已知以下结果中国人 数学公元一世纪。用符号表示，如果a、 b条是整数和n个是积极的整数我们写作一计算机生成技术b条（修订版n个)如果n个 划分 a-b公司.
定理让n个1,....n个米成对地互质正整数，即，（n）我，个j个)=1对于每个不同的i、 j个.那么如果一1,...一米整数是方程组吗
一计算机生成技术一1（修订版n个1), ...,一cgt到一米（修订版n个米)
具有唯一确定的整数解模 n个1…n个米.下面是一个示例：
n个1=3，n2=4，a1=1，a2=2
然后我们可以a=10（或a=-2,22,34,...).将此结果概括为环理论现在得到称为中国剩余定理让我们陈述并证明这一点概括。
定理让我1,...,我米是理想的中的戒指 R（右）并且假设我我+我j个=R对于每个不同的i、 j个.那么如果一1,...一米是的元素R（右）存在一在里面R（右）这样一和一我在中商环 注册会计师我重合。进一步一由陪集唯一决定a+I，其中我是所有我我.
证明第一个定理遵循第二个定理：拿着戒指R（右）=Z轴并考虑理想我我=个我Z轴一个有那个（n）我，个j个)=1若（iff）我我+我j个=Z轴。对于，如果n个我和n个j个是互质然后欧几里德算法对于最高公因数供应品r、 秒这样的话
1=n我注册号+注册号j个秒
另一方面，如果我我+我j个=Z轴然后我们得到了一个类似于显示的等式。显然任何常见的的除数n个我和n个j个是一个单元.最后，注意商环Z轴/n个Z轴是的戒指模n的整数而且n个1…n个米Z轴是我我.
第二个定理的证明：考虑归纳陈述
S公司(k个)R=I1+我2n…n Ik个
对于k=2，。。。。，米.在这里n个表示交叉点。根据假设，S公司(2)是真的。我会的向大家展示S公司(k个)对于以下所有值均为truek个，由归纳。所以假设S公司(k-1号机组)持有。因此
R=I1+我2n…n Ik-1号机组
自R.R=R（它包含1）和我1+我k个=R我们推断
R=（I1+我k个)（一）1+我2n…n Ik-1号机组)
将括号相乘，我们可以看到LHS包含在
我1+我k个（一）2n…n Ik-1号机组)
但第二个术语包含在我2n.…n我k个，我们就这样完成了。因此S公司(米)是真的。相同的论点（不同理想的标签）表明我我+十字路口所有的我j个，使用j个不同于我，是等于R（右）因此，对于每个i，我们可以选择b条我在里面我我和c（c）我在十字路口全部的我j个，用于j个不同于我，因此一我=b我+c（c）我.现在让我们a=c1+...+c（c）n个.想想的图像一在里面注册会计师我.在这个环中c（c）j个，用于j个不同于我，具有图像归零。也在这个圈子里c（c）我具有相同的图像作为一我.因此一具有必需的属性它的图像与一我在里面注册会计师我.如果a’也具有相同的属性a-a’位于每个我我，因此具有所声称的唯一性。
最后，一个推论重申了结果直接产品秒第个，共个戒指。
推论用假设和定理的符号有一个同构之间的环数注册会计师和直接产品注册会计师1x…x R/I米.
证明：定义一个环同态
f： R-->R/I1x…x R/I米通过f（a）=（a+I1,...,a+I米). 该定理表明这张地图是满射的并且有内核我，因此我们由第一同构定理.