一般超椭圆曲线的雅可比矩阵

班 sage.schemes.超椭圆曲线.jacobian_generic。超椭圆Jacobian_泛型(C类)

基础：雅各布_通用

示例：

圣人：#需要sage.rings.finite_ring
圣人：FF公司 = FiniteField公司(2003)
圣人：R（右）.<x个> = 多项式环(FF公司)
圣人：（f） = x个**5 + 1184*x个**三 + 1846*x个**2 + 956*x个 + 560
圣人：C类 = 超椭圆曲线(（f）)
圣人：J型 = C类.雅可比人()
圣人：一 = x个**2 + 376*x个 + 245; b条 = 1015*x个 + 1368
鼠尾草：X = J型(FF公司)
圣人：D类 = X([一,b条])
圣人：D类
（x^2+376*x+245，y+988*x+635）
圣人：J型(0)
(1)
鼠尾草：D类 == J型([一,b条])
真的
圣人：D类 == D类 + J型(0)
真的

一个更广泛的例子，用J（QQ）和J（K）表示数字字段K/QQ。

圣人：对.<x个> = 多项式环(QQ（QQ）)
鼠尾草：（f） = x个^5 - x个 + 1; 小时 = x个
圣人：C类 = 超椭圆曲线(（f）,小时,“u，v”); C类
由v^2+u*v=u^5-u+1定义的有理域上的超椭圆曲线
圣人：聚丙烯 = C类.环境_空间(); 聚丙烯
有理域上的2维射影空间
圣人：C类.定义多项式()
-x0^5+x0*x1*x2^3+x1^2*x2^3+x0*x2^4-x2^5
圣人：C类(QQ（QQ）)
有理域上超椭圆曲线的有理点集
由v^2+u*v=u^5-u+1定义
圣人：K（K）.<t吨> = 数字字段(x个^2 - 2)                                              #需要sage.rings.number_field
圣人：C类(K（K）)                                                                      #需要sage.rings.number_field
超椭圆曲线的有理点集
定义多项式x^2-2的t上的数字字段
由v^2+u*v=u^5-u+1定义
圣人：对 = C类(QQ（QQ）)(0,1,1); 对
(0 : 1 : 1)
圣人：对 == C类(0,1,1)
真的
鼠尾草：C类(0,1,1).起源()
有理域上超椭圆曲线的有理点集
由v^2+u*v=u^5-u+1定义

圣人：#需要sage.rings.number_field
圣人：第1页 = C类(K（K）)(对)
圣人：第2页 = C类(K（K）)([2, 4*t吨 - 1, 1])
圣人：第3页 = C类(K（K）)([-1/2, 1/8*(7*t吨+2), 1])
鼠尾草：第1页, 第2页, 第3页
（（0:1:1），（2:4*t-1:1），（-1/2:7/8*t+1/4:1）

圣人：J型 = C类.雅可比人(); J型
有理域上超椭圆曲线的Jacobian
由v^2+u*v=u^5-u+1定义
圣人：问 = J型(QQ（QQ）)(对); 问
（u，v-1）
圣人：对于 我 在里面 范围(6): 问*我
(1)
（u，v-1）
（u^2，v+u-1）
（u^2，v+1）
（u，v+1）
(1)

圣人：#需要sage.rings.number_field
圣人：问题1 = J型(K（K）)(第1页); 打印("%秒->%秒"%( 第1页, 问题1 ))
（0:1:1）->（u，v-1）
圣人：第2季度 = J型(K（K）)(第2页); 打印("%秒->%秒"%( 第2页, 第2季度 ))
（2:4*t-1:1）->（u-2，v-4*t+1）
圣人：第3季度 = J型(K（K）)(第3页); 打印("%秒->%秒"%( 第3页, 第3季度 ))
（-1/2:7/8*t+1/4:1）->（u+1/2，v-7/8*t-1/4）
圣人：R（右）.<x个> = 多项式环(K（K）)
圣人：第4季度 = J型(K（K）)([x个^2 - t吨, R（右）(1)])
圣人：对于 我 在里面 范围(4): 第4季度*我
(1)
（u^2-t，v-1）
（u^2+（-3/4*t-9/16）*u+1/2*t+1/4，v+（-1/32*t-57/64）*u+1/2*t+9/16）
（u^2+（1352416/247009*t-1636930/247009）*u-1156544/247009*t+1900544/247009，
v+（-2326345442/122763473*电话+323153137/12276347）*u
+2439343104/122763473（电话：3350862929/122763473）
圣人：R2级 = 第2季度*5; R2级
（u^2-3789465233/116983808*u-267915823/58491904，
v+（-233827256513849/1789384327168*t+1/2）*u-15782925357447/894692163584*t）
鼠尾草：R3级 = 第3季度*5; R3级
（电话：2+566330088399913890623/14426454798950909645952*u
- 26531814176395676231273/28852909597901819291904,
v+（2531554403216456140708608199103/2450498420175733688903836378159104*电话+1/2）*u
+24277085056490261151356343176431311/4900996840351467377807672756318208*吨）
圣人：R4级 = 第4季度*5; R4级
（u^2-3789465233/116983808*u-267915823/58491904，
v+（233827256513849/1789384327168*电话+1/2）*电话+15782925357447/894692163584*电话）

因此，我们发现了以下身份：

圣人：5*第2季度 + 5*第4季度                                                               #需要sage.rings.number_field
(1)

此外，以下关系在5-扭转亚组中成立：

圣人：第2季度 + 第4季度 == 2*问题1                                                           #需要sage.rings.number_field
真的

维()

返回这个雅可比矩阵的维数。

输出：

整数

示例：

圣人：#需要sage.rings.finite_ring
圣人：k个.<一> = GF公司(9); R（右）.<x个> = k个[]
圣人：超椭圆曲线(x个^三 + x个 - 1, x个 + 一).雅可比人().维()
1
圣人：克 = 超椭圆曲线(x个^6 + x个 - 1, x个 + 一).雅可比人().维(); 克
2
圣人：类型(克)
<... '圣哲·林斯·integer。整数'>

几何_自同构_代数_字段(B类=200,证明=False（错误）)

返回几何自同态代数是否为字段。

这意味着曲线的雅可比是几何上的简单。它基于来自[2019年4月]

输入：

• B类–（默认值：200）出现在语句中的绑定算法来自[2019年4月]

• 证明–（默认：False）是否坚持可证明正确答案。这与docstring中的警告有关此模块的：如果此函数返回False（错误），然后严格地说，这还没有被证明是False（错误）直到一点显示了非平凡的自同态，而这些方法不是旨在执行。如果有人相信这种方法应该返回真的，但它又回来了False（错误），那么这个可以是通过增加\（B\）.

输出：

指示几何自同态与否的布尔值代数是一门学科。

示例：

这是具有QM的LMFDB曲线262144.d.524288.2。尽管它雅可比是几何简单的，几何自同态代数不是字段：

圣人：R（右）.<x个> = QQ（QQ）[]
圣人：（f） = x个^5 + x个^4 + 4*x个^三 + 8*x个^2 + 5*x个 + 1
鼠尾草：C类 = 超椭圆曲线(（f）)
圣人：J型 = C类.雅可比人()
圣人：J型.几何_自同构_代数_字段()
False（错误）

这是LMFDB曲线50000.a.200000.1：

圣人：（f） = 8*x个^5 + 1
圣人：C类 = 超椭圆曲线(（f）)
圣人：J型 = C类.雅可比人()
圣人：J型.几何_自同构_代数_字段()
真的

几何_自同态_ring_is_ZZ(B类=200,证明=False（错误）)

返回的几何自同态环自己是整数环\（\ZZ\）.

输入：

• B类–（默认值：200）出现在语句中的绑定算法来自[2019年4月]

• 证明–（默认：False）是否坚持可证明正确答案。这与模块docstring中的警告有关属于\（jacobian_endomorphisms.py\）：如果此函数返回False（错误），然后严格地说，这还没有被证明是False（错误）直到有人显示了一个非平凡的自同态，该模块中的方法并非设计用于执行。如果有人相信这种方法应该返回真的，但它又回来了错误，那么这个可以是通过增加\（B\）.

输出：

指示几何自同态与否的布尔值环与整数环同构。

示例：

这是LMFDB曲线603.a.603.2：

圣人：R（右）<x个> = QQ（QQ）[]
圣人：（f） = 4*x个^5 + x个^4 - 4*x个^三 + 2*x个^2 + 4*x个 + 1
圣人：C类 = 超椭圆曲线(（f）)
圣人：J型 = C类.雅可比人()
圣人：J型.几何_自同态_ring_is_ZZ()
真的

这是LMFDB曲线1152.a.147456.1，其几何自同态环与上的2x2矩阵组同构\（\QQ\）:

圣人：（f） = x个^6 - 2*x个^4 + 2*x个^2 - 1
圣人：C类 = 超椭圆曲线(（f）)
圣人：J型 = C类.雅可比人()
圣人：J型.几何_自同态_ring_is_ZZ()
False（错误）

这是LMFDB曲线20736.k.373248.1，其几何自同态环与CM字段上的2x2矩阵组同构：

圣人：（f） = x个^6 + 8
圣人：C类 = 超椭圆曲线(（f）)
圣人：J型 = C类.雅可比人()
鼠尾草：J型.几何_自同态_ring_is_ZZ()
False（错误）

这是LMFDB曲线708.a.181248.1：

圣人：R（右）<x个> = QQ（QQ）[]
圣人：（f） = -三*x个^6 - 16*x个^5 + 36*x个^4 + 194*x个^三 - 164*x个^2 - 392*x个 - 143
圣人：C类 = 超椭圆曲线(（f）)
圣人：J型 = C类.雅可比人()
圣人：J型.几何_变形_ring_is_ZZ()
真的

这是LMFDB曲线10609.a.10609.1，其几何自同态环是实二次域中的阶：

圣人：（f） = x个^6 + 2*x个^4 + 2*x个^三 + 5*x个^2 + 6*x个 + 1
圣人：C类 = 超椭圆曲线(（f）)
圣人：J型 = C类.雅可比人()
圣人：J型.几何_自同态_ring_is_ZZ()
False（错误）

这是LMFDB曲线160000.c.800000.1，其几何自同态环是CM字段中的订单：

圣人：（f） = x个^5 - 1
圣人：C类 = 超椭圆曲线(（f）)
圣人：J型 = C类.雅可比人()
圣人：J型.几何_自同态_ring_is_ZZ()
False（错误）

这是LMFDB曲线262144.d.524288.2，其几何自同态环是四元数代数中的一个阶：

圣人：（f） = x个^5 + x个^4 + 4*x个^三 + 8*x个^2 + 5*x个 + 1
圣人：C类 = 超椭圆曲线(（f）)
鼠尾草：J型 = C类.雅可比人()
圣人：J型.几何_自同态_ring_is_ZZ()
False（错误）

这是LMFDB曲线578.a.232.1，其几何自同态环是\（\QQ\times\QQ\）:

圣人：（f） = 4*x个^5 - 7*x个^4 + 10*x个^三 - 7*x个^2 + 4*x个
圣人：C类 = 超椭圆曲线(（f）)
圣人：J型 = C类.雅可比人()
鼠尾草：J型.几何_自同态_ring_is_ZZ()
False（错误）

指向(孟福德,检查=真的)