了解傅里叶级数、傅里叶余弦级数、傅立叶正弦级数、部分和、奇偶对称性。用Matlab代码进行了实际仿真。
傅里叶分析和傅里叶合成：
傅里叶分析–一个以法国数学家约瑟夫·傅里叶命名的术语，是分解复杂函数并将其表示为简单函数组合的过程。组合简单函数以重建复杂函数的反向过程称为傅里叶综合.
通常，较简单的函数被选为正弦和余弦函数。因此，术语“傅里叶分析”用正弦和余弦项表示复函数，而术语“傅立叶分析”从正弦和余弦项重建复函数。
频率是对特定事件重复发生次数的度量。根据定义，正弦波是以特定频率重复的平滑曲线。因此，术语“频率”和正弦几乎是同义词。余弦波也是正弦波，但具有90*相移。因此，当你谈论正弦和余弦函数时，你是在考虑“频率”。这就是为什么在信号处理中，傅里叶分析被应用于频率（或频谱）分析。
傅立叶级数、连续傅立叶变换、离散傅立叶变换和离散时间傅立叶变换是傅立叶分析的一些变体。
傅里叶级数：
应用于周期性函数。周期函数被分解并用正弦和余弦项表示。在数学中，术语“级数”表示数字序列的总和。例如，我们可以用后面的数字序列制作一个序列几何级数（数字之间的公共比率）
公共比率=3:1+3+9+27+…
无穷级数是指具有无穷多个项的级数。如果无穷级数的元素的公比小于1，则有可能在特定值处收敛。傅里叶级数属于三角无穷级数的范畴，其中级数的各个元素用三角表示。傅里叶级数的结构如下所示
在这里f（x）是我们希望用正弦和余弦基函数分解的复周期函数。系数一0，一个1,…和b条1，b个2,…可以通过以下方式找到
功能和对称性：
有必要根据函数的对称性对其进行分类。这样做可以节省计算时间和精力。功能可分为奇对称性或均匀对称或不对称类别。对称性可以通过在图纸上绘制函数并沿y轴折叠来确定。函数的对称性总是相对于y轴。
均匀对称：
图1：显示均匀对称性的函数
数学描述为f（x）=f（-x）.给定函数的值f（x）以给定的正值x个对应负值相同–x个。如果绘制在绘图纸上并沿y轴折叠，则函数的左半部分和右半部分相互匹配（镜像）。
对于偶对称函数，傅里叶级数展开中只存在余弦项。b类n个系数全部消失（即无正弦基）。这就是所谓的傅里叶余弦级数.
奇数对称：
数学描述为f（x）=-f（-x）.给定函数的值f（x）以给定的正值x个相同，但在相应的负值处有符号变化–x个。如果在绘图纸上绘制并沿y轴折叠，则图形的左半部分看起来就像右半部分的倒置（倒置）镜像。
图2：显示奇对称性的函数
对于奇对称函数，傅里叶级数展开中只存在正弦项。这个一n个系数全部消失（无余弦基）。这导致了所谓的傅里叶正弦级数.
因此，知道对称性可以节省我们大量的计算时间和精力，因为如果存在对称性，我们不必计算一半的系数。
表：傅里叶级数和函数对称性
傅里叶级数的部分和和收敛性：
傅里叶级数是一类无穷级数，这意味着展开式中有无穷项。我们不能无限期地继续计算这些条件。要使用傅里叶级数展开来分解复杂函数，必须限制我们希望获得的项数，并且此过程会影响收敛。收敛是基于某些标准的。存在一个单独的数学分支，称为经典谐波分析这涉及到这个问题。收敛通常是在部分和上计算的，即我们计算系数的所有项之和。
例子：
考虑以下周期函数：
对函数图的研究表明，该函数具有反对称性（奇对称）。所以，如果我们只计算傅里叶展开式中的正弦项就足够了。
图3：奇对称示例
计算傅里叶正弦级数：
因此，给定函数f（x）的完整傅里叶展开式如下所示
注意，当n个是偶数(n=0,2,4，…,).因此，上述扩展可以简化为
Matlab仿真：
下面的Matlab仿真计算了上述函数的傅里叶级数展开。绘制部分和，直到满足误差标准。
功能f（x）要么留在+1或在-1。计算每次迭代的部分和，并将其与+1或-1直到误差达到0.01.
%作者Mathuranathan Viswanathanhttps://gaussianwaves.com%知识共享CC-BY-NC-SA%如果使用这段代码，则必须将作者clearvars；clc；时间=linspace（-pi，pi，1000）；partial_sum=0；%以时间和振幅值表示的复函数t=[-pi，-pi，0,0，pi，pi]；值=[0，-1，-1,1,1，-1]；handle1=线（t，value，‘color’，‘r’，‘linewidth’，2）；网格打开；坚持；轴（[-pi pi-1.5 1.5]）%由于给定的复函数表现出奇周期扩张%只有Bn项在n=1,3,5，…时有效，。。。n=1:2:200%奇数项考虑部分和%给定函数的图1周期partial_sum=partial_sum+（4/（n*pi））*sin（n*时间）；%使用正弦项的傅里叶级数展开误差=平均值（abs（partial_sum）-1）^2); %错误标准handle2=绘图（time，partial_sum，'k'，'linewidth'，2）；title（['方波部分和：n='，num2str（n），'错误='，num2 str（错误）]）暂停设置（手柄2，“可见”，“关闭”）；如果误差<0.01打破结束结束
下面的曲线图显示，随着级数展开中包含越来越多的项，误差变得最小。
图4：显示部分和在傅里叶级数展开中所起作用的模拟图
理解情节：
在第一个图中，原始方波（红色）被分解为前三项(n=3)傅里叶级数。黑色图显示了如果这三个项组合在一起，重建（傅里叶合成）信号的外观。随着条款数量的增加(n=7、15、41…)黑色的情节越来越像原来的方波。
注意黑色图角落处的振铃效应作为分解项的数量(n个)增加。这种现象称为吉布斯现象记住，傅里叶级数是一个项数不定的无穷级数。由于我们无法计算所有无穷多的项，我们必须在某一点上停止。这种对分解项数量的截断导致了吉布斯现象。在这里阅读有关Gibss现象及其Matlab模拟的更多信息。
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供进一步阅读
[1]Arthur L.Schoenstadt，“傅里叶分析简介：傅里叶级数、偏微分方程和傅里叶变换”，海军研究生院应用数学系，加利福尼亚州蒙特雷，2005年8月。↗
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