椭圆曲线的Frobenius等值线

弗罗贝纽斯等基因只存在于阳性特征中\（p）.他们由提供\（\pi_n:（x，y）\mapsto（x^{p^n}，y^{p*n}）\）.

此类实现\（\pi_n\）对于\（n \geq 0）.与现有组成等基因的工具（参见椭圆曲线Hom_composite),因此，我们可以在Sage中表示任意不可分割的等基因。

示例：

构造弗罗贝尼乌斯同根系很简单：

圣人：从 sage.schemes椭圆曲线hom_frobenius 进口 椭圆曲线Hom_frobenius
圣人：z5（零5）, = GF公司(17^5).氏族（）
圣人：E类 = 椭圆曲线([z5（零5）,1])
圣人：圆周率 = 椭圆曲线Hom_frobenius(E类); 圆周率
弗罗贝尼乌斯17度同系：
自：y^2=x^3+z5*x+1定义的椭圆曲线
在大小为17^5的z5中的有限域上
收件人：由y^2=x^3+（9*z5^4+7*z5*3+10*z5|2+z5+14）*x+1定义的椭圆曲线
在大小为17^5的z5中的有限域上

旁路\（n\），我们还可以构造更高阶的Frobenius映射，比如弗罗贝尼乌斯内幕形态：

圣人：z5（零5）, = GF公司(7^5).氏族（）
圣人：E类 = 椭圆曲线([z5（零5）,1])
圣人：圆周率 = 椭圆曲线Hom_frobenius(E类, 5); 圆周率
16807度的Frobenius自同态=7^5：
自：y^2=x^3+z5*x+1定义的椭圆曲线
z5中大小为7^5的有限域上
收件人：y^2=x^3+z5*x+1定义的椭圆曲线
z5中大小为7^5的有限域上

像往常一样椭圆曲线Hom支持方法：

鼠尾草：z5（零5）, = GF公司(7^5).氏族（）
圣人：E类 = 椭圆曲线([z5（零5）,1])
圣人：圆周率 = 椭圆曲线Hom_frobenius(E类,5)
圣人：圆周率.度（）
16807
圣人：圆周率.理性地图（）
（x ^16807，y ^16807）
圣人：圆周率.正式的（）                   #已知错误
...
圣人：圆周率.规范化（_N）（）            #已知错误
...
圣人：圆周率.可分离（_S）（）
False（错误）
圣人：圆周率.是客观的（_I）（）
真的
圣人：圆周率.是悲观的（_S）（）
真的

还支持计算Frobenius的对偶：

圣人：E类 = 椭圆曲线([GF公司(17^6).消息(), 0])
圣人：圆周率 = 椭圆曲线Hom_frobenius(E类)
圣人：皮哈特 = 圆周率.二重的(); 皮哈特
17度同源
由y^2=x^3+（15*z6^5+5*z6~4+8*z6~3+12*z6~2+11*z6+7）*x定义的椭圆曲线
z6中大小为17^6的有限域上
到由y^2=x^3+z6*x定义的椭圆曲线
z6中大小为17^6的有限域上
圣人：皮帽.可分离（_S）（）
真的
鼠尾草：皮哈特 * 圆周率 == 椭圆曲线Hom_scalar(E类,17)   #已知错误--#6413
真的

超奇异示例（纯不可分对偶）：

圣人：E类 = 椭圆曲线([0, GF公司(17^6).消息()])
圣人：E类.is_超奇异（）
真的
圣人：图1 = 椭圆曲线Hom_frobenius(E类)
圣人：pi1卫星 = 图1.二重的(); pi1卫星
17度复合态射=17*1：
自：由y^2=x^3+（15*z6^5+5*z6~4+8*z6~3+12*z6~2+11*z6+7）定义的椭圆曲线
z6中大小为17^6的有限域上
至：由y^2=x^3+z6定义的椭圆曲线
z6中大小为17^6的有限域上
圣人：图6 = 椭圆曲线Hom_frobenius(E类,6)
圣人：pi6帽子 = 图6.二重的(); pi6帽子
度24137569=24137569*1的复合态射：
自：由y^2=x^3+z6定义的椭圆曲线
z6中大小为17^6的有限域上
收件人：由y^2=x^3+z6定义的椭圆曲线
z6中大小为17^6的有限域上
圣人：pi6小时.因素（）
（度为24137569的Frobenius自同态=17^6：
自：椭圆曲线定义为y^2=x^3+z6
z6中大小为17^6的有限域上
收件人：由y^2=x^3+z6定义的椭圆曲线
在大小为17^6的z6中的有限域上，
椭圆曲线自同态
在尺寸为17^6的z6中的有限域上由y^2=x^3+z6定义的椭圆曲线
通过：（u，r，s，t）=（2*z6^5+10*z6*3+z6^2+8，0，0））

作者：

• Lorenz Panny（2021）：实施椭圆曲线Hom_frobenius

• 米卡·蒙泰西诺斯（2021）：计算Frobenius等代的对偶

班 sage.schemes.elliptic_curves.hom_robenius。椭圆曲线Hom_frobenius(E类,权力=1)

基础：椭圆曲线Hom

在给定曲线上构造Frobenius等值线基环特性的功率。

写作\（n\）对于参数权力（默认值：\（1）)，的同源性的定义是\（（x，y）\到（x^{p^n}，y^{p*n}）\）哪里\（p）是基环的特征。

示例：

圣人：从 sage.schemes.elliptic_curves.hom_robenius系统 进口 椭圆曲线Hom_frobenius
圣人：E类 = 椭圆曲线(j=GF公司(11^2).消息())
圣人：椭圆曲线Hom_frobenius(E类)
11度弗罗贝尼乌斯等值线：
自：由y^2=x^3+（2*z2+6）*x+（8*z2+8）在大小为11^2的z2中的有限域上定义的椭圆曲线
到：由y^2=x^3+（9*z2+3）*x+（3*z2+7）在大小为11^2的z2中的有限域上定义的椭圆曲线
圣人：椭圆曲线Hom_robenius(E类, 2)
121度的Frobenius自同态=11^2：
自：由y^2=x^3+（2*z2+6）*x+（8*z2+8）在大小为11^2的z2中的有限域上定义的椭圆曲线
To：由y^2=x^3+（2*z2+6）*x+（8*z2+8）在大小为11^2的z2中的有限域上定义的椭圆曲线

二重的()

计算这个Frobenius等值线的对偶。

此方法返回椭圆曲线Hom对象。

示例：

一个普通的例子：

圣人：从 sage.schemes.elliptic_curves.hom_scalar软件 进口 椭圆曲线Hom_scalar
圣人：从 sage.schemes.elliptic_curves.hom_robenius系统 进口 椭圆曲线Hom_frobenius
圣人：E类 = 椭圆曲线(GF公司(31), [0,1])
鼠尾草：（f） = 椭圆曲线Hom_frobenius(E类)
圣人：（f）.二重的（） * （f） == 椭圆曲线Hom_scalar(（f）.领域(), 31)
真的
圣人：（f） * （f）.二重的（） == 椭圆曲线Hom_scalar(（f）.密码子(), 31)
真的

超奇异示例：

圣人：E类 = 椭圆曲线(GF公司(31), [1,0])
圣人：（f） = 椭圆曲线Hom_frobenius(E类)
圣人：（f）.二重的（） * （f） == 椭圆曲线Hom_scalar(（f）.领域(), 31)
真的
圣人：（f） * （f）.二重的（） == 椭圆曲线Hom_scalar(（f）.密码子(), 31)
真的

算法：

• 对于超奇异曲线，Frobenius的对偶又是纯的不可分割，所以我们从弗罗贝尼乌斯等分开始相反方向的度数。

• 对于普通曲线，我们立即简化到素数的情况学位。对偶的核是大小的唯一子群\（p）,我们从\（p）-除法多项式。

在这两种情况下，我们都会搜索正确的后同构使用查找_位置_同构（）.

不可分割_度()

还这个弗罗贝尼乌斯同系的不可分割程度。

由于这个类只实现纯粹不可分割的等基因，不可分割度等于度。

示例：

圣人：从 sage.schemes.elliptic_curves.hom_robenius系统 进口 椭圆曲线Hom_frobenius
圣人：E类 = 椭圆曲线(玻璃纤维(11), [1,1])
圣人：圆周率 = 椭圆曲线Hom_frobenius(E类, 4)
圣人：圆周率.不可分割_度（）
14641
圣人：圆周率.不可分割_度（） == 圆周率.度（）
真的

核多项式()

返回此Frobenius等值线的核多项式作为多项式\（x \）。此方法始终返回\(1\).

示例：

鼠尾草：从 sage.schemes.elliptic_curves.hom_robenius系统 进口 椭圆曲线Hom_robenius
圣人：E类 = 椭圆曲线(GF公司(11), [1,1])
圣人：圆周率 = 椭圆曲线Hom_frobenius(E类, 5)
圣人：圆周率.核多项式（）
1

理性地图()

返回定义此Frobenius的显式有理映射等值作为（稀疏）二元有理映射\（x \）和\（年\）.

示例：

圣人：从 sage.schemes.elliptic_curves.hom_robenius系统 进口 椭圆曲线Hom_frobenius
圣人：E类 = 椭圆曲线(GF公司(11), [1,1])
圣人：圆周率 = 椭圆曲线Hom_frobenius(E类, 4)
鼠尾草：圆周率.理性地图（）
（x ^14641，y ^14641）

缩放因子()

返回与此关联的Weierstrass比例因子弗罗贝尼乌斯形态。

比例因子为常数\（u\）（在基本场中）这样的话\（\varphi^*\omega_2=u\omega_1\），其中\（\varphi:E_1\到E_2\）这是同态吗\（\欧米茄_i \）是标准Weierstrass差速器\（E_i\）由定义\（\mathrm dx/（2y+a_1x+a_3）\）.

示例：

鼠尾草：从 sage.schemes.elliptic_curves.hom_robenius系统 进口 椭圆曲线Hom_frobenius
圣人：E类 = 椭圆曲线(GF公司(11), [1,1])
圣人：圆周率 = 椭圆曲线Hom_frobenius(E类)
圣人：圆周率.正式的（）
t^11+O（t^33）
圣人：圆周率.缩放因子（）
0
圣人：圆周率 = 椭圆曲线Hom_frobenius(E类, 三)
圣人：圆周率.正式的（）
t^1331+O（t^1353）
圣人：圆周率.缩放因子（）
0
圣人：圆周率 = 椭圆曲线Hom_frobenius(E类, 0)
圣人：圆周率 == E类.标量乘法(1)
真的
圣人：圆周率.缩放因子（）
1

比例因子存在于基环中：

圣人：圆周率.缩放因子（）.起源（）
大小为11的有限字段

算法：度的不可分割等值线\(>1\)具有缩放比例因素\(0\).

x国家地图()

返回\（x \）-这个Frobenius的坐标有理图isogeny作为（稀疏）单变量有理映射\（x \）.

示例：

圣人：从 sage.schemes椭圆曲线hom_frobenius 进口 椭圆曲线Hom_frobenius
圣人：E类 = 椭圆曲线(GF公司(11), [1,1])
圣人：圆周率 = 椭圆曲线Hom_frobenius(E类, 4)
圣人：圆周率.x国家地图（）
×^14641