衰落信道下SISO系统的容量

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正如上一篇文章所重申的那样MIMO系统用于大幅增加容量，并改善通信链路的质量。通过空间复用增加容量，通过分集技术（空时编码）提高质量。MIMO系统在各种信道（AWGN，衰落信道）上的容量方程至关重要。希望了解MIMO系统相对于SISO系统的容量所提供的容量改进。

首先，我们将研究传统SISO系统在AWGN和衰落信道上的容量方程，然后MIMO系统的容量方程。作为先决条件，鼓励读者阅读信道容量和香农定理的详细讨论.

首先，需要澄清几个定义。

熵

每个符号的平均信息量（以位/符号为单位）称为熵。给定一组N个离散信息符号-表示为随机变量X在{X_1，X_1…，X_{N}中概率由概率质量函数表示p（x）={p_1，p_2，…，p_N\}，的熵X（X）由提供

方程1随机变量SISO容量的熵

熵是随机变量不确定性的度量X（X）因此，反映了描述随机变量所需的平均信息量。一般来说，它有以下边界

0<H（X）<log_2（N）\quad\quad\quid\quad（2）

对于完全确定的系统（正确传输的概率），熵达到零的下限（没有不确定性，因此没有信息）p_i=1). 当输入符号x _ i是等概率的。

能力和相互信息

下图表示离散无记忆（噪声项独立破坏输入符号）信道，其中输入和输出表示为随机变量X（X）和Y（Y）分别是。统计上，这样的信道可以用转移概率或条件概率表示。也就是说，给定信道的一组输入，观察信道输出的概率表示为条件概率p（Y/X）

无记忆信道

对于这种渠道，相互信息I（X；Y）表示一个随机变量所包含的关于另一随机变量的信息量

I（X；Y）=H（X）-H（Y|X）\quad\quad\quid\quad（3）

H（X）是中的信息量X（X）在观察之前Y（Y）因此，上述数量可以视为不确定度的减少X（X）根据对Y（Y） 乳胶。

信息容量C类通过在所有可能的输入分布中最大化这种相互信息来获得p（x）[1].

C=\max_{p（x）}I（x；Y）\quad\quad\quid\quad（4）

SISO衰落信道

SISO衰落信道可以表示为复杂信道脉冲响应的卷积（表示为随机变量小时)和输入x个.

y=h\ast x+n\quad\quad\quid\quad（5）

在这里，n个是复数基带加性高斯白噪声，上述等式用于复数输出的单一实现年如果信道被假定为平坦衰落或块衰落类型（信道不随符号块变化），则可以简单地写出上述方程，而无需进行卷积运算(请参阅本文，了解方程（5）和（6）如何等效于平坦信道).

y=h x+n \ quad \ quad \ quad \ quad（6）

对于不同的通信衰落信道，可以使用不同的统计分布来建模信道冲激响应。一些常见的分布，如瑞利分布、瑞香分布、中伽密分布等。，

传输功率受限的容量

现在，我们要评估最实际情况下的容量，其中平均功率由P=\sigma_x^2，可在发射机上花费的费用仅限于P_t（_t）因此，信道容量现在受到该平均发射功率的限制，如下所示

C=\max_{p（x）\；，\；p\leq p_t}I（x；Y）\quad\quad\quid\quad（7）

对于进一步的推导，我们假设接收机拥有关于信道的完美知识。此外，我们假设输入随机变量X（X）与噪音无关N个噪声是零均值高斯分布的方差\西格玛_n^2-即，N\sim\mathcal{N}（0，\sigma_N^2）.

请注意，两个输入符号x个和输出符号年在传输和接收时取连续值，这些值在时间上是离散的（连续输入连续输出离散无记忆信道–CCMC）。对于这种连续随机变量，微分熵–H_d（.）已考虑。用差分熵表示互信息，

方程8互信息差分熵SISO信道容量

互信息与微分熵

由于假设信道在接收器处是完全已知的，因此信道的不确定性小时有条件的X（X）为零，即，H_d（hX）=0此外，假设噪声N个独立于输入X（X），即，H_d（N|X）=H_d（N）因此，相互信息是

I（X；Y）=H_d（Y）-H_d（N）\quad\quad\quid\quad（9）

对于复高斯噪声N个具有非零均值和方差N\sim\mathcal{N}（\mu_N，\sigma_N^2），噪声的PDF由下式给出

f_N（N）=\frac｛1｝｛\pi\sigma_N^2｝exp\left[-\frac｛（\mu_N-N）^2｝｛\sigma_N^2｝\right]\N quad\quad\quad（10）

噪声的微分熵H_d（牛顿）由提供

方程11噪声微分熵

这表明微分熵不依赖于N个因此，它不受PDF的平移（均值偏移）的影响。对于容量计算问题，

C=\max_{p（x）\；，\；p\leq p_T}I（x；Y）=\max_{p（x）\

并给出了微分熵H_d（牛顿）、相互信息I（X；Y）=H_d（Y）-H_d（N）最大化微分熵H_d（Y）事实上，高斯随机变量本身就是微分熵最大化。因此，当变量Y（Y）也是高斯的，因此微分熵H_d（Y）=log_2（\pi e\sigma_Y^2）其中，接收到的平均功率由

\sigma_y^2=E[y^2]=E[（hX+N）（hX+N）^*]=\sigma_x^2\left|h\right|^2+\sigma_N^2\quad\quad_quad\quid（13）

因此，容量由下式给出

等式14 SISO系统的容量

将整个接收的信噪比表示为\伽马=\frac{P_t}{\sigma_n^2}\left|h\right|^2，SISO系统在衰落信道上的容量由下式给出

\装箱的｛C=log_2（1+\gamma）=log_2\left（1+\frac｛P_t｝｛\sigma_n^2｝\left|h\right|^2 \right）｝

对于上述衰落信道，术语信道小时建模为随机变量。因此，上述容量方程也是一个随机变量。因此，对于衰落信道，可以定义两种不同的容量。

遍历能力

遍历能力定义为相互信息的统计平均值，其中期望值被接管\左|h\右|^2

\方框{C_{erg}=\mathbb{E}\left\{log2\left（1+\frac{P_t}{\sigma_n^2}\left |h\right |^2\right）\right\}}

停运容量

定义为瞬时相互信息低于规定概率值（以百分比表示）的信息速率——q\%.

\方框{Pr\left（log_2\left[1+\frac{P_t}{\sigma_n^2}\left|h\right|^2\right]<C_{out，q\%}\right）=q\%{

继续阅读模拟SISO信道的遍历容量…

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参考文献：

[1] Andrea J.Goldsmith和Pravin P.Varaiya，有限状态Markov信道的容量、互信息和编码，IEEE信息理论汇刊，第42卷，第3期，1996年5月。↗

本系列文章
[1]多天线系统简介
[2]MIMO-分集和空间复用
[3]MIMO信道的特征描述-信道状态信息（CSI）和条件编号
[4]衰落信道下SISO系统的容量
[5]瑞利衰落信道上SISO系统的遍历容量——Matlab仿真
[6]衰落信道下MIMO系统的容量
[7]用于接收分集的单输入多输出（SIMO）模型
[8]接收机分集-选择组合
[9]接收机分集–最大比率组合（MRC）

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