功率效率的香农极限-去神秘化-高斯波

这个香农能效极限是带限系统的极限，与调制或编码方案无关。它通知我们在发射机处进行可靠通信所需的每比特最小能量。它也被称为无约束Shannon功率效率极限。如果我们选择特定的调制方案或编码方案，我们将计算受约束的该方案的香农极限。

在继续之前，我敦促您仔细阅读本文中香农容量定理的基本原理.

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●Matlab中的无线通信系统（第二版），ISBN:979-8648350779，可从中获得电子书（PDF）格式以及纸质（硬拷贝）格式.

通道容量和能效

通信系统设计的目标之一是以尽可能低的功率水平可靠地发送信息。系统应能够提供可接受的比特错误率（BER）在尽可能低的功率水平下的性能。通常，这种性能是以误码率Vs。 $E_b/N_0$ .数量 $E_b/N_0$ 被称为功率效率，表示为 $\eta_P（预计）$ .功率效率定义为每比特的信号能量比( $_b（_b）$ )每比特噪声功率谱密度( $N_0号$ –需要在接收机输入端实现一定的误码率。

$\eta_P=\压裂{E_b}{N_0}\quad\quad（1）$

发件人公式（1）和（2）如本帖所示，通过信道可靠传输的条件如下所示

$\eta_B=\frac{R}{B}<\frac{C}{B{=log_2\左（1+\frac{E_bR}{N_0B}\右）\quad\quad（2）$

根据频谱效率重写 $\eta（B）$ 功率效率的香农极限 $\eta_P（预计）$ 可靠通信由以下公式给出

$\frac｛E_b｝｛N_0｝>\frac｛2^｛\eta_b｝-1｝｛\eta_b｝\fquad\fquad（3）$

利用这个方程，我们可以计算最小值 $E_b/N_0$ 需要达到一定的频谱效率。例如，让我们模拟并绘制 $E_b/N_0$ 和频谱效率 $\电子标签_B$ ，如方程（3）所示。

k=0.1:0.001:15；EbN0=（2.ˆk-1）/k；符号学（10*log10（EbN0），k）；xlabel（“E_b/N_o（dB）”）；ylabel（“光谱效率（\eta）”）；标题（“信道容量和能效限制”）坚持；网格打开；xlim（[-220]）；单位长度（[0.110]）；yL=获得（gca，'YLim'）；线（[-1.59-1.59]，yL，‘颜色’，‘r’，‘线型’，‘--’）；

最终香农极限

从图1中的图中，我们注意到 $E_b/N_0$ 是的单调函数 $\eta（B）$ .何时 $\eta_B=2$ ，香农限制 $E_b/N_0$ 等于 $1.76 \; 分贝$ .如果 $\eta_B=1$ ，限制为 $0\;分贝$ .何时 $\eta\右箭头0$ ，香农限制 $E_b/N_0$ 方法 $-1.59 \;分贝$ 。此值称为极限香农极限或者具体地绝对香农能效极限此限制告知我们变送器可靠通信所需的每比特最低能量。这是设计编码方案的重要措施之一。

最终香农极限可以使用L'Hospital规则导出，如下所示。渐近值， $（E_b/N_0）_｛分钟｝$ 我们正在寻求的是 $E_b/N_0$ 作为频谱效率 $\埃塔$ 方法 $0$ .

$\左（\frac{E_b}{N_0}\右）{min}=\lim_{N\to0}\左$

让 $f（\eta）=2 ^\eta-1$ 和 $g（\eta）=$ .作为 $f（0）=g（0）=0$ 极限的论证变得不确定( $0/0$ )，L'Hospital的规则适用于这种情况。根据L'Hospital的规定，如果 $\lim{\ta\到k}f（\ta）$ 和 $\lim{eta\到k}g（eta）$ 都是零或都是 $\下午\下午$ ，则对于任何值 $k$ .

$\lim{\eta\到k}\左（\frac{f（\eta）}{g（\eta-）}\右）=\lim{\ta\到k}\左$

因此，下一步归结为求 $f（\t）$ 和 $克（\eta）$ .表达 $2 ^n个$ 以自然对数表示。

$2=e^{ln2}\quad\quad（6）$
$2^\eta=（e^{ln2}）^{\eta}=（e|{\eta-ln2}）\quad\quad（7）$

让 $u=eta ln（2）$ 和 $y=e ^u$ 然后根据微分链式法则，

$f'（\eta）=\frac{d2^\eta}{d\eta}=\frac{dy}{d_eta}=\frac{dy}{du}\frac{du}{d_reta}=e^uln（2）=e^{eta-ln2}ln（二）\quad\quad（八）$

自 $g（\eta）=$ ，的一阶导数 $克（\eta）$ 是

$g’（eta）=1四（9）$

使用方程（8）和（9），并应用L'Hospital规则，Shannon对 $E_b/N_0$ 由提供

使用AWGN信道上的2-PAM调制说明香农极限 — 图2:AWGN信道上使用2-PAM调制说明的Shannon极限

无约束和约束Shannon极限

这个绝对香农能效极限是带限系统的极限，与调制或编码方案无关。这也称为无约束香农能效极限。如果我们选择特定的调制方案或编码方案，我们将计算受约束的该方案的香农极限。

香农能效极限不依赖于错误概率。香农极限告诉我们最小可能 $E_b/N_0$ 实现任意小概率错误所需的 $收件人$ ，其中 $M（M）$ 是调制技术的信令电平数，对于BPSK $M=2$ 、QPSK $M=4$ 以此类推。它给出了可能的最小值 $E_b/N_0$ 满足香农定理。换句话说，它提供了尽可能少的 $E_b/N_0$ 需要达到最大传输容量( $R=C$ ，其中， $R（右）$ 是传输速率和 $C类$ 是信道容量）。它不会指定该极限下的错误概率。它也不会对可用于实现这一限制的编码技术给出任何指导。随着容量的接近，系统复杂性将急剧增加。因此，任何系统设计的目的都是为了达到这个极限。例如Turbo代码非常接近香农极限[1].

例如，让我们评估2-PAM（脉冲幅度调制）系统的性能，并确定最先进的编码方案可以实现的最大可能编码增益。第5章和第6章描述了模拟2-PAM系统性能的方法。使用这种方法，2-PAM系统的性能仿真和绘图如图2所示。当频谱效率为 $\η=0$ 和 $\η=2$ 也在图中引用。

理想2-PAM系统的光谱效率为 $\eta=2；位/秒/赫兹$ 因此，如果目标误码率为 $10^{-5}$ ，则编码增益为 $7.8\;分贝$ 如果我们必须将标称频谱效率保持在 $\eta=2；位/秒/赫兹$ .

如果频谱效率没有限制，那么我们可以 $\eta\右箭头0$ 在这种情况下，绝对香农能效极限为 $-1.59 \;分贝$ 什么时候 $\eta\右箭头0$ 。因此，编码增益约为 $11 \; 分贝$ 如果我们让频谱效率接近零，那么使用强大的代码是可能的。

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工具书类

[1]C.Berrou、A.Glavieux和P.Thitimajshima，近香农极限纠错编码和解码：Turbocodes，IEEE国际通信会议，（ICC’93），2:1064-10701993年5月。↗

本章相关主题

介绍
●香农噪声信道编码定理
●带限AWGN信道的无约束容量
● Shannon对频谱效率的限制
●香农对能效的限制
● 离散无记忆信道（DMC）的通用容量方程
□二进制对称信道容量（BSC）
□二进制擦除信道（BEC）容量
● 离散输入连续输出无记忆AWGN信道的受限容量
● 衰落信道上的遍历容量

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香农对能效的限制——揭开神秘面纱