将椭圆曲线构造为雅可比曲线#

椭圆曲线是具有指定点的亏格一曲线。这个一类曲线的雅可比矩阵可以定义为直线集曲线上的束，与原始属1同构曲线。它也是一条椭圆曲线，平凡的线束为指定点。这种结构的效用是我们可以构造椭圆曲线而不必指定我们的点以为原点。

示例：

圣人：R（右）<u个,v（v）,w个> = QQ（QQ）[]
圣人：雅可比（Jacobian）(u个^三 + v（v）^三 + w个^三)
有理域上由y^2=x^3-27/4定义的椭圆曲线
圣人：雅可比（Jacobian）(u个^4 + v（v）^4 + w个^2)
有理域上由y^2=x^3-4*x定义的椭圆曲线

圣人：C类 = 曲线(u个^三 + v（v）^三 + w个^三)
圣人：雅可比（Jacobian）(C类)
有理域上由y^2=x^3-27/4定义的椭圆曲线

圣人：第2页<u个,v（v）,w个> = 投影空间(2, QQ（QQ）)
圣人：C类 = 第2页.子模式(u个^三 + v（v）^三 + w个^三)
圣人：雅可比（Jacobian）(C类)
有理域上由y^2=x^3-27/4定义的椭圆曲线

我们也可以定义非属的变种的雅可比数曲线。这些在本模块中没有实现，但我们将相关功能：

圣人：R（右）<x个> = 多项式环(QQ（QQ）)
圣人：（f） = x个**5 + 1184*x个**三 + 1846*x个**2 + 956*x个 + 560
圣人：C类 = 超椭圆曲线(（f）)
圣人：雅可比（Jacobian）(C类)
有理域上超椭圆曲线的Jacobian
乘以y^2=x^5+1184*x^3+1846*x^2+956*x+560

参考文献：

sage.schemes.elliptic_curves.jacobian。雅可比（Jacobian）(X,**千瓦时)#

返回雅可比矩阵。

输入：

  • X–多项式、代数变量或其他具有雅可比椭圆曲线。

  • 千瓦时–可选关键字参数。

输入X可以是以下其中之一：

示例：

圣人：R（右）<u个,v（v）,w个> = QQ（QQ）[]
圣人：雅可比（Jacobian）(u个^三 + v（v）^三 + w个^三)
有理域上由y^2=x^3-27/4定义的椭圆曲线

圣人：C类 = 曲线(u个^三 + v（v）^三 + w个^三)
圣人：雅可比（Jacobian）(C类)
有理域上由y^2=x^3-27/4定义的椭圆曲线

圣人：第2页<u个,v（v）,w个> = 投影空间(2, QQ（QQ）)
圣人：C类 = 第2页.子模式(u个^三 + v（v）^三 + w个^三)
圣人：雅可比（Jacobian）(C类)
有理域上由y^2=x^3-27/4定义的椭圆曲线

圣人：雅可比（Jacobian）(C类, 同构=真的)
方案形态：
From：有理域上2维射影空间的闭子模式，定义如下：
u^3+v^3+w^3
收件人：有理域上由y^2=x^3-27/4定义的椭圆曲线
Defn：通过发送（u:v:w）到在坐标上定义
（-u^4*v^4*w-u^4*v*w^4-u*v^4*w^4:
1/2*u^6*v^3-1/2*u^3*v^6-1/2*u ^6*w^3+1/2*v^6*w ^3+1/2*u ^3*w ^6-1/2*v^3*w^6：
u^3*v^3*w^3）
sage.schemes.elliptic_curves.jacobian。雅可比曲线(曲线,同构=False（错误）)#

返回亏格一曲线的Jacobian

输入：

  • 曲线–亏格1的一维代数变种。

输出：其雅可比椭圆曲线。

示例：

圣人：R（右）<u个,v（v）,w个> = QQ（QQ）[]
圣人：C类 = 曲线(u个^三 + v（v）^三 + w个^三)
圣人：雅可比（Jacobian）(C类)
有理域上由y^2=x^3-27/4定义的椭圆曲线
sage.schemes.elliptic_curves.jacobian。雅可比方程式(多项式的,变量=无,曲线=无)#

构造多项式给定的一类曲线的雅可比矩阵。

输入：

  • F类–定义亏格一的平面曲线的多项式。五月是均匀的或不均匀的。

  • 变量–两个或三个变量的列表，或无（默认）。非均匀或均匀坐标。由默认情况下，使用多项式中的所有变量。

  • 曲线–由定义的通用曲线多项式的或#无（默认）。如果指定，则从雅可比椭圆曲线返回到曲线。

输出：

短Weierstrass形式的椭圆曲线同构于曲线多项式=0。如果可选参数曲线是指定了雅可比椭圆曲线的有理多重覆盖返回到genus-one曲线。

示例：

圣人：R（右）<一,b条,c（c）> = QQ（QQ）[]
圣人：（f） = 一^三 + b条^三 + 60*c（c）^三
圣人：雅可比（Jacobian）(（f）)
有理域上由y^2=x^3-24300定义的椭圆曲线
圣人：雅可比（Jacobian）(（f）.潜艇(c（c）=1))
有理域上由y^2=x^3-24300定义的椭圆曲线

如果我们指定域曲线，则返回双有理覆盖：

圣人：小时 = 雅可比（Jacobian）(（f）, 曲线=曲线(（f）));  小时
方案形态：
自：有理域上由a^3+b^3+60*c^3定义的投影平面曲线
收件人：有理域上由y^2=x^3-24300定义的椭圆曲线
定义：通过发送（a:b:c）到在坐标上定义
（-216000*a^4*b^4*c-12960000*a^4*b*c^4-1296000*a*b^4*c ^4
：108000*a^6*b^3-108000*a ^3*b^6-6480000*a ^6*c^3+6480000*b^6*c ^3
+3880000*a^3*c^6-3880000*b^3*c^6
：216000*a^3*b^3*c^3）

圣人：小时([1,-1,0])
(0 : 1 : 0)

插入多项式定义\（小时）允许我们验证它确实是椭圆曲线的有理同构：

圣人：E类 = 小时.密码子()
圣人：E类.定义多项式()(小时.定义多项式()).因素（）
（2519424000000000）*c^3*b^3*a^3*（a^3+b^3+60*c^3）
*（a^9*b^6+a^6*b^9-120*a^9*1b^3*c^3+900*a^6*1b^6*c^3-120*a^3*b^9*c^3
+3600*a^9*c^6+54000*a^6*b^3*c^6+54000*a ^3*b^6*c^6%+3600*b^9*c ^6
+216000*a^6*c^9-432000*a^3*b^3*c^9+216000*b^6*c ^9）

通过指定变量，我们还可以构造一个椭圆多项式环上的曲线：

圣人：R（右）<u个,v（v）,t吨> = QQ（QQ）[]
圣人：雅可比（Jacobian）(u个^三 + v（v）^三 + t吨, 变量=[u个,v（v）])
由y^2=x^3+（-27/4*t^2）定义的椭圆曲线
有理域上u，v，t中的多元多项式环