Tanya Khovanova的数学博客

困惑。如果你能准确移动两个比赛，你能得到的最大数字是多少？

许多人认为，如果508有三位数字，那么答案也有三位数字。他们拿到号码999，然后停在那里。

一些学生意识到他们可以在两次比赛中多出一次，并给出了四位数的答案：1503、5051和5103。

另一个好主意是从0中去掉两个水平匹配，将0变为11。例如，可以使用这两个匹配项将5变成8，得到8118。然而，我们可以将这个想法与前一个相结合，并使用这两个匹配项生成一个新的数字1来获得51181。

几年前我第一次看到这个谜题时，官方的答案是51181。但我的学生走得更远了。

另一个好主意是旋转图片，得到81151。

一些学生认为所有数字的高度都相同并不重要。一个垂直匹配显示为1，即使它是高度的一半。通过这种方式获得的最大数字是511811。将这个想法与翻转数字相结合，我们可以得到811511。

然而，小字体数字通常用于幂运算。这一思路导致了一个精彩的答案，5118¹¹。这个数字比我们以前看到的要大得多：它有41位数字。如果我们把这个想法和旋转数字结合起来，我们可以得到8115¹¹，一个43位数字。

我最近决定再次上网，发现了一系列视频，展示了同一位作者解决这个难题的方法。他从一个简单的解决方案51181开始，然后人们在视频中用更好的解决方案留言，所以他重新制作了视频。这种情况发生了好几次。我可能应该给他发一个链接，链接到这篇文章，再给他一个视频。

这是我的一个学生提出的一个有趣的解决方案，我在其他任何地方都没有见过。这个想法是使用科学记数法。这个学生从0的右边拿了两场比赛。他用其中一个将第一个数字从5转换为9，第二个数字从0转换为字母E。他得到9E8=900000000。如果我们将这个想法与使用小1结合起来，我们可以得到5E81，一个82位数字。

另一个好主意是使用两个匹配项创建一个表示指数的插入符号。这样，我们可以得到5^118，这是一个83位数字。如果我们把这个想法和旋转的想法结合起来，我们可以得到8^115，一个104位的数字。

如果忽略数字的相对大小，我们可以将小数字作为指数的基数，将大数字作为幂。其中一个学生建议11⁵¹¹⁸，一个5330位的数字。如果我们旋转这个数字，我们得到的答案是11⁸¹¹⁵：8451位数字。这是一个巨大的数字，与我们开始时仅有的3位数字、可怜的5位原始解决方案以及之前可怜的104位数字相比。但我的学生并没有就此止步。

一名学生建议截取两个匹配项，并创建一个双阶乘505！！，575位数。结合其他想法，我们可以得到8115！！，14102位数字。

我的一个学生决定使用最后一个数字8中的两个匹配项来创建阶乘符号。她将其中一个匹配项垂直于平面粘贴，得到505！在投影中。她甚至拍了一张照片，你可以在下面看到。这个数字有1148位，结合前面的想法，我们可以得到5118！，它有16763位数字。甚至8115！，它有28202个数字。

对于这个难题，阶乘比双阶乘更有效。下面是我自己的建议：使用其中一个匹配项创建一个小数位的匹配项，并将另一个匹配分为阶乘。这样，我们可以得到81151！，一个数字高达363154位的数字。

这是一个很好的盒子外思考的例子。我喜欢这个拼图，因为它没有一个，但有很多盒子，一个人可以考虑外面。

有时我和我的学生乱搞。最近，我给了他们以下问题作为家庭作业。

困惑。不要读这个句子。

这个问题是一个悖论：学生不读就不知道不读！我希望我的学生能解释这个悖论，他们中的一些人做到了。但是，他们中的大多数为我提供了无限的娱乐。以下是他们的一些回答，分为不同的类别，从道歉开始，有很多这样的回答：

• 乌普西。
• 太晚了？
• 我很抱歉。

我对这些道歉并不感到惊讶，因为这个问题是为了吓人。然而，其他学生试图摆脱困境：

• 下次，我会让父母给我读作业。
• 一个名叫不要用过去时读“这个句子”。我也读了这个句子！
• 我碰巧忘记了英语，这是无法证明的。

然而，其他学生决定反抗：

• 为什么不呢？
• 我没有。
• 你刚刚输了比赛。
• 我再也不会读任何东西了，就像上面说的，“不要读。”

因果报应是自食其果，这个问题让我陷入困境。最聪明、最有趣的解决方案之一是将答案框留空，这意味着句子没有被阅读。然而，我该如何评分？如果他们跳过了这个问题怎么办？我决定站在学生一边犯错误，并对一个空的答案框给予了充分的信任。

几个学生故意假装没读这个句子：

• 哪个句子？
• 我看到一个答案框，但没有问题。

但我把最好的留到了最后。我最喜欢的答案是：

• 不要读这个答案。

困惑。“我保证，”宠物店店员说，“这只鹦鹉会重复它听到的每一个单词。”一位顾客买了这只鹦哥，但发现它一个字也不会说。尽管如此，店员还是说了实话。解释一下。

官方答复：

• 鹦鹉聋了。

事实上，在这种情况下，鹦鹉会重复它听到的每一个单词并不是谎言。我的学生还有其他想法。下面的答案与官方的一一不同，但解决方案的精神是相同的。

• 鹦鹉死了。

我的学生们的另一个想法是引入时间成分。

• 鹦鹉不能保证马上说出台词；它要等30年才能重复任何单词。
• 鹦鹉只是在顾客不在的时候重复了这些话。

还有几个现成的答案。

• 鹦鹉是一个玩具，里面没有电池。
• 客户误以为宠物店老板说了关于鹦鹉的话，而实际上鹦鹉是这么说的。

这个谜题是在我给学生的家庭作业中。

困惑。在给定的火柴配置中，移动两个火柴以形成三个方块。

我假设预期的解决方案如下。它的吸引力在于它有三个大小相同的方块，没有悬空的火柴。

像往常一样，我的学生很有创造力，提出了许多备选方案。

• 第一张图片显示了一个由三个大小不同的正方形组成的解决方案：两个较小的正方形和一个两倍大的正方形。
• 下一个解决方案有两个大正方形和一个小正方形。
• 下图显示了三个不同大小的正方形。
• 由于这个问题并不禁止形成三个以上的正方形，当然，有很多解决方案包含三个以上正方形。最后一张图片有六个方块。

Facebook挑战

Wythoff数组是一个整数数组，可以通过Wythoff游戏。出于我的目的，我将跳过威瑟夫的游戏，并使用斐波那契数来定义他的数组。

你可能听说过二进制、三元、十元和其他基数。我相信你知道十进制的基数：这是我们的标准十进制。但是，你听说过斐波那契基数?

让我来定义它。任何正整数都可以唯一地表示为非相邻的不同斐波那契数之和。例如，16是13+3。现在，我们只为我们使用的斐波那契数写一个，为未使用的斐波那契数记零，这样对应于斐波那奇数1的数字就是最后一个。（与斐波那契数列2相对应的数字是倒数第二位）。因此，斐波那契基数中的16等于100100。结果看起来像二进制，但它永远不会有两个连续的结果。这种表示称为Zeckendorf表示.

如果我们在Zeckendorf表示法中的数字末尾加上0会发生什么？这就像在二进制中乘以2。但是，在斐波那契基数中，它对应于用下一个斐波那奇数替换和中的每个斐波那契数。结果称为斐波纳契继承人例如，16的斐波那契后继数列有塞肯多夫表示1001000，等于21+5=26。

现在回到Wythoff阵列。第一行按顺序由斐波那契数列组成。它们的Zeckendorf表示看起来像二进制中的二次幂。第一列由Zeckendorf表示法中以1结尾的数字组成，以递增顺序排列。换句话说，第一列中数字的Zeckendorf表示类似于二进制中的奇数。要完成数组的定义n个第th列是其左侧数字的斐波那契后继。

例如，让我们计算第二行的前三个数字。不是斐波那契数且在Zeckendorf表示法中看起来很奇怪的最小数字是4，表示为101（记住，我们不允许有两个连续的数字）。我们将4放在第二行的第一列。第二行的下一个数字必须是4的斐波那契后继数字，因此其Zeckendorf表示必须是1010。这个数字等于5+2=7。斐波纳契（Fibonacci）7的继任者是11人，塞肯多夫（Zeckendorf）代表10100人。

John Conway和Alex Ryba写了一篇论文，研究了Wythoff阵列。他们继续向左排列，并按照一些规则画墙。这是他们的结果图片。图片太小，看不出数字，但你可以看到它的形状，看起来像帝国大厦。哎呀，我忘了提了，报纸叫斐波那契级数与帝国大厦.

我去年的PRIMES STEP高级小组（Eric Chen、Adam Ge、Andrew Kalashnikov、Ella Kim、Evin Liang、Mira Lubashev、Matthew Qian、Rohith Raghavan、Benjamin Taycher和Samuel Wang）研究了Conway Ryba论文，并决定将其推广到Tribonacci数。

只是一个提醒。Tribonacci序列从0、0、1、1、2、4、7、13、24、44开始，然后继续，因此任何下一项都是前三项的总和。例如，44之后的下一个术语是81。

现在我们需要一个用于Tribonacci数的Wythoff数组的模拟。我的读者现在可能会猜到为什么我选择了上面的Wythoff数组定义。是的，这个定义非常适合推广到Tribonacci数。

我们首先定义Tribonacci底座.我们可以将每个整数唯一地表示为不同的Tribonacci数之和，条件是总和中不存在三个连续的Triboanacci数。这称为Tribonacci表示。我们可以用零和一来表示它，而且永远不会有三个一排。例如，16可以用以下方式表示为Tribonacci数的总和：16=13+2+1。因此，其Tribonacci表示为10011。

我们可以定义Tribonacci继任者类似于斐波那契的后继者，在Tribonacci表示中添加一个零。例如，16岁的特里波纳契继承人必须拥有特里波纳奇代表100110，并且等于24+4+2=30。

现在，我们定义Tribonacci数组类似于Wythoff数组。Tribonacci数组的第一行按顺序由不同的Tribonaci数字组成。第一列由Tribonacci表示以1结尾的整数组成。中的数字n个第十列是左边数字的Tribonacci继承者。

我们发现了Tribonacci阵列的许多很酷的特性。它们在我们的报纸上，将Wythoff数组和其他Fibonacci事实推广到Tribonaccy数，发布在arXiv上。让我给你举三个例子来说明这些令人敬畏的特性。

1. 考虑任意整数序列，使下一项是前三项的总和。我们称这种序列为类似三角波那契的一个很酷的特性是，在某种意义上，Tribonacci数组包含所有正的类Tribonacci序列。更正式地说，如果一个类似Tribonacci的序列有三个连续的正项，那么这样一个序列的尾部必须作为其中一行出现在Tribonaci数组中。
2. 因此，Tribonacci数组中任何一行的倍数都必须出现在数组中。一个可怕的事实是，它们按顺序出现。
3. 此外，当一行的所有数字都可以被整除时n个，行号减1也可以被整除n个.

很容易将Tribonacci数组扩展到左侧，但此扩展没有与Wythoff数组扩展相同的优良特性。因此，在Tribonacci阵列中找到帝国大厦或任何其他建筑都是徒劳的。

正如我的读者所知，我运行了一个PRIMES STEP程序，在那里我们与6至9年级的学生进行数学研究。去年，我们的初级小组写了这篇论文，切斯兰的斗争，现在是发布在arXiv上.

这是PRIMES STEP有史以来写得最有趣的论文。在这篇文章中，国王和他的以自我为中心的女王及其随从们试图保护他们在百慕大三角洲的土地，该三角洲被称为切斯兰，由不同大小的方形岛屿组成。

在他们童话故事的第一部分，国王、他懒惰的皇后和其他棋子正在试图调查他们的岛屿。这项调查工作的第一位志愿者是骑士。骑士从岛上的某个地方出发，在棋局中使用骑士的招式绕岛而行。目标是看到每一个细胞，而骑士可以看到所有细胞是一个骑士的移动远离他站着。换言之，每个单元要么由骑士访问，要么是一个骑士离开访问的单元。在数学术语中，骑士所走的路径是骑士图上的支配集。

学生们发现了很多这样的途径。图中显示了7号岛骑士号的测量路径。学生们称这种模式为鞋带图案他们用类似的鞋带测量了任何7号或更大的岛屿。然而，当我看这幅画时，我看到了一只猫。

其他棋子也在考察这片土地。有趣的是，当国王喝醉时，他的调查结果会更好。你知道为什么吗？看一看报纸。

在对所有岛屿进行了调查之后，敌方间谍开始出现在切斯兰，我们的棋子队试图诱捕他们。我的学生发明了诱捕敌人的规则。黑皇后被困的例子如下图所示，规则如下。无论黑人女王走到哪里，都应该受到白人女王的袭击。此外，白人女王不能直接攻击黑人女王，也不能互相攻击。

哦！我忘了提一下：诱捕器应该尽可能少地使用白色蜂王。此外，如果敌人不是王后而是另一种棋子，那么它只能被自己的同类困住。

陷阱可以用图论来描述。黑色皇后位于皇后图形的顶点。白色皇后的位置应确保它们不是黑色皇后的邻居或彼此的邻居。此外，任何与黑皇后相邻的顶点都必须是至少一个白皇后的邻居。

今年的PRIMES STEP项目是一次真正的国际象棋冒险！

我写了很多关于我学生创造力的文章。这里有更多的证据。

困惑。一名警察看到一名卡车司机在单行道上走错了路，但没有试图阻止他。为什么？

我的许多学生想出了预期的答案：

卡车司机正在走路。

他们还找到了一些合法的方法让卡车司机不被拦下。

• 警察离得太远了。
• 附近有建筑，所以警察指示司机开错了方向。
• 这辆卡车是一辆应对紧急情况的消防车。
• 司机贿赂了警察。
• 司机是一个玩玩具卡车的小孩。

还有一些想法，相当模糊。

• 警察下班了，所以他叫了另一名警察来阻止司机。
• 卡车司机开得太快了，停不下来。
• 警察正在应对银行抢劫案，而阻止卡车司机并不是首要任务。
• 警察也开错了方向，阻止卡车司机是虚伪的。
• 这条街是死胡同，唯一的出路就是走错了路。

一些有趣的。

• 这位警察有幻觉史，认为卡车司机是他想象中的虚构。
• 那个警察是个幽灵。
• 警察是卡车司机。
• 警察正忙着吃甜甜圈。
• 卡车司机是警察的老板。
• 卡车司机是警察的奶奶。

我经常收到数学天才父母的来信——“我十二岁的孩子正在读一本代数几何书：接受他去读普里米斯”，“我十岁的孩子完成了微积分课程：这是她的照片，可以贴在你的博客上”，或“我两岁的孩子会乘法表，你能和他一起写一篇研究论文吗？”最后一封信是一种讽刺性的推断。

我很高兴听到外面有很多数学天才。他们可能是我们的未来底漆和PRIMES步骤学生。但是，很难给我留下深刻印象。事实上，孩子们很早就知道事情，这并不能告诉我很多。我见过一个不懂算术却能通过微积分的学生。我还遇到一名学生，他声称自己对融合类别有全面的了解，后来似乎是看了五分钟YouTube视频的一半。

有很多产品是为那些想培养天才的父母服务的。我孙子一岁生日时收到了一本微积分书：婴儿微积分入门十年后，他仍然没有准备好学习微积分。

回到天才儿童。有一次，一位母亲给我们带来了她的孩子，我无法忘记。这孩子吹牛说他解决了3万道数学题。你认为我的第一个想法是什么？实际上，我有两个首要的想法：1）为什么在地球上有人会计算他们解决的所有问题？2） 他解决了3万个问题的困难是什么？

我不时收到一封来自父母的电子邮件，他们的孩子是一个真正的数学天才。我对这位家长的回答和其他家长一样：“让你的孩子申请我们的课程。我们在与数学天才合作方面做得很好。”

我们的课程通过入学考试录取。令人惊讶或毫不奇怪的是，广告上大肆宣传的孩子在这些测试中往往表现不佳。可能是父母高估了孩子的能力。但有时情况更有趣，也更令人难过：我见过一些孩子为了不被我们的课程录取而破坏入学考试。我们还让学生在申请表上给我们暗示，他们是被迫申请的。

在这篇文章的第一版中，我写了一些有趣的故事来描述这些学生的所作所为。然后，我删除了这些故事。我不想让父母知道他们的孩子是如何试图解放自己的。

亲爱的父母，不要把你的孩子逼入我们的节目。如果他们不想成为数学家，你就会降低他们进入一所好大学的机会。想象一下，一个招生官读了一个学生的论文，他想成为一名医生，但每周要在一个著名的数学研究项目上浪费十个小时。这样的学生没有资格成为潜在的数学天才，因为他们的热情在其他地方。这个学生也没有资格成为未来的医生，因为他们没有做任何事情来追求他们声称的激情。最后，这个学生被认为是一个性格软弱的人。

另一方面，那些确实想加入我们项目的学生会茁壮成长。他们经常开始学习数学，并且非常成功。如果你的孩子既有数学天赋又有数学天赋，鼓励他们申请我们的课程。

这个谜题在上周的家庭作业中。

困惑。鸡蛋怎么能飞三米不破？

预期答案：

• 鸡蛋飞了3米多，然后破了。

一些学生试图保护鸡蛋：

• 鸡蛋是用气泡包装的。
• 鸡蛋掉在垫子上。
• 鸡蛋被扔掉了，然后被抓住了。
• 鸡蛋被扔进了水里。
• 我的最爱：鸡蛋用了降落伞。

其他学生指定鸡蛋的品质使其更具抵抗力：

• 鸡蛋是硬的。
• 鸡蛋是塑料做的。
• 这个蛋是一个青蛙蛋。
• 一个有根据的答案：它可能是一只鸵鸟蛋，非常结实。（我在网上查过了，事实上，人类可以站在鸵鸟蛋上而不打破它。）
• 我的最爱：鸡蛋是煎的。

以下是一些更详细的解释：

• 鸡蛋在飞机上飞。
• 鸡蛋被扔到另一个重力较低的行星上。
• 鸡蛋被扔进太空，将永远围绕地球运行。
• 我的最爱：鸡蛋还没有出生：它飞进了一只鸡的肚子里。

在这篇文章的最后，有一个含蓄的答案：

• 鸡蛋很自信，不容易被扔来扔去打碎。

困惑。一只山羊被10米长的皮带牵着。然而，它还是设法离开了柱子300米。怎么会？

标准答案。绳子没有系在柱子上。

我的学生仔细研究了这个谜题，发现了其他一些可能的歧义。例如，可能有两个柱子：山羊被拴在一根柱子上，离另一根柱子很远。在另一个例子中，没有给出时间。这只山羊可能曾经被拴在皮带上，然后在另一个时间被释放出来，远离柱子。这是我最喜欢的答案。

我最喜欢的答案。山羊吃了皮带。