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审核人：安迪·罗伊·马吉德

一般线性方程组问题指定一个m×n矩阵A和一个m向量b条然后要求n个向量x个这样Ax个= b条当矩阵A的条件数较大时，求解该方程的数值方法是不稳定的；在这种情况下，这个问题被认为是病态的。虽然没有方法可以绕过一般病态问题的固有不稳定性，但当病态系统是秩亏系统或由离散病态问题引起时，可以使用正则化方法来稳定解。这里的“正则化”是指用一个正则化问题来代替原始问题，该正则化问题具有近似原始问题精确解的稳定解。“秩亏”意味着系数矩阵A的列几乎是线性相关的（它们的线性组合的长度接近于零）。“离散不定问题”是一个类似于第一类Fredholm积分方程的问题的离散化，其中数据的任意小排列（b条在离散化中）在解中引起任意大的扰动x个. Hansen的目标是研究解决秩亏和线性离散不适定问题的最新数值方法，即使用数值正则化的方法。目标受众是研究秩亏和线性不适定问题的应用数学家，这些问题需要用数字来解决。秩不足问题的一个例子是涉及正弦过采样的信号处理应用程序（如果存在k，则出现的矩阵a的秩最多为2k）。计算机断层扫描就是离散不适定问题的一个例子。作者假设读者已经熟悉秩亏和不适定逆问题的基本理论，并且具有数值线性代数和矩阵计算的背景。这本书由八章组成。介绍性章节描述了两类问题（秩亏问题和离散不定问题），包括对积分方程问题如何产生离散不定的解释。它还介绍了本书中使用的四个测试问题，作为所介绍方法的示例。第二章回顾并讨论了奇异值分解、广义奇异值分解和其他线性代数工具。第三章通过数值秩的概念讨论秩亏的情况。第四章讨论了具有不确定数值秩的问题，其中包括离散不定问题。第5章、第6章和第7章讨论了这些问题的正则化方法：第5章介绍了直接方法，第6章介绍了迭代方法，第7章介绍了选择直接方法或迭代方法中使用的参数的算法。最后一章是对公共领域软件包正则化工具的概述，正则化工具是一组用于分析和解决离散不适定问题的MATLAB例程。这本书还有378项书目，一个符号和缩写索引，以及一个常规索引。它不包括练习，尽管它可能适合作为高级研究生课程的教科书。作者为文献提供了有价值的参考和指导，这应该有助于需要解决这里提出的这类病态问题的应用数学家。此外，鉴于离散不定问题在广泛的应用科学和工程应用中普遍存在，从事这些应用的科学家和工程师也会在这里找到许多有用的信息。