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交流发电机硬币拼图

2024年6月23日下午07:49

我在麻省理工学院开办了一个名为PRIMES STEP的项目，在那里我们对6至9年级的孩子进行数学研究。我们的第一个研究项目是关于一个叫做交流发电机的有趣硬币。这枚硬币只存在于数学家的脑海中，因为它可以根据自己的意愿改变重量。当你把交流发电机放在秤上时，它可以和真硬币一样重，也可以是假硬币（假硬币比真硬币轻）。硬币每次放在秤上时都会严格地改变重量。我的同事康斯坦丁·诺普（Konstantin Knop）最近给我发了一个新的交流发电机拼图。

困惑。共有四枚外观相同的硬币：两枚真币、一枚假币和一枚交流发电机。你如何找到最多使用三次平衡秤的交流发电机？

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类别：拼图,称重 |  注释(RSS（RSS）)  |  Trackback（回溯）

4评论

  1. 拉扎尔·伊利奇:

    首先要注意的是，有24个可能的起始位置，只有3个查询可以区分最多~3^3=27个[~由于在交替硬币状态切换标准上可能方便合并]，因此我们需要稍微小心。将硬币编号为#0、#1、#2和#3，称为0或1，其中状态2表示重量为0的交替硬币（如果现在放在秤上），状态3表示重量为1的交替硬币。然后，我们有以下算法来解析手动操作自动Python代码生成的最终状态（通常是完整的，而不仅仅是识别交替硬币）：

    用#1称#0，用#3称#2：
    如果#0带有#1>#2带有#3：
    将#2与#3进行称重：
    如果#2>#3：
    将#0与#1进行权衡：
    如果#0>#1：
    已解决[[1,3,1,0]]
    Elif#0==#1：
    已解决[[1，1，2，0]]
    其他：
    已解决[[3，1，1，0]]
    Elif#2==#3：
    将#0与#2进行权衡：
    如果#0>#2：
    已解决[[1，1，0，3]]
    其他：
    已解决[[1，1，2，0]]
    其他：
    将#0与#1进行权衡：
    如果#0>#1：
    已解决[[1,3,0,1]]
    Elif#0==#1：
    已解决[[1，1，0，2]]
    其他：
    已解决[[3，1，0，1]]
    Elif#0 with#1==#2 with#3（Elif#1==#2 with:#3）
    用#1称#0，用#3称#2：
    如果#0带有#1>#2带有#3：
    将#0与#1进行权衡：
    如果#0>#1：
    已解[[1,3,0,1]，[1,3,1,0]]
    其他：
    已解[[3,1,0,1]，[3,1,1,0]]
    其他：
    将#2与#3进行称重：
    如果#2>#3：
    已解[[0,1,1,3]，[1,0,1,3]]
    其他：
    已解[[0，1，3，1]，[1，0，3，2]
    其他：
    将#0与#1进行权衡：
    如果#0>#1：
    将#0与#2进行权衡：
    如果#0>#2：
    已解决[[1,0,3,1]]
    Elif#0==#2：
    已解决[[1，0，1，2]]
    其他：
    已解决[[3，0，1，1]]
    Elif#0==#1：
    将#0与#1进行权衡：
    如果#0>#1：
    已解决[[2，0，1，1]]
    其他：
    已解决[[0，2，1，1]]
    其他：
    将#1与#2进行称重：
    如果#1>#2：
    已解决[[0，1，3，1]]
    Elif#1==#2：
    已解决[[0，1，1，2]]
    其他：
    已解决[[0，3，1，1]]

    ———-

    导入副本
    平均值=[]
    对于范围（0,4）内的a：
    对于范围（0,4）内的b：
    对于范围（2,4）内的c：
    如果a=b：
    av=[1表示范围（4）中的d]
    av[a]=0
    av[b]=c
    avv.附加（av）
    avv=[0，2，1，1]，[0，1，2，1]
    对于范围（0,4）内的a：
    对于范围（a+1,4）内的b：
    bvv=[]#>
    cvv=[]#=
    dvv=[]#花花公子[0]%2+花花公仔[1]%2+花花公子[2]%2+花样公子[3]%2:
    dudec=副本.depcopy（dude）
    对于范围（4）中的d：
    如果dudec[d]>=2：
    dudec[d]=5-dudec[d]
    bvv.附加（dudec）
    elif 2*（dude[a]%2+dude[b]%2）==dude[0]%2+dude[1]%2+duder[2]%2+dude[3]%2:
    dudec=副本.depcopy（dude）
    对于范围（4）中的d：
    如果dudec[d]>=2：
    dudec[d]=5-dudec[d]
    cvv.附加（dudec）
    其他：
    dudec=复制.deepcopy（dude）
    对于范围（4）中的d：
    如果dudec[d]>=2：
    dudec[d]=5-dudec[d]
    dvv.附加（dudec）
    打印（len（bvv）、len（cvv）和len（dvv））
    如果1：
    打印（bvv）#[[2，1，0，1]，[1，2，0，2]，[1]，1，0,3]，[1,1，0,2]，[2]，1,1,0]，[1,2,1,0]，[1]，1,3,0]
    打印（cvv）#[[0，1，3，1]，[0，1,1，3]，[1，0，3]
    打印（dvv）#[[0，3，1，1]，[0，2，1，2]，[0
    对于范围（0,4）内的a：
    对于范围（a+1,4）中的b：
    bvv=[]#>
    cvv=[]#=
    dvv=[]#花花公子[b]%2：
    dudec=副本.depcopy（dude）
    如果dudec[a]>=2：
    dudec[a]=5-dudec[a]
    elif dudec[b]>=2：
    dudec[b]=5-dudec[b]
    bvv.附加（dudec）
    elif dude[a]%2==dude[b]%2：
    dudec=副本.depcopy（dude）
    如果dudec[a]>=2：
    dudec[a]=5-dudec[a]
    elif dudec[b]>=2：
    dudec[b]=5-dudec[b]
    cvv.附加（dudec）
    其他：
    dudec=副本.depcopy（dude）
    如果dudec[a]>=2：
    dudec[a]=5-dudec[a]
    elif dudec[b]>=2：
    dudec[b]=5-dudec[b]
    dvv.附加（dudec）
    #打印（len（bvv）、len（cvv）和len（dvv））
    打印（a，b）
    打印（bvv）#
    打印（cvv）#
    打印（dvv）#
    如果len（bvv）<=3，len（cvv）<=3，且len（dvv）小于=3：
    打印（a，b）
    打印（bvv）#[[2,1,1,0]，[1,2,1,0]，[1]，1,2,0]]
    打印（cvv）#[[1,1,0,3]，[1,1,3,0]]
    打印（dvv）#[[2,1,0,1]，[1,2,0,1]

    2024年6月25日，下午7:42

  2. 萨南丹·斯瓦米纳坦:

    有趣的谜题。这里有一种方法可以确定交流发电机硬币，以及下次我们决定使用它时它是处于重状态还是轻状态。通过回溯，我们还知道了开始称重之前交流发电机的状态。

    设H=重（真）币，L=轻（假）币，Ah=重态交流发电机，Al=轻态交流发电机。我们不知道交流发电机最初是处于Ah状态还是Al状态，所有硬币看起来都一样。

    第一次称重：在每个平底锅里放两个硬币。如果平底锅保持平衡，则第一次称重涉及以下可能性之一：
    H、 L对H，Al
    H、 L对Al，H
    五十、 H对H，Al
    五十、 H与Al，H
    H、 Al与H、L
    Al、H与H、L
    H、 铝对L、H
    铝、氢与L、氢

    第二次称量：如果第一次称量时盘子保持平衡，只需重复第一次称重（不移动任何硬币）。上述第一次称重的可能性将在第二次称重中转换为：
    H、 L对H，啊
    H、 L与Ah、H的对比
    五十、 H对H，啊
    五十、 H对Ah，H
    H、 Ah与H、L
    啊，H对H，L
    H、 Ah与L、H
    啊，H对L，H

    在上面的前4种情况下，右锅会更重。在最后4种情况下，左侧盘会更重。交流发电机在较重的盘中，如果我们再次使用它，它将很轻。在第三次称重时，将第二次称重时较重的盘中的两枚硬币进行对比，例如上述第一种情况中的H与Al（第二次称量时为Ah）。交流发电机是第三次称重时较轻盘上的硬币，我们下次使用时它将处于较重状态。

    另一方面，考虑第一次称重显示不平衡的情况。WLOG，假设左侧底盘较重。这意味着第一次称重涉及以下可能性之一：
    H、 H对L，啊
    H、 H对L，Al
    H、 H对Ah，L
    H、 H对Al，L
    H、 Ah与H、L
    H、 Ah与L、H
    啊，H对H，L
    啊，H对L，H

    对于第二次称重，将第一次称重的打火机盘上的两枚硬币相互比较，例如在上述第一种情况下，L与Al（第一次称重时为Ah）。与上述情况相对应，第二次称重具有以下可能性：
    L=铝
    L L（左）
    高度>高度
    L L（左）
    长<高

    如果第二次称重显示相等，则必须涉及上述L=Al或Al=L。在这种情况下，对于第三次称重，只需重复第二次称重。因此，我们现在将比较L与Ah，或Ah与L。较重的锅中装有交流发电机，在我们下次使用时，它将处于轻状态。

    如果第二次称重显示不平衡，那么对于第三次称重，将第一次称重时放在较重盘子上的硬币相互比较。如果第三次称重显示相等，这意味着我们只对H和H进行了称重。在这种情况下，交流发电机是第二次称重时放在较重的平底锅上的硬币，下次我们使用它时，它将处于轻状态。另一方面，如果第三次称重显示不平衡，我们只比较了H与Al或Al与H（第一次称重时，较重的锅上的Al是Ah）。交流发电机是第三次称重时较轻盘上的硬币，我们下次使用它时，它将处于较重状态。

    2024年6月25日，11:10 pm

  3. 萨南丹·斯瓦米纳坦:

    看起来我上面的一个段落格式不正确，可能是因为“小于”和“大于”符号。我用文字而不是符号粘贴下面的段落：

    对于第二次称重，将第一次称重的打火机盘上的两枚硬币相互比较，例如在上述第一种情况下，L与Al（第一次称重时为Ah）。第二次称重将具有与上述情况相对应的以下可能性：
    L等于Al
    L小于Ah
    Al等于L
    Ah大于L
    H大于L
    L小于H
    H大于L
    L小于H

    2024年6月25日，晚上11:26

  4. 萨南丹·斯瓦米纳坦:

    这次格式正确（请忽略之前由于使用符号而格式错误的帖子）…

    这里有一种方法可以确定交流发电机硬币，以及下次我们决定使用它时它是处于重状态还是轻状态。通过回溯，我们还知道了开始称重之前交流发电机的状态。

    设H=重（真）币，L=轻（假）币，Ah=重态交流发电机，Al=轻态交流发电机。我们不知道交流发电机最初是处于Ah状态还是Al状态，所有硬币看起来都一样。

    第一次称重：在每个平底锅里放两个硬币。如果平底锅保持平衡，则第一次称重涉及以下可能性之一：
    H、 L对H，Al
    H、 L对Al，H
    五十、 H对H，Al
    五十、 H对Al，H
    H、 Al与H、L的对比
    Al、H与H、L
    H、 铝对L、H
    铝、氢与L、氢

    第二次称量：如果第一次称量时盘子保持平衡，只需重复第一次称重（不移动任何硬币）。上述第一次称重的可能性将在第二次称重中转换为：
    H、 L对H，啊
    H、 L与Ah、H的对比
    五十、 H对H，啊
    五十、 H对Ah，H
    H、 Ah与H、L
    啊，H对H，L
    H、 Ah与L、H
    啊，H对L，H

    在上面的前4种情况下，右锅会更重。在最后4种情况下，左侧盘会更重。交流发电机在较重的盘中，如果我们再次使用它，它将很轻。在第三次称重时，将第二次称重时较重的盘中的两枚硬币进行对比，例如上述第一种情况中的H与Al（第二次称量时为Ah）。交流发电机是第三次称重时较轻盘上的硬币，我们下次使用时它将处于较重状态。

    另一方面，考虑第一次称重显示不平衡的情况。WLOG，假设左锅较重。这意味着第一次称重涉及以下可能性之一：
    H、 H对L，啊
    H、 H对L，Al
    H、 H对Ah，L
    H、 H对Al，L
    H、 Ah对H，L
    H、 Ah对L，H
    啊，H对H，L
    啊，H对L，H

    对于第二次称重，将第一次称重的打火机盘上的两枚硬币相互比较，例如在上述第一种情况下，L与Al（第一次称重时为Ah）。第二次称重将具有与上述情况相对应的以下可能性：
    L等于Al
    L小于Ah
    Al等于L
    Ah大于L
    H大于L
    L小于H
    H大于L
    L小于H

    如果第二次称重显示相等，则必须涉及上述“L等于Al”或“Al等于L”。在这种情况下，对于第三次称重，只需重复第二次称重。因此，我们现在将比较L与Ah，或Ah与L。较重的锅中装有交流发电机，在我们下次使用时，它将处于轻状态。

    如果第二次称重显示不平衡，那么对于第三次称重，将第一次称重时放在较重盘子上的硬币相互比较。如果第三次称重显示相等，这意味着我们只对H和H进行了称重。在这种情况下，交流发电机是第二次称重时放在较重的平底锅上的硬币，下次我们使用它时，它将处于轻状态。另一方面，如果第三次称重显示不平衡，我们只比较了H与Al或Al与H（第一次称重时，较重的锅上的Al是Ah）。交流发电机是第三次称重时较轻盘上的硬币，我们下次使用它时，它将处于较重状态。

    2024年6月25日，11:33 pm

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