关键词：正交性、向量、函数、点积、内积、离散、Python编程、数据分析、可视化
正交性
正交性是一个数学原理，表示两个向量（信号）之间没有相关性或关系。这意味着所涉及的向量或信号是相互独立或无关的。
当两个向量（信号）的内积（也称为点积）为零时，称其为正交（在向量代数中垂直）。
\[A\perp B\Leftrightarrow\left<A.B\right>=A_1\cdot B_1+A_2\cdot B2+\cdot A_n\cdot B_n=0\]
示例：让我们证明两个向量\（overrightarrow{A}=\binom{-2}{3}\）和\（overlightarrow{B}=\biom{3}{2}\）是正交的
\[\overrightarrow{A}\cdot\overright arrow}=A_xB_x+A_yB_y=（-2）（3）+（3）（2）=0\]
让我们验证向量之间的角度是否为\（90^{\circ}\）
\[θ=cos^{-1}\左（\frac{\overrightarrow{A}\cdot\overrghtarrow}{B}}{|\overright arrow{A}||\overlightarrows{B}|}\right）=cos#{-1}（0）=90^{\circ}\]
图1：显示正交性的两个向量
要找到两个向量的点积，需要将它们的对应分量相乘，然后将结果相加。下面是检查两个复值向量（vec{a}）和（vec}b}）正交性的通用公式（用矩阵表示法）：
\[\vec{a}\perp\ vec{b}\Rightarrow\left<\vec}a}，\vec[b}\right>=\begin{bmatrix}a_1^*&a_2^*&\cdots&a_n^*\\\结束｛bmatrix｝\开始｛bmatrix｝b_1\\b2型\\\视频短片\\b_n（b_n）\\\结束{bmatrix}=0\]
下面是Python中的一个示例代码片段，它演示了如何检查以列表形式给出的两个向量是否正交。
将numpy导入为np将matplotlib.pyplot作为plt导入定义点乘积（vector1，vector2）：如果len（vector1）！=len（矢量2）：raise ValueError（“矢量必须具有相同的长度。”）返回和（x*y代表x，y在zip中（vector1，vector2））定义为正交（向量1，向量2）：结果=dot_product（vector1，vector2）返回结果==0#矢量示例矢量A=[-2，3]向量B=[3，2]#检查向量是否正交如果为正交（矢量A，矢量B）（_O）：打印（“矢量是正交的。”）其他：打印（“矢量不是正交的。”）#绘制矢量origin=[0]，[0]#矢量的原点plt.颤动（*原点，向量A[0]，向量A[1]，角度='xy'，标度单位='xy'，标距=1，颜色='r'，标签='Vector A'）plt.颤动（*原点，向量b[0]，向量b[1]，角度='xy'，缩放单位='xy'，缩放比例=1，颜色='b'，标签='Vector b'）图xlim（-5，5）plt.ylim（-5,5）插图xlabel（'x'）伊拉贝尔（“y”）插图标题（“矢量图”）plt.grid（真）插图图例（）展示（）
连续函数的正交性
在函数的上下文中，正交性可以被视为一个更广泛的概念，类似于向量中观察到的正交性。几何上，正交向量彼此垂直，因为它们的点积等于零。
当计算两个向量的点积时，它们的分量会相乘并求和。然而，当考虑函数的“点”积时，也采用了类似的方法。函数被视为具有无穷多个分量的向量，点积是通过将函数相乘并在特定区间内积分得到的。
让f（t）和克（吨）是闭合区间上的两个连续函数（想象成两个向量）[甲，乙]（即a≤t≤b). 对于在给定区间内正交的函数，其点积应为零
\[\left<f，g\right>=\int_a^b f（t）g（t）dt=0\Rightarrow\text{f（t
下面是一个小的python脚本，用于检查两个给定函数是否正交
Python脚本
导入交响乐将numpy导入为np将matplotlib.pyplot作为plt导入plt.style.use（“海上谈话”）打印（打印样式可用）#测试函数的正交性x=症状。符号（'x'）f=sympy.sin（x）#第一个函数g=sympy.cos（2*x）#第二个函数a=0#区间下限b=2*sympy.pi#区间上限interval=（0，2*sympy.pi）#积分间隔inner_product=sympy.integrate（f*g，（x，区间[0]，区间[1]））如果有症状。N（inner_product）==0：print（“函数”、str（f）、“和”、strs（g）、“在区间[”、stra（a）、“、”、strb（b）、“]上是正交的。”）其他：print（“函数”、str（f）、“和”、strs（g）、“在区间[”、stra（a）、“，”、strb（b）、“]上不正交。”）#绘制函数x_vals=np.linspace（浮点（区间[0]），浮点（区间[1]），100）f值=np.sin（x值）g_vals=np.cos（2*x_vals）plt.plot（x值，f值，标签=str（f））plt.plot（x值，g值，标签=str（g））plt.plot（x值，f值*g值，标签=str（f）+str（g））插图xlabel（'x'）plt.ylabel（“函数值”）插图图例（）plt.title（“函数集”）plt.网格（真）展示（）
输出
函数sin（x）和cos（2*x）在区间[0,2*pi]上是正交的
离散函数的正交性
要检查离散函数的正交性，可以使用内积的概念（同上）。在离散设置中，内积可以被认为是对应点上函数值的元素乘积之和。
以下是Python中的示例代码片段，演示了如何检查两个离散函数的正交性：
将numpy导入为np定义inner_product（f，g）：如果len（f）！=长度（g）：raise ValueError（“函数必须具有相同的长度。”）返回np.sum（f*g）定义为正交（f，g）：结果=内积（f，g）返回结果==0#示例函数（离散）f=np.数组（[1,0，-1，0]）g=np.数组（[0，1，0，-1]）#检查函数是否正交如果是正交（f，g）：print（“函数是正交的。”）其他：print（“函数不是正交的。”）
工具书类
[1]Smith，J.O.《离散傅里叶变换（DFT）数学与音频应用》，第二版↗
