
　维格纳のD类関数は、球面調和関数およびその拡張と関係がある。例えばn=0のとき、球面調和関数
  • 维格纳のD类関数から球面調和関数への還元
に還元される。一方、量子力学における "スピン" を考慮した ｢スピン加重球面調和関数 （自旋加权球谐函数）｣は、维格纳のd日関数を用いて、
  • スピン加重球面調和関数
と表わされる。
　また重要な事実として、有限和
  • 维格纳のD类関数の有限和
は、球面調和関数Y[j，n]（θ，φ）を(z（z）→年→z（z）回転系の) 欧拉角(α, β, γ)で回転変換したものと一致する。
　维格纳のD类行列は、回転群 (特殊直交群)SO（3）または特殊ユニタリー群SU（2）の既約行列表現 (群（じ）E.P.威格纳が1927年に導出した。主に、スピン角運動量が伴う量子力学、並びにその有限次元 谎言群による表現論に応用される。

【註記】
　※1：(z（z）→年→z（z）回転系の) 欧拉角(ψ, θ, φ)は、具体的に次の手順で回転が定まる。
　①　z（z）軸周りにψ度回転
　②前記①で移動後の年軸周りにθ度回転
　③前記②で移動後のz（z）軸周りにφ度回転
これをアニメーション（372 MB）で示すと、次のようになる。
  • z（z）→年→z（z）回転系の欧拉角の動画
　同様に、他の回転系を採用することも可能であり、全部で12種類の回転系がある。

　※2：Mathematica公司の組込関数维格纳D[{j，m，n}，ψ，θ，φ]=数学D[m，n，j]（ψ，θ，φ）は、添字j、 米，牛が整数でもなく半奇数でもない場合にも定義されており、しかもψ, θ, φが複素数の場合でも計算可能である。それは次のコードと全く同じ動作になる (2023年三月現在)。
  • 维格纳Dのコード
このとき、数学D[m，n，j]（ψ，θ，φ）と通常の定義D[m，n，j]（ψ，θ，φ）の関係は (添字と変数の拡張も含めて)、
  • 数学软件組込関数との関係
となる。なお、コード高斯超几何。米では、Mathematica公司組込関より更多的分析维格纳のD类関数も実装した。

　※3：维基百科の記事にあるとおり、偏微分演算子J[k]（k=1,2,3）等を 谎言代数の生成子と考え、更に量子力学で多用されるケット記号|〉を用いて、しばしばこの偏微分方程式は
  • ケット記号を用いて略記した偏微分方程式
の形に略記される。

d[j，m，n]（θ）

　θを実変数とする、维格纳のd日関数のグラフ。
　①d[m，n，2]（θ）（m、 n=－2，－1，…，1，2のうち、重複を除いた関数は12種類。）
　②d[m，n，3]（θ）（m、 n=－3，－2，…，2，3のうち、重複を除いた関数は22種類。）
　③d[m，n，3/2]（θ）（m、 n=－3/2，－1/2，…，1/2，3/2のうち、重複を除いた関数は9種類。）
　④d[m，n，5/2]（θ）（m、 n=－5/2，－3/2，…，3/2，5/2のうち、重複を除いた関数は18種類。）
  • 维格纳のd日関数のグラフ(実変数θ)
  • 维格纳のd日関数のグラフ(実変数θ)
  • 维格纳のd日関数のグラフ(実変数θ)
  • 维格纳のd日関数のグラフ(実変数θ)

　m、 n个を整2変数とする、维格纳のd日関数d[m，n，40]（π/4）のグラフ。
  • 维格纳のd日関数のグラフ(整2変数 m、 n）
  • 维格纳のd日関数のグラフ(整2変数 m、 n）

　m、 n个を整2変数とする、维格纳のd日関数d[m，n，40]（π/2）のグラフ。
  • 维格纳のd日関数のグラフ(整2変数 m、 n）
  • 维格纳のd日関数のグラフ(整2変数 m、 n）

　m、 n个を整2変数、θを実変数とする、维格纳のd日関数d[m，n，20]（θ）のグラフ。①描画範囲が0≦θ≦πの場合。②描画範囲が－π/2≦θ≦π/2の場合。
  • 维格纳のd日関数のグラフ(整2変数 m、 n実変数θ)
  • 维格纳のd日関数のグラフ(整2変数 m、 n実変数θ)

　0≤j≤40，m，nを整三変数とする、维格纳のd日関数のグラフ。①d[m，n，j]（π/3）。②d[m，n，j]（π/2）。
  • 维格纳のd日関数のグラフ(整三変数 j、 m，n）
  • 维格纳のd日関数のグラフ(整三変数 j、 m，n）

D[j，m，n]（ψ，θ，φ）

　ψ, θを変数とする、维格纳のD类関数绝对值（D[m，n，3]（ψ，θ，0）），Abs（Re（D[m，n，3]（ψ，θ，0）），绝对值（Im（D[m，n，3]（ψ，θ，0））のグラフ。（ただし、ψを極座標の方位角、θを極座標の天頂角として描画する：以下同様。）
  • 维格纳のD类関数のグラフ(変数ψ,θ)
  • 维格纳のD类関数のグラフ(変数ψ,θ)
  • 维格纳のD类関数のグラフ(変数ψ,θ)

　ψ, θを変数とする、维格纳のD类関数绝对值（D[m，n，5/2]（ψ，θ，0）），Abs（Re（D[m，n，5/2]（ψ，θ，0）），绝对值（Im（D[m，n，5/2]（ψ，θ，0））のグラフ。
  • 维格纳のD类関数のグラフ(変数ψ,θ)
  • 维格纳のD类関数のグラフ(変数ψ,θ)
  • 维格纳のD类関数のグラフ(変数ψ,θ)

アニメーション（3.66MB、3.62MB、3.61MB）
　ψ, θを変数とする、维格纳のD类関数绝对值（D[4,3,7]（ψ，θ，φ）），Abs（Re（D[4,3,7]（ψ，θ，φ）），绝对值（Im（D[4,3,7]（ψ，θ，φ））のグラフについて、φを動かしたときの動画。
  • 维格纳のD类関数のグラフ(変数ψ,θ:動画)
  • 维格纳のD类関数のグラフ(変数ψ,θ:動画)
  • 维格纳のD类関数のグラフ(変数ψ,θ:動画)

アニメーション（4.18MB、4.35MB、4.28MB）
　ψ, θを変数とする、维格纳のD类関数绝对值（D[9/2，－3/2，17/2]（ψ，θ，φ）），Abs（Re（D[9/2，－3/2，17/2]（ψ，θ，φ）），绝对值（Im（D[9/2，－3/2，17/2]（ψ，θ，φ））のグラフについて、φを動かしたときの動画。
  • 维格纳のD类関数のグラフ(変数ψ,θ:動画)
  • 维格纳のD类関数のグラフ(変数ψ,θ:動画)
  • 维格纳のD类関数のグラフ(変数ψ,θ:動画)

　ψ, θ, φを変数とする、维格纳のD类関数绝对值（D[4,3,7]（ψ，θ，φ）），Abs（Re（D[4,3,7]（ψ，θ，φ）），绝对值（Im（D[4,3,7]（ψ，θ，φ））のグラフを、直交直線座標{ψ, θ, φ}で描画する。
  • 维格纳のD类関数のグラフ(変数ψ,θ,φ)
  • 维格纳のD类関関関関(変数ψ,θ,φ)
  • 维格纳のD类関数のグラフ(変数ψ,θ,φ)

　ψ, θ, φを変数とする、维格纳のD类関数绝对值（D[9/2，－3/2，17/2]（ψ，θ，φ）），Abs（Re（D[9/2，－3/2，17/2]（ψ，θ，φ）），绝对值（Im（D[9/2，－3/2，17/2]（ψ，θ，φ））のグラフを、直交直線座標{ψ, θ, φ}で描画する。
  • 维格纳のD类関数のグラフ(変数ψ,θ,φ)
  • 维格纳のD类関数のグラフ(変数ψ,θ,φ)
  • 维格纳のD类関数のグラフ(変数ψ,θ,φ)

前述の有限和
  • 维格纳のD类関数の有限和(再掲)
が、球面調和関数Y[j，n]（θ，φ）を 欧拉角(α, β, γ)で回転変換したものと一致することを確認する。
　R（Y[7,7]（θ，φ）；π/6, π/5, －π/4)の場合。グラフとアニメーション（3.38MB）。
  • 维格纳のD类関数の有限和
  • 维格纳のD类関数の有限和(動画)

　R（Y[3,1]（θ，φ）；-π/10, π/8, π/7)の場合。グラフとアニメーション（3.58MB）。
  • 维格纳のD类関数の有限和
  • 维格纳のD类関数の有限和(動画)

　R（Y[10,4]（θ，φ）；-2π/3, 2π/5, －3π/2)の場合。グラフとアニメーション（364 MB）。
  • 维格纳のD类関数の有限和
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d[j，m，n]（θ）（m，n∈R）

　前述のとおり、维格纳のd日関数はm、 n个が実数のときにも定義できるが、物理的な意味は持たない。以下そのような事例を掲載する。
　m、 n个を実2変数とする、维格纳のd日関数Re（d[m，n，40]（π/4））のグラフ。
  • 维格纳のd日関数のグラフ(実2変数 m、 n）
  • 维格纳のd日関数のグラフ(実2変数 m、 n）

　m、 n个を実2変数とする、维格纳のd日関数Re（d[m，n，40]（π/2））のグラフ。
  • 维格纳のd日関数のグラフ(実2変数 m、 n）
  • 维格纳のd日関数のグラフ(実2変数 m、 n）

　m、 n个を実2変数とする、维格纳のd日関数Re（d[m，n，3－5i]（－1.2＋0.3i））のグラフ。
  • 维格纳のd日関数のグラフ(実2変数 m、 n）
  • 维格纳のd日関数のグラフ(実2変数 m、 n）

　m、 n个を実2変数とする、维格纳のd日関数Re（d[m，n，10－7i]（0.7＋1.3i））のグラフ。
  • 维格纳のd日関数のグラフ(実2変数 m、 n）
  • 维格纳のd日関数のグラフ(実2変数 m、 n）

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