欧几里德算法

给定两个整数，a和b，返回其最大公约数,gcd公司（a、b）。这可能是第一个已知的算法可以追溯到两千多年前！通常归因于欧几里得.

如果a>b掉期（a，b）而a>0{x=b国防部一b=aa=x}返回b

（严格地说，这只适用于自然数；您应该首先使用绝对值a和b…）

很明显，这个算法 终止因为每次经过环a被指定为“国防部a”运算，这必然会减少它。a总是非负的，因此可能只发生有限次数的传递。

它的工作方式很简单。每次传球开始时gcd公司a和b的值与gcd公司原始输入。为了说明这一点，我们注意到b国防部a是b减去a倍数的；因此，任何常见的除数a和b是常见的除数a和b的国防部a、 和反之亦然，所以gcd公司s必须相同。在最后一步，它返回b，这正好是正确的！(gcd公司（0，b）=b，因为任何自然数都除以0——这不仅仅是一个诡辩：考虑最后一步，它从b开始，是a的倍数）

请注意，此算法适用于任何戒指，不仅仅是整数第条。

历史上（在某种程度上数学上),欧几里得的算法这真的很有趣，因为它仍然是我们今天拥有的最好的算法。事实上，它广泛用于因式分解（请参见因子分解算法)和素性测试，两个现代、快节奏的数学领域。非常令人印象深刻，考虑到它起源放在周围公元前200年.

一个简单的演示，您可以将其转换为C比我能做到的更快：

q个我第页我x个我年我71    1    01   50    0    12   21    1   -12 8-2 31    5    5   -71    3   -7   101    2   12  -171  -19   27gcd（71,50）=1=（71）（-19）+（50）（27）

• q个_i+1=地板（r）_我/对_i+1)
• 第页_i+1=r_i-1型-q个_我*第页_我
• x个_i+1=x_i-1型-q个_我*x个_我
• 年_i+1=y_i-1型-q个_我*年_我

636=483*1+153/*153是余数636÷483*/483 = 153 * 3 + 24153 =  24 * 6 + 924  =   9 * 2 + 69=6*1+36=3*2+0/*余数=0时停止*/所以3是636和483的GCD。

我们已经知道任何一对积极的整数s有一个最大的公约数; 诀窍是找到它。

从两个不同的数字开始，n个₁和n个₂,我们可以把它们表示为k₁d日和k₂d日,哪里d日是最大的公约数。从定义最大公约数，k₁和k₂是相对质数.

在不失一般性的情况下，我们可以假设k₁>k个₂> 0.然后我们可以表达k₁就k₂:

k₁=c₁k₂+k个_三这样的话c（c）₁> 0和k₂>k个_三> 0.

不仅如此，k_三相对于k₂，因为d日₂d日（其中d日₂是最大公约数k₂和k_三)将是的公约数n个₁和n个₂更大的比d日，与我们的定义相反。

我们可以反复重复上述步骤：

k₂=c₂k_三+k个₄
k_三=c_三k₄+k个₅

依此类推，得到一系列级联k是这样的k_我>k_i+1> 0，以及其中k_我和k_i+1是相对最好的（如果不是，d日_我将分k_i-1型 那么它就不是相对的素数到k_我).

最终， 我们必须达到米这样的话k_米= 1.

然后k_m-1个=k_m-1个k_米+ 0. 反向工作，我们可以分配n个_我=k_我d日并得到欧几里德算法的传统表示：

n个₁=c₁n个₂+n个_三
n个₂=c₂n个_三+n个_4
...
n个_m-2个=c_m-2个n个_m-1个+n个_米
n个_m-1个=c_m-1个n个_米+ 0.

哪里d=n_米当然，如果n个_米= 1, n个₁和n个₂相对而言素数。

n个_我=dk_i+1*c（c）_我+达克_i+2个

我们也可以说

n个_我=dk_i+1*（c）_我+1） -d（k）_i+1-k个_i+2个).

自从k_i+1> k_i+1-k个_i+2个> 0，继续执行中的算法k_i+1-k个_i+2个将也会提供正确的结果，并且在任何时候都会保存一个步骤k_i+1-k个_i+2个<k_i+2个


将修改应用于施米克的示例：

636 = 483 * 1 + 153483 = 153 * 3 +  24153 =  24 * 6 +   924=9*3-3/*3小于6*/9=3*3+0/*停止*/

973 = 593 * 1 + 380593=380*1+213380 = 213 * 1 + 167213 = 167 * 1 +  46167 =  46 * 3 +  29 46 =  29 * 1 +  17 29 =  17 * 1 +  12 17 =  12 * 1 +   5 12 =   5 * 2 +   2  5 =   2 * 2 +   12=2*1+0/*不必要的最后一步*/

973 = 593 * 2 - 213593 = 213 * 3 -  46213 =  46 * 5 -  17 46 =  17 * 3 -   5 17 =   5 * 3 +   2  5 =   2 * 2 +   1  2 =   2 * 1 +   0

最后，还有一个小消息：欧几里德算法的最坏情况在斐波那契数列.为什么？系数总是1，余数收缩的时间比其他数长数字。而且他们总是相对优秀的，该死的！

编译时C++中的欧几里德算法，使用递归模板是的，我知道它也完成了在这里但是很多编译器会因为简单的版本而窒息。此版本还使用“最小正余数”快捷方式来保存模板专门化。

#包括<ostream>使用std:：ostream；使用std:：endl；#如果定义STATIC_CONST_WORKS_THE_WAY_IT_SHOULD#定义MAGIC_NUM（n，value）static const unsigned long n=value#其他////枚举黑客宏//#定义MAGIC_NUM（n，value）枚举n##_{n=value}#结尾模板<无符号长i，无符号长j>结构欧几里得{MAGIC_NUM（较小，（i<j）？i： j））；MAGIC_NUM（较大，（i<j）？：j： i）；MAGIC_NUM（d，（小于等于0）？较小：1））；MAGIC_NUM（r，（小于等于0）？大于%d:0）；MAGIC_NUM（r2，较小的-r）；磁_数值（lpr，（r2<r）？r2:r）；typedef欧几里德<leser，lpr>recur_type；MAGIC_NUM（gcd，（lpr>0）？（lpr>1）？递归类型：：gcd:1）：较小）；磁_数值（lcm，大于*（小于/gcd））；静态ostream公告（ostream&os）{os<<“euclids<”<<i<<“，”<<j<<“>”<<endl；//os<<“d:”<<d<<endl；//os<<“m:”<<m<<endl；//os<<“r:”<<r<<endl；//os<<“lpr:”<<lpr<<endl；//os<<“gcd:”<<gcd<<endl；//os<<“lcm：”<<lcm<<endl；如果（lpr>0）recur_type:：announce（os）；返回os；}//宣布}；//结构欧几里得

• 基本情况：GCD（A，0）=A
• 复发病例：GCD（A，B）=GCD（B，A%B）